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2016年四川省泸州市高考数学三诊试卷(理科)(解析版)


2016 年四川省泸州市高考数学三诊试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 1.设集合 M={x|x2﹣x﹣6<0},N={x|x﹣1>0},则 M∩N=( ) A. D. (1,2) B. (1,3) C. (﹣1,2) (﹣1,3) 2.若命题 p:? x0∈R,x0﹣2>lgx0

,则¬p 是( ) A.? x0∈R,x0﹣2≤lgx0 B.? x0∈R,x0﹣2<lgx0 C.? x∈R,x﹣2<lgx D.? x∈R,x﹣2≤lgx 3.已知 cos2θ= ,则 sin4θ﹣cos4θ 的值为( A. B. C.﹣ D.﹣ ﹣y2=1 的渐近线的距离为( ) )

4.圆 x2+y2﹣4x=0 的圆心到双曲线

A.1 B.2 C. D.2 5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x,y∈R,则输出 t 的最大值为(



A.1 B.3 C.2 D.0 6.从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,某三视图如图,则该几何体 的体积为( )

A.

B.

C.

D.

7.某学校一天共排 7 节课(其中上午 4 节、下午 3 节) ,某教师某天高三年级 1 班和 2 班各 有一节课,但他要求不能连排 2 节课(其中上午第 4 节和下午第 1 节不算连排) ,那么该教 师这一天的课的所有可能的排法种数共有( )

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A.16

B.15

C.32
2

D.30

8.已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点,若 =4 ,则|QF|=( ) A.3 B. C. D.

9.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1B1 内的动点,且 A1F∥平面 D1AE,则 A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值 t 构成的集合是( )

A.{t| D.{t|2

} }

B.{t|

≤t≤2}

C.{t|2

}

10.已知函数 f(x)=

,g(x)=﹣4x+a?2x+1+a2+a﹣1(a∈R) ,若 f(g(x) )

>e 对 x∈R 恒成立(e 是自然对数的底数) ,则 a 的取值范围是( A.[﹣1,0] B. (﹣1,0) C.[﹣2,0] D.[﹣ ,0]



二、填空题:本题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分。 11.复数 z= (i 为虚数单位)的虚部是_______.

12.在二次项式(x﹣ )6 的展开式中,常数项的值是_______. (用具体数字作答) 13.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 时刻 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 水深(m) 5.0 若该港口的水深 y(m)和时刻 t(0≤t≤24)的关系可用函数 y=Asin(ωt)+h(其中 A>0, ω>0,h>0)来近似描述,则该港口在 11:00 的水深为_______m. 14.若直线 ax+y﹣a+1=0(a∈R)与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点(其中 O 为坐标原点) ,则 的最小值为_______. 15.函数 f(x)图象上不同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)处的切线的斜率分别是 kA,kB, |AB|为 A、B 两点间距离,定义 φ(A,B)= 为曲线 f(x)在点 A 与点 B 之

间的“曲率”,给出以下问题: ①存在这样的函数,该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数;

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=x3﹣x2+1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2, ②函数 f (x) 则点 A 与点 B 之间的“曲 率”φ(A,B)> ; ③函数 f(x)=ax2+b(a>0,b∈R)图象上任意两点 A、B 之间的“曲率”φ(A,B)≤2a; ④设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是曲线 f(x)=ex 上不同两点,且 x1﹣x2=1,若 t?φ(A,B) <1 恒成立,则实数 t 的取值范围是(﹣∞,1) . 其中正确命题的序号为_______(填上所有正确命题的序号) . 三、简答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3= ,S3= . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求使 Tn= +105 成立的 n 的值.

17.我国政府对 PM2.5 采用如下标准: 空气质量等级 PM2.5 日均值 m(μg/m3) m<35 一级 35≤m≤75 二级 m>75 超标 某市环保局从 180 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 10 天的数据作为样本,检测值如 茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) . 1 10 ( )求这 天数据的中位数; (2)从这 10 天的数据中任取 3 天的数据,记 ξ 表示空气质量达到一级的天数,求 ξ 的分布 列; (3)以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况,其中大约有多少天的空气 质量达到一级?

18.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求 C 的值; (2)若 D 是 AB 上的点,已知 cos∠BCD=

a=

ccosB+bsinC.

