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学案23证明不等式


学案 23、利用导数证明不等式
1、设函数 f ?x? ? x 2 ? b ln?x ? 1? ,其中 b ? 0 (I)当 b ?

⑴对一切 x ? ?0,??? , 2 f ?x ? ? g ?x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; ⑵证明:对一切 x ? ?0,??? , ln x ?

1 2 ? 恒成立。 x ex

e

1 时,判断函数 f ?x ? 在定义域上的单调性; 2

(II)求函数 f ?x ? 的极值点; (III)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln?

1 ?1 ? 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立. n ?n ? n

5、已知函数 f ( x) ? p ln x ? ? p ? 1?x 2 ? 1 . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当 p ? 1 时, f ( x) ? kx 恒成立,求实数 k 的取值范围;

2、设函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? ax ? 此点处 f ?x ? 与 g ?x ? 有公切线. (Ⅰ) 求 a , b 的值;

b ,函数 f ?x ? 的图像与 x 轴的交点也在函数 g ?x ? 的图像上,且在 x

(3)证明: ln( n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? (n ? N * ) . 2 3 n

(Ⅱ) 设 x ? 0 ,试比较 f ?x ? 与 g ?x ? 的大小.

6、函数 f ? x ? ? ln? x ? 1? ? ⑴讨论 f ?x ? 的单调性

ax (a ? 1) x?a

⑵设 a1 ? 1, an?1 ? ln?an ? 1? ,证明: 3、已知函数 f ?x? ? e ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处的切线斜
x

2 3 ? an ? n?2 n?2

率为-1. ⑴求 a 的值及函数 y ? f ?x ? 的极值
2 x ⑵证明:当 x ? 0 时, x ? e 。

7、已知函数 f ( x) ?

x ?1 . ex

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2) 若函数 y ? g ( x) 对任意 x 满足 g ( x) ? f (4 ? x) ,求证:当 x ? 2 , f ( x) ? g ( x); (3) 若 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 4.

4、已知 f ?x? ? x ln x, g ?x? ? ? x ? ax ? 3 。
2


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