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数学必修五(人教版A版) 基本不等式同步作业


【选题明细表】 知识点、方法 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求解实际应用题 利用基本不等式求解恒成立问题 综合问题 基础达标 1.已知 x,y 为正实数,且 x+4y=1,则 xy 的最大值为( C ) (A) (B) (C) (D) 题号 1、2、6、8 5、7、12 3、4 9、10、11、13

解析:∵x,y 均为正实数, 且 x+4y=1, ∴xy= (x·4y)≤ ·( = ·( )2= , 当且仅当 x=4y 即 x= ,y= 时取等号. 故 xy 的最大值是 , 故选 C. 2.(2014 淄博高二期末)已知 x>1,y>1 且 xy=16,则 log2x·log2y( D ) )2

-1-

(A)有最大值 2 (C)有最小值 3

(B)等于 4 (D)有最大值 4

解析:∵x>1,y>1, ∴log2x>0,log2y>0. ∴log2x·log2y≤( 当且仅当 x=y=4 时取等号. 故选 D. 3.当 x>1 时,不等式 x+ ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( D ) (A)(-∞,2] (B)[2,+∞) (C)[3,+∞) (D)(-∞,3] 解析:由于 x>1, ∴x-1>0, >0, 于是 x+ =x-1+ +1≥2+1=3, 当 =x-1 即 x=2 时等号成立, 即 x+ 的最小值为 3,要使不等式恒成立,应有 a≤3, 故选 D. 4.(2014 福建莆田十八中高二检测)若对所有正数 x,y,不等式 x+y≤ a (A) 都成立,则 a 的最小值是( A ) (B)2 (C)2 (D)8 )2=( )2=4,

-2-

解析:∵x>0,y>0, ∴x+y= ≤ = · ,

当且仅当 x=y 时等号成立, 所以使得 x+y≤a 都成立的 a 的最小值是 .故选 A.

5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析,每辆客 车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N*)为二次函数的关系 (如图),若使营运的年平均利润最大,则每辆客车营运的年数为( C )

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:由题图求得函数为 y=-(x-6)2+11, 则营运的年平均利润 = =12-(x+ )≤12-2 =2,

当且仅当 x= 时取等号, 解得 x=5.故选 C. 6.(2014 三门峡高二期末)已知正数 a、b 满足 + =3,则 ab 的最小值 为 . ? ≥2? ab≥4.
-3-

解析: + =3≥2

当且仅当 = ,即 a=6,b= 时取等号. 答案:4 7.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一 年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x= 吨.

解析:总运费与总存储费用之和 f(x)=4x+ ×4 =4x+ =160, 当且仅当 4x= , ≥2

即 x=20 吨时,f(x)最小. 答案:20 能力提升 8.(2014 南阳高二期末)已知 x≥ ,则 f(x)= (A)最大值 (B)最小值 有( D )

(C)最大值 1 (D)最小值 1 解析:f(x)= = +

-4-

= ≥2 =1.

+

当且仅当

=

,

即 x=3 时取“=”. 故选 D. 9.(2014 滁州高二期末)若关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集为(1,+∞),则 a- +1 的最小值为 .

解析:由题意可得 a·1+b=0,a>0, 所以 a- +1=a+ +1≥3, 当且仅当 a=1,b=-1 时取等号. 答案:3 10.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m,n>0,则 + 的最小值为 .

解析:函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(-2,-1),(-2)·m+(-1)·n+1=0, 2m+n=1,m,n>0, + =( + )·(2m+n)

-5-

=4+ + ≥4+2 =8, 当且仅当 答案:8 11.(2014 锦州高二期末)(1)已知 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求 证: + ≥ ,并指出等号成立的条件; (x∈(0, ))的最小值,并指出取最 即 时等号成立.

(2)利用(1)的结论求函数 f(x)= + 小值时 x 的值. (1)证明:( + )(x+y)=a2+b2+a2 +b2 ≥a2+b2+2 =(a+b)2, 故 + ≥ ,

当且仅当 a2 =b2 , 即 = 时上式取等号. (2)由(1)得 f(x)= + 当且仅当 = , ≥ =25,

-6-

即 x= 时上式取最小值,即 f(x)min=25. 12.(2014 德州联考)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形 花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点 C,已知 AB=2 米,AD=1 米.

(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 9 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值. 解:(1)设 DN 的长为 x(x>0)米, 则|AN|=(x+1)米, ∵ = , ,

∴|AM|=

∴S 矩形 AMPN=|AN|·|AM|= 由 S 矩形 AMPN>9 得 >9,

又 x>0 得 2x2-5x+2>0, 解得 0<x< 或 x>2. 即 DN 的长的取值范围是(0, )∪(2,+∞).(单位:米) (2)矩形花坛的面积为:
-7-

y= = =2x+ +4(x>0) ≥2 =8. 当且仅当 2x= 即 x=1 时, 矩形花坛的面积最小为 8 平方米. 探究创新 13.(2014 宁德质检)关于 x 的不等式 x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2), 则 x1+x2+ (A) (C) (B) (D) 的最小值是( C ) +4

解析:由不等式的解集为(x1,x2)知方程 x2-4ax+3a2=0 的两根为 x1,x2. ∴x1+x2=4a,x1x2=3a2, ∴x1+x2+ ≥2 = .
-8-

=4a+

当且仅当 4a= 时取等号. 故选 C.

-9-



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