,a=2,b=3,求 sin∠BDC 的值.

19.如图,在空间多面体 ABCDE 中,四边形 ABCD 为直角梯形,AB∥DC,AD⊥CD,△ ADE 是正三角形,CD=DE=2AB,CE= CD. (I)求证:平面 CDE⊥平面 ADE; (Ⅱ)求二面角 C﹣BE﹣A 的余弦值.

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20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点 P(1, ) ,其离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的右顶点为 A,直线 l 交 C 于两点 M、N(异于点 A) ,若 D 在 MN 上,且 2 AD⊥MN,|AD| =|MD||ND|,证明直线 l 过定点. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) (其中 a>0,e 是自然对数的底数) . (Ⅰ)若关于 x 的方程 f(x)= x2﹣ x+a 有唯一实根,求(1+lna)a2 的值;

(Ⅱ)若过原点作曲线 y=f(x)的切线 l 与直线 y=﹣ex+1 垂直,证明:

<a<



(Ⅲ)设 g(x)=f(x+1)+ex,当 x≥0 时,g(x)≥1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2016 年四川省泸州市高考数学三诊试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 1.设集合 M={x|x2﹣x﹣6<0},N={x|x﹣1>0},则 M∩N=( ) A. D. (1,2) B. (1,3) C. (﹣1,2) (﹣1,3) 【考点】交集及其运算. 【分析】分别求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 M 中不等式变形得: (x﹣3) (x+2)<0, 解得:﹣2<x<3,即 M=(﹣2,3) , 由 N 中不等式解得:x>1,即 N=(1,+∞) , 则 M∩N=(1,3) , 故选:B. 2.若命题 p:? x0∈R,x0﹣2>lgx0,则¬p 是( ) A.? x0∈R,x0﹣2≤lgx0 B.? x0∈R,x0﹣2<lgx0 C.? x∈R,x﹣2<lgx D.? x∈R,x﹣2≤lgx 【考点】命题的否定. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题 p:? x0∈R,x0﹣2>lgx0,则 ¬p 是? x0∈R,x0﹣2≤lgx0. 故选:A. 3.已知 cos2θ= ,则 sin4θ﹣cos4θ 的值为( A. B. C.﹣ D.﹣



【考点】同角三角函数基本关系的运用;二倍角的余弦. 【分析】 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简, 原式利用平方差公式及同角三角函 数间的基本关系化简,将得出关系式代入计算即可求出值. 【解答】解:∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ= , ∴sin4θ﹣cos4θ=(sin2θ﹣cos2θ) (sin2θ+cos2θ)=sin2θ﹣cos2θ=﹣(cos2θ﹣sin2θ)=﹣ , 故选:C. 4.圆 x2+y2﹣4x=0 的圆心到双曲线 A.1 B.2 C. D.2 ﹣y2=1 的渐近线的距离为(



【考点】双曲线的简单性质.

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【分析】求得圆的圆心和半径,双曲线的渐近线方程,运用点到直线的距离公式,计算即可 得到所求值. 【解答】解:圆 x2+y2﹣4x=0 的圆心为(2,0) ,半径为 2, 双曲线 ﹣y2=1 的渐近线方程为 y=± x,

可得圆心到双曲线

﹣y2=1 的渐近线的距离为:

d=

=1.

故选:A. 5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x,y∈R,则输出 t 的最大值为( )

A.1

B.3

C.2

D.0

【考点】程序框图. 【分析】分析框图可知,本题是求可行域 求得取得最大值的点的坐标,得出最大值即可. 【解答】解:由程序框图知:本题是求可行域 画出可行域如图: 内,t= 的最大值, 内,目标函数 t= 最大值,画出可行域,

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由于 t= 为经过可行域的一点与原点的直线的斜率,可得当直线经过 OA 时斜率最大, 由 故选:B. 6.从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,某三视图如图,则该几何体 的体积为( ) ,解得,A(1,3) ,此时,t= = =3.

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由题意所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示: 该几何体是一棱长 为 1 的正方体切去如图所示的一角. 【解答】解:由题意所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示: 该几何体是一棱长为 1 的正方体切去如图所示的一角, ∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去截取的直三棱锥的体积, ∴V=1﹣ × 故选:B. = .

