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河北省蠡县大百尺中学2009届高三第三次周练(数学理)


河北省蠡县大百尺中学2009 届高三第三次周练 数学理
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 把函数 y ? 2 x 的图象按向量 得到函数 y ? f ( x) 的图像, 则 f ( x) 的 a ? (?1,?3) 平移后, 解析式为 A. 2
x ?1




<

br />?3

B. 2

x ?1

?3

C. 2

x ?1

?3

D. 2

x ?1

?3
( )

2.函数 y ? 3 sin x ? cos x在x ?[0,? ] 上的最小值为 A.-1
?x

B.-2

C .0

D. ? 3

3.若函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 是定义域为 R 的增函数,则函数 g ( x) ? loga ( x ? 1) 的图 象大致是 ( )

A
2

B
2

C

D

4.已知直线 x ? y ? a与圆x ? y ? 4 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,向量 OA 、 OB 满足

| OA ? OB |?| OA ? OB | ,则实数 a 的值是
A.2 B.-2



) D.2 或-2

C. 6 或- 6

x2 y2 ? ? 3 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 m 的取值范围是( 5.若方程 m ?1 m2 ? 4
A. 1 ? m ? 2 B. m ? 2 C. m ? ?2 D. ? 2 ? m ? 2 6.已知 B ( ? 5 ,0)、C (5,0)是△ABC 的两个顶点,且 sin B ? sin C ? A 的轨迹方程为 A.



3 sinA,则顶点 2 5
( , ) 4 , 6

x2 y2 ? ? 1 ( x ? 3) 9 16

B.

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?3) 9 16

x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0) C. 9 16

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?6) D. 36 11
?1

7.已知函数 f ( x) ? log2 x ( x ? 0) 的反函数为 f

若 a,b 均 ( x),且有f ?1 (a) ? f ?1 (b) ? 2,

为正数,则 A.2

1 4 ? 的最小值为 a b
B.4 C .6 D.9





8.在△ABC 中,O 为边 BC 中线 AM 上的一点,若 AM=4,则 AO ? (OB ? OC) 的( A.最大值为 8 B.最大值为 4 C.最小值-4 D.最小值为-8



9.⊿ABC 的三个内角 A、B、C 所对边 a、b、c 成等比数列,则 围是( A. (0, ) B. (

sin A cot C ? cos A 的取值范 sin B cot C ? cos B

1? 5 ) 2

5 ?1 ,1] 2

C. [1,

1? 5 ) 2

D. (

5 ?1 1? 5 , ) 2 2

x y ? ? 1 通过点 M (cos? , sin ? ) ,则有( ) a b 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. 2 ? 2 ? 1 a b
10.直线 二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

D.

1 1 ? 2 ?1 2 a b
。 。

11. 已知点 P ( ? 2 , 2) 和圆 C: 则过 P 点的圆 C 的切线方程 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 , 12.已知函数 f ? x ? ? 5sin ?? x ? 2? 满足条件 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,则正数 ? =

13. 若 f ( x) ? 100x 5 ? 3x , 则 满 足 不 等 式 f (2m ? 1) ? f (3 ? m) ? 0 的 m 的 取 值 范 围 为 。

14.已知 F1 、F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点,椭圆上存在一点 P,使得 S⊿ a2 b2


F1PF2=

3b 2 ,则该椭圆的离心率的取值范围是

?x ?1 ? 0 2 ? 2 15.如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 内,点 Q 在曲线 ? x ? 2 ? ? y ? 1上那么 PQ 的最大 ?y ? 2 ? 0 ?
值为 。

16.Pn 是△ABC 内一动点 ,且满足 AP n ?

S ?APnC 1 1 AB ? AC , 记 b ? , n ? 1,2,3? ,则 n 5 S ?ABC 2n


lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ) =
n ??

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 3asinωx-acosωx(a>0,ω>0)的图象上两相邻最高点的坐标分别为

π 4π (3,2)和( 3 ,2). (1)求 a 与 ω 的值; b-2c (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 f(A)=2,求 的值. acos(600+C)

18. (本小题满分 10 分) 一个盒子中装有 6 张卡片,上面分别写着如下 6 个定义域均为 R 的函数:

f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? x 2 , f 3 ( x) ? x 3 , f 4 ( x) ? sin 4x, f 5 ( x) ? cos5x, f 6 ( x) ? 6 。
(1)现从盒 子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新函数,求所得函数为奇函 数的概率; (2)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停 止抽取,否则继续进行。求抽取次数 ? 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?4 x ? b ,不等式 | f ( x) |? c 的解集为(-1,2) (1)若函数 g ( x) ? (2)解不等式

f ( x) ? a 是 R 上的奇函数,求 a 的值。 x2 ? c

4x ? m ? 0. f ( x)

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ln( x ