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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第十三篇 推理证明、算法、复数第2讲 直接证明与间接证明)


第2讲 直接证明与间接证明

【2013年高考会这样考】 1.在历年的高考中,证明方法是常考内容,考查的主要方式 是对它们原理的理解和用法.难度多为中档题,也有高档题. 2.从考查形式上看,主要以不等式、立体几何、解析几何、 函数与方程、数列等知识为载体,考查综合法、分析法、反证 法等方法. 【复习指导】 在备考中,对本部分的内容,要抓住关键,即分析法、综合 法、反证法,要搞清三种方法的特点,把握三种方法在解决问 题中的一般步骤,熟悉三种方法适用于解决的问题的类型,同 时也要加强训练,达到熟能生巧,有效运用它们的目的.

基础梳理 1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过 一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证 明方法叫做综合法. ②框图表示: P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要 证的结论).

(2)分析法 ①定义: 从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已 知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做分析法. ②框图表示: Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显成立的条件 .

2.间接证明 一般地,由证明 p?q 转向证明:綈 q?r???t.

t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定綈 q 为假,推出

q 为真的方法,叫做反证法.

一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进 行分析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解决问 题的思路,再运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉 使用.

两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命 题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过 程是错误的. (2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常 用“要证(欲证)?”“即要证?”“就要证?”等分析到一个 明显成立的结论 P,再说明所要证明的数学问题成立.

双基自测 1 . ( 人 教 A 版 教 材 习 题 改 编 )p = ab + cd , q = b d ma+nc· m+n(m、n、a、b、c、d 均为正数),则 p、q 的大 小为( A.p≥q 解析 q= ). B.p≤q C.p>q D.不确定

mad nbc ab+ + +cd≥ ab+2 abcd+cd n m

mad nbc = ab+ cd=p,当且仅当 n = m 时取等号. 答案 B

2.设 a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则 a 与 b 大小关系为( A.a>b C.a=b 解析 B.a<b D.a≤b

).

a=lg 2+lg 5=1,b=ex,当 x<0 时,0<b<1.

∴a>b. 答案 A

3.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为 ( A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析 ∵a,b,c 恰有一个偶数,即 a,b,c 中只有一个偶数, 其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇 数,故只有 D 正确. 答案 D ).

4.(2012· 广州调研)设 a、b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中 正确的是( A.b-a>0 解析 >0. 答案 D ). B.a3+b3<0 C.a2-b2<0 D.b+a>0

∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a

5. 在用反证法证明数学命题时, 如果原命题的否定事项不止一 个时,必须将结论的否定情况逐一驳倒,才能肯定原命题的正 确. 例如:在△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内一点,∠APB >∠APC,求证:∠BAP<∠CAP,用反证法证明时应分:假 设________和________两类. 答案 ∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP

考向一

综合法的应用

a2 b2 c2 【例 1】?设 a,b,c>0,证明: + + ≥a+b+c. b c a [审题视点] 用综合法证明,可考虑不等式左边两两结合. 证明 ∵a,b,c>0,根据均值不等式,

a2 b2 c2 有 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c. a2 b2 c2 三式相加: b + c + a +a+b+c≥2(a+b+c).a=b=c 时取等 号. a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c. b c a

综合法是一种由因导果的证明方法, 即由已知条件出发, 推导 出所要证明的等式或不等式成立.因此,综合法又叫做顺推证 法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,这 就要保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确性.

1 【训练1】 设a,b为互不相等的正数,且a+b=1,证明: a + 1 >4. b 证明 1 1 ?1 1? b a ? + ?· a+b=?a b? (a+b)=2+a+b≥2+2=4.

1 1 又a与b不相等.故a+b>4.

?a+mb? a2+mb2 ?2 【例2】?已知m>0,a,b∈R,求证:? ? 1+m ? ≤ 1+m . ? ?

[审题视点] 先去分母,合并同类项,化成积式. 证明 ∵m>0,∴1+m>0.所以要证原不等式成立,

只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0显然成立, 故原不等式得证.

逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找 使结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解 的关键.