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7.某学校一天共排 7 节课(其中上午 4 节、下午 3 节) ,某教师某天高三年级 1 班和 2 班各 有一节课,但他要求不能连排 2 节课(其中上午第 4 节和下午第 1 节不算连排) ,那么该教 师这一天的课的所有可能的排法种数共有( A.16 B.15 C.32 D.30 )

【考点】计数原理的应用. 【分析】直接分类讨论得以解决. 【解答】解:该教师一个班上第 1 节课,则另一个班有 5 种情况,考虑顺序,有 10 种方法; 一个班上第 2 节课,则另一个班有 4 种情况,考虑顺序,有 8 种方法; 一个班上第 3 节课,则另一个班有 3 种情况,考虑顺序,有 6 种方法; 一个班上第 4 节课,则另一个班有 3 种情况,考虑顺序,有 6 种方法; 一个班上第 5 节课,则另一个班有 7 种情况,考虑顺序,有 2 种方法; 共有 10+8+6+6+2=32 种方法. 故选:C. 8.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点,若 =4 ,则|QF|=( ) A.3 B. C. D.

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】如图所示,由抛物线 C:y2=8x,可得焦点为 F,准线 l 方程,准线 l 与 x 轴相交于 点 M, |FM|=4. 经过点 Q 作 QN⊥l, 垂足为 N 则|QN|=|QF|. 由 QN∥MF, 可得 即可得出. 【解答】解:如图所示, 由抛物线 C:y2=8x,可得焦点为 F(2,0) ,准线 l 方程为:x=﹣2, 准线 l 与 x 轴相交于点 M,|FM|=4. 经过点 Q 作 QN⊥l,垂足为 N 则|QN|=|QF|. ∵QN∥MF, ∴ = = , = ,

∴|QN|=3=|QF|. 故选:A.

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9.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1B1 内的动点,且 A1F∥平面 D1AE,则 A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值 t 构成的集合是( )

A.{t| D.{t|2

}

B.{t|

≤t≤2}

C.{t|2

}

} 【考点】直线与平面所成的角. 【分析】设平面 AD1E 与直线 BC 交于点 G,连接 AG、EG,则 G 为 BC 的中点.分别取 B1B、B1C1 的中点 M、N,连接 AM、MN、AN,可证出平面 A1MN∥平面 D1AE,从而得 到 A1F 是平面 A1MN 内的直线.由此将点 F 在线段 MN 上运动并加以观察,即可得到 A1F 与平面 BCC1B1 所成角取最大值、最小值的位置,由此不难得到 A1F 与平面 BCC1B1 所成角 的正切取值范围. 【解答】解:设平面 AD1E 与直线 BC 交于点 G,连接 AG、EG,则 G 为 BC 的中点 分别取 B1B、B1C1 的中点 M、N,连接 AM、MN、AN,则 ∵A1M∥D1E,A1M?平面 D1AE,D1E? 平面 D1AE, ∴A1M∥平面 D1AE.同理可得 MN∥平面 D1AE, ∵A1M、MN 是平面 A1MN 内的相交直线 ∴平面 A1MN∥平面 D1AE, 由此结合 A1F∥平面 D1AE,可得直线 A1F? 平面 A1MN,即点 F 是线段 MN 上上的动点. 设直线 A1F 与平面 BCC1B1 所成角为 θ 运动点 F 并加以观察,可得 当 F 与 M(或 N)重合时,A1F 与平面 BCC1B1 所成角等于∠A1MB1,此时所成角 θ 达到最 小值,满足 tanθ= =2;

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A1F 与平面 BCC1B1 所成角达到最大值, 当 F 与 MN 中点重合时, 满足 tanθ= ∴A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切取值范围为[2,2 故选:D

=2

]

10.已知函数 f(x)=

,g(x)=﹣4x+a?2x+1+a2+a﹣1(a∈R) ,若 f(g(x) )

>e 对 x∈R 恒成立(e 是自然对数的底数) ,则 a 的取值范围是( A.[﹣1,0] B. (﹣1,0) C.[﹣2,0] D.[﹣ ,0]



【考点】分段函数的应用. 【分析】求得 f(x)的值域,讨论当 x≤0 时,当 x>0 时,求出导数,判断单调性可得范 围,令 t=g(x) ,则 f(t)>e,即有 t≤0,则 >e,解得 t<﹣1,即﹣4x+a?2x+1+a2+a﹣

1<﹣1,由指数函数的值域和二次函数的最值的求法,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解:当 x≤0 时,f(x)= ≥0,

f(x)的导数为 f′(x)=

<0,

即 f(x)递减,则 f(x)≥0; 当 x>0 时,f(x)= 的导数为 ,

当 x>e 时,f(x)递减;当 0<x<e 时,f(x)递增. 则 x=e 处取得极大值,且为最大值 , 即有 f(x)≤ . 令 t=g(x) ,则 f(t)>e, 即有 t≤0,则 >e,
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即 et+1+t<0,由 y=et+1+t 在 t≤0 递增, 且 t=﹣1 时,y=0,可得 t<﹣1. 可得 g(x)<﹣1 恒成立, 即有﹣4x+a?2x+1+a2+a﹣1<﹣1,即有﹣4x+a?2x+1+a2+a<0, 当 a>0 时,y=﹣(2x﹣a)2+2a2+a<0, 由 2x>0,可得 2x=a 时,取得最大值 2a2+a, 可得 2a2+a<0 不成立; 当 a≤0 时,y=﹣(2x﹣a)2+2a2+a<0, 由 2x>0,﹣a≥0,y<a2+a, 可得 a2+a≤0,解得﹣1≤a≤0. 综上可得 a 的范围是[﹣1,0]. 故选:A

二、填空题:本题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分。 11.复数 z= (i 为虚数单位)的虚部是 1 .

【考点】复数的基本概念. 【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式, 得到复数的标准形式,得到虚部. 【解答】解:∵复数 z= ∴复数 z 的虚部是 1, 故答案为:1. 12.在二次项式(x﹣ )6 的展开式中,常数项的值是 =

﹣160 . (用具体数字作答)

【考点】二项式系数的性质. 【分析】写出二项展开式的通项,由 x 的指数为 0 求得 r 值,则常数项可求. 【解答】解:由 令 6﹣2r=0,得 r=3,
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=



∴二项项式(x﹣ )6 的展开式中的常数项的值为 故答案为:﹣160.



13.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 时刻 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 水深(m) 5.0 若该港口的水深 y(m)和时刻 t(0≤t≤24)的关系可用函数 y=Asin(ωt)+h(其中 A>0, ω>0,h>0)来近似描述,则该港口在 11:00 的水深为 4 m. 【考点】在实际问题中建立三角函数模型. 【分析】利用已知数据,确定合适的周期、振幅等,即可得出函数解析式,从而能求出该港 口在 11:00 的水深. 【解答】解:由题意得函数 y=Asin(ωt)+h(其中 A>0,ω>0,h>0)的周期为 T=12, ,解得 A=2,h=5, ∴ω= ∴y=2sin = , +5, +5=4(m) .

∴该港口在 11:00 的水深为 y=2sin 故答案为:4.

14.若直线 ax+y﹣a+1=0(a∈R)与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点(其中 O 为坐标原点) ,则 的最小值为 4 . 【考点】直线与圆相交的性质. =4 【分析】易得直线恒过定点 C(1,﹣1) ,圆 x2+y2=4 圆心为(0,0)半径为 2, ﹣2×2×cos< , >,可得当 AB⊥OC 时,式子取最小值,数形结合联立方程组解点 的坐标可得. 【解答】解:直线 ax+y﹣a+1=0 可化为 y+1=﹣a(x﹣1) , 2 2 C 1 1 x y =4 0 0 恒过定点 ( ,﹣ ) ,圆 + 圆心为( , )半径为 2, ∴ = ? = ?( ﹣ )= ﹣ ?