【训练2】 已知a,b,m都是正数,且a<b. a+m a 求证: > . b+m b 证明 a+m a 要证明 > ,由于a,b,m都是正数, b+m b

只需证a(b+m)<b(a+m), 只需证am<bm, 由于m>0,所以,只需证a<b. 已知a<b,所以原不等式成立. (说明:本题还可用作差比较法、综合法、反证法)

考向三 反证法的应用 x-2 【例3】?已知函数f(x)=a + (a>1). x+1
x

(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明f(x)=0没有负根. [审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明;第(2)问假设存

在x0<0后,应推导出x0的范围与x0<0矛盾即可.

证明

(1)法一

任取 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2,则

x2-x1>0,ax2-x1>1,且 ax1>0. 所以 ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0.又因为 x1+1>0, 2+1>0, x x2-2 x1-2 ?x2-2??x1+1?-?x1-2??x2+1? 所 以 - = = x2+1 x1+1 ?x2+1??x1+1? 3?x2-x1? >0, ?x2+1??x1+1? x2-2 x1-2 于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+ - >0, x2+1 x1+1 故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

法二

3 f′(x)=a ln a+ >0, ?x+1?2
x

∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x0-2 (2)假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 ax0=- ,又 x0+1 x0-2 1 0<ax0<1,所以 0<- <1,即 <x0<2,与 x0<0(x0≠- 2 x0+1 1)假设矛盾.故 f(x0)=0 没有负根.

当一个命题的结论是以“至多”,“至少”、“唯一”或以 否定形式出现时,宜用反证法来证,反证法的关键是在正确的 推理下得出矛盾,矛盾可以是:①与已知条件矛盾;②与假设 矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实矛盾等方面,反 证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具,是数学证明中 的一件有力武器.

【训练3】 已知a,b为非零向量,且a,b不平行,求证:向量 a+b与a-b不平行. 证明 假设向量a+b与a-b平行, 即存在实数λ使a+b=λ(a-b)成立, 则(1-λ)a+(1+λ)b=0,∵a,b不平行,
?1-λ=0, ? ∴? ?1+λ=0, ? ?λ=1, ? 得? ?λ=-1, ?

所以方程组无解,故假设不成立,故原命题成立.

规范解答 24——怎样用反证法证明问题 【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法, 其基本特点是反 设结论,导出矛盾,当问题从正面证明无法入手时,就可以考 虑使用反证法进行证明.在高考中,对反证法的考查往往是在试 题中某个重要的步骤进行. 【解决方案】 首先反设,且反设必须恰当,然后再推理得出矛 盾,最后肯定原结论.

【示例】 ?(本题满分 12 分)(2011· 安徽)设直线 l1: y=k1x+1, 2: l y=k2x-1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上.

第(1)问采用反证法,第(2)问解 l1 与 l2 的交点坐标,代入椭圆 方程验证.

[解答示范] 证明

(1)假设 l1 与 l2 不相交,

则 l1 与 l2 平行或重合,有 k1=k2,(2 分)
2 代入 k1k2+2=0,得 k1+2=0.(4 分)

这与 k1 为实数的事实相矛盾,从而 k1≠k2,即 l1 与 l2 相交.(6 分)

?y=k x+1, ? 1 ? (2)由方程组 ?y=k2x-1, ?

? ?x= 2 , ? k2-k1 解得交点 P 的坐标(x,y)为? ?y=k2+k1. ? k2-k1 ? 从而 2x +y
2 2

(9 分)

? ? ? 2 ? ? ?2 ?k2+k1?2 =2?k -k ? +? ? 1? ? 2 ?k2-k1?

8+k2+k2+2k1k2 k2+k2+4 2 1 1 2 = 2 2 = 2 2 =1, k2+k1-2k1k2 k1+k2+4 此即表明交点 P(x,y)在椭圆 2x2+y2=1 上.(12 分)

用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定 结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面 作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可 能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知 事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.

【试一试】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. [尝试解答] (1)当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1.

1 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2,两式相减得 an+1=2an, 1 1 所以{an}是首项为 1,公比为2的等比数列,所以 an= n-1. 2

(2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap+1, aq+1,ar+1(p<q<r,且 p,q,r∈N*), 1 1 1 则 2·q= p+ r, 2 2 2 所以 2·r-q=2r-p+1.① 2 又因为 p<q<r,所以 r-q,r-p∈N*. 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立,所以假设不 成立,原命题得证.

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