=4﹣2×2×cos< , >, 当 AB⊥OC 时,< , >最小,cos< , >取最大值, =4﹣4cos< , >取最小值, 此时 此时 OC 的斜率为﹣1,由垂直关系可得﹣a=1,解得 a=﹣1, 故此时直线方程为 y+1=x﹣1,即 y=x﹣2, 联立 可解得 或 ,

∴< 此时



>取最小值 =4﹣4cos<

,cos< ,



>取最大值 0,

>取最小值 4,
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故答案为:4 15.函数 f(x)图象上不同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)处的切线的斜率分别是 kA,kB, |AB|为 A、B 两点间距离,定义 φ(A,B)= 为曲线 f(x)在点 A 与点 B 之

间的“曲率”,给出以下问题: ①存在这样的函数,该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数; =x3﹣x2+1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2, ②函数 f (x) 则点 A 与点 B 之间的“曲 A B ”φ 率 ( , )> ; ③函数 f(x)=ax2+b(a>0,b∈R)图象上任意两点 A、B 之间的“曲率”φ(A,B)≤2a; ④设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是曲线 f(x)=ex 上不同两点,且 x1﹣x2=1,若 t?φ(A,B) <1 恒成立,则实数 t 的取值范围是(﹣∞,1) . 其中正确命题的序号为 ①③ (填上所有正确命题的序号) . 【考点】命题的真假判断与应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】考虑一次函数,求出导数,可得 φ(A,B)=0,即可判断①;求出 A,B 的坐标, 求得 φ(A,B) ,即可判断②;求出 f(x)的导数,运用不等式的性质,可得 φ(A,B) ≤2a,即可判断③;求出函数的导数,运用新定义求得 φ(A,B) ,由恒成立思想,即可 得到 t 的范围,即可判断④. 【解答】解:对于①,当函数 f(x)=kx+b(k≠0)时,f′(x)=k, φ(A,B)= = =0,故①正确;

对于②,由题意可得 A(1,1) ,B(2,5) ,f(x)的导数为 f′(x)=3x2﹣2x, 可得 φ(A,B)= = = < ,故②不正确;

对于③,函数 f(x)=ax2+b 的导数为 f′(x)=2ax, B) = 即有 φ (A, = = ≤

2a, 故③正确; 对于④,由 y=ex 得 y′(x)=ex, 由 A(x1,y1) ,B(x2,y2)为曲线 y=ex 上两点,且 x1﹣x2=1, 可得 φ(A,B)= = ,

由 t?φ(A,B)<1 恒成立,可得 t<





>1,可得 t≤1,故④不正确.

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故答案为:①③. 三、简答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3= ,S3= . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求使 Tn= +105 成立的 n 的值.

【考点】数列的求和. 【分析】 (Ⅰ)讨论 q=1 和 q≠1 的情况,分别应用等比数列的通项公式和求和公式,解方 程即可得到公比和首项,进而得到通项公式. (2)分类讨论 q 的取值,利用对数的性质求 bn,出再进行化简,求得 Tn,最后求得 n 的值. 【解答】解: (Ⅰ)当 q=1 时, , 成立;

当 q≠1 时,



,由





解得 a1=6,

,则

综上可知: (Ⅱ)当 2n= +105 则 n=70 当

或 时,bn=2 则 Tn=2n;



=

=

=2n,

∴ ∴

, 整理得:n2+n﹣210=0;

解得 n=10 综上可知 n=10 或 n=70. 17.我国政府对 PM2.5 采用如下标准: PM2.5 日均值 m(μg/m3) m<35 35≤m≤75 m>75

空气质量等级 一级 二级 超标

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某市环保局从 180 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 10 天的数据作为样本,检测值如 茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) . (1)求这 10 天数据的中位数; (2)从这 10 天的数据中任取 3 天的数据,记 ξ 表示空气质量达到一级的天数,求 ξ 的分布 列; (3)以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况,其中大约有多少天的空气 质量达到一级?

【考点】茎叶图;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 ( 1)利用茎叶图和中位数的定义求解. ( 2)由 N=10,M=4,n=3,ξ 的可能值为 0,1,2,3,利用 P(ξ=K)= 1,2,3) ,能求出分布列. ( 3)一年中每天空气质量达到一级的概率为 ,由 η~B,能求出一年中空气质量达到一 级的天数为 72 天. 【解答】解: ( 1)由茎叶图知: 10 天的中位数为 (38+44)2=41(微克/立方米) ( 2)由 N=10,M=4,n=3,ξ 的可能值为 0,1,2,3 利用 P(ξ=K)= ξ P ( 3)一年中每天空气质量达到一级的概率为 , 由 η~B, 得到 Eη=180× =72(天) , ∴一年中空气质量达到一级的天数为 72 天. 18.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求 C 的值; (2)若 D 是 AB 上的点,已知 cos∠BCD= a= ccosB+bsinC. 0 1 (k=0,1,2,3)即得分布列: 2 3 (k=0,

,a=2,b=3,求 sin∠BDC 的值.

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【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)利用正弦定理将边化角,令 sinA=sin(B+C) ,展开化简即可得出 tanC; (2)使用余弦定理求出 c,得出 cosB,sinB,则 sin∠BDC=sin(∠BCD+∠B) . 【解答】解: (1)∵ a= ccosB+bsinC, ∴ sinA= sinCcosB+sinBsinC, 即 sin(B+C)= sinCcosB+sinBsinC, ∴ sinBcosC=sinBsinC, ∴tanC= . ∴C= .

(2)在△ABC 中由余弦定理得 c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣12cosC=7, ∴c= . 由余弦定理得 cosB= = = .

∴sinB= ∵cos∠BCD=

=

. = .

,∴sin∠BCD=

=sin∠BCDcosB+cos∠BCDsinB= ∴sin∠BDC=sin (∠BCD+∠B) = .

19.如图,在空间多面体 ABCDE 中,四边形 ABCD 为直角梯形,AB∥DC,AD⊥CD,△ ADE 是正三角形,CD=DE=2AB,CE= CD. (I)求证:平面 CDE⊥平面 ADE; (Ⅱ)求二面角 C﹣BE﹣A 的余弦值.

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【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (I)根据面面垂直的判定定理即可证明平面 CDE⊥平面 ADE; (Ⅱ)建立空间坐标系,利用向量法求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可求二面角 C﹣BE﹣A 的余弦值. 【解答】证明: (I)∵CD=DE=2AB,CE= CD. ∴设 CD=DE=2AB=2,则 AB=1, 则 CE=2 , ∵CD2+DE2=4+4=8=(2 )2=CE2, ∴△CDE 是直角三角形, 则 CD⊥DE, ∵AD⊥CD,AD∩DE=D, ∴CD⊥平面 ADE; ∵CD? 平面 CDE, ∴平面 CDE⊥平面 ADE; (Ⅱ)建立以 D 为坐标原点,DC,DE 分别为 x,y 轴,过 D 作垂直平面 CDE 的直线为 y 轴的空间直角坐标系如图: 则 D(0,0,0) ,C(2,0,0) ,E(0,2,0) ,A(0,1, 则平面 CBE 的法向量为 =(x,y,z) , =(﹣1,1,﹣ ) , =(﹣2,2,0) , 则 ,得 ,即 , ) ,B(1,1, ) ,

则平面 CBE 的法向量为 =(1,1,0) , 设平面 BEA 的法向量为 =(x,y,z) , 则 =(1,0,0) , 则 得 , ,x=0,即 =(0, = ,1) , =

令 z=1,则 y=

则 cos< , >=

即二面角 C﹣BE﹣A 的余弦值是=.

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20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点 P(1, ) ,其离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的右顶点为 A,直线 l 交 C 于两点 M、N(异于点 A) ,若 D 在 MN 上,且 2 AD⊥MN,|AD| =|MD||ND|,证明直线 l 过定点. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和点 P 满足椭圆方程,以及 a,b,c 的关系,解方程 可得 a,b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ) 运用三角形的相似的判定和性质定理, 可得∠MAN=90°, 联立方程组 ,

设 M(x1,y1)N(x2,y2) ,A(2,0) ,可得(3+4k2)x2+8km+4m2﹣12=0,由两直线垂直 的条件:斜率之积为﹣1,得到,7m2+16km+4k2=0,7m=﹣2k,m=﹣2k,代入求解即可得 出定点. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可得 e= = , 又 a2﹣b2=c2, 且 + =1, , + =1;

解得 a=2,c=1,b= 可得椭圆的方程为

(Ⅱ)证明:由 AD⊥MN,|AD|2=|MD||ND|, 可得 Rt△ADM∽Rt△DNA, 即有∠DNA=∠MAD,即∠MAN=90°, 由 ,M(x1,y1)N(x2,y2) ,A(2,0) ,

可得(3+4k2)x2+8km+4m2﹣12=0, x1+x2=﹣ ,x1x2= ,△=(8km)2﹣4(3+4k2) (4m2﹣12)>0,

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即 4k2>m2﹣3, 由 AM⊥AN,可得 ? =﹣1,

即为(x1﹣2) (x2﹣2)+(kx1+m) (kx2+m)=0, 2 即(k +1)x1x2+(mk﹣2) (x1+x2)+m2+4=0, 即有(k2+1)? +(mk﹣2) (﹣ )+m2+4=0,

化简可得 7m2+16km+4k2=0, m=﹣ k 或 m=﹣2k,满足判别式大于 0, 当 m=﹣ k 时,y=kx+m=k(x﹣ ) (k≠0) , 直线 l 过定点( ,0) ; 当 m=﹣2k 时,y=kx﹣2k=k(x﹣2) ,直线 l 过定点(2,0) . 由右顶点为 A(2,0) ,则直线 l 过定点(2,0)不符合题意, 当直线的斜率不存在时,也成立. 根据以上可得:直线 l 过定点,且为( ,0) .

21.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) (其中 a>0,e 是自然对数的底数) . (Ⅰ)若关于 x 的方程 f(x)= x2﹣ x+a 有唯一实根,求(1+lna)a2 的值;

(Ⅱ)若过原点作曲线 y=f(x)的切线 l 与直线 y=﹣ex+1 垂直,证明:

<a<



(Ⅲ)设 g(x)=f(x+1)+ex,当 x≥0 时,g(x)≥1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)设 h(x)=lnx﹣ x2﹣(a﹣ )x,求出函数的导数,通过讨论 a 的范围, 求出函数的单调区间,求出函数的最大值=﹣lna+ (Ⅱ)求出切线 l 的方程,得到 a═ ﹣ ,根据函数的单调性证明即可; (Ⅲ)先求出 g(x)的导数,通过讨论 a 的范围,结合函数的单调性从而得到答案. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)= x2﹣ x+a, ∴lnx﹣ x2﹣(a﹣ )x=0, ﹣1=0;从而求出代数式的值; ﹣ =0,令 m(x)=lnx﹣1+

﹣ ,且 lnx1﹣1+

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设 h(x)=lnx﹣ x2﹣(a﹣ )x,则 h′(x)=﹣



a>0 时,h(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减, 则 h(x)max=h( )=﹣lna+ ∵h(x)=0 有唯一实根, ∴x0= 且 h(x)max=h( )=﹣lna+ 故 1+lna= ,∴(1+lna)a2= ; ﹣1=0; ﹣1,

(Ⅱ)证明:∵过原点所作曲线 y=f(x)的切线 l 与直线 y=﹣ex+1 垂直, ∴切线 l 的斜率为 k= ,方程是 y= x, 设 l 与 y=f(x)的切点为(x1,y1) ,





∴a=

﹣ ,且 lnx1﹣1+

﹣ =0, + ,

令 m(x)=lnx﹣1+ ﹣ ,则 m′(x)=﹣

∴m(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增, 若 x1∈(0,1) ,∵m( )=﹣2+e﹣ >0,m(1)=﹣ <0, ∴x1∈( ,1) , 而 a= ﹣ 在 x1∈( ,1)递减, <a< ,



若 x1∈(1,+∞) ,∵m(x)在(1,+∞)递增,且 m(e)=0,则 x1=e, ∴a= ﹣ =0(舍) ,

综上:

<a<



(Ⅲ)∵g(x)=f(x+1)+ex=ln(x+1)﹣ax+ex,

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∴g′(x)=

﹣a+ex,g″(x)=

≥0,

①0<a≤2 时,∵g′(x)在[0,+∞)递增, ∴g′(x)≥g′(0)=2﹣a≥0, ∴g(x)在[0,+∞)递增,g(x)≥g(0)=1 恒成立,符合题意, ②a>2 时,∵g′(x)在[0,+∞)递增,g′(0)=2﹣a<0, 则存在 x0(0,+∞) ,使得 g′(x0)=0, ∴g(x)在(0,x0)递减,在(x0,+∞)递增, 又 x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=1, ∴g(x)≥1 不恒成立,不合题意, 综上,所求实数 a 的范围是(0,2].

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2016 年 9 月 12 日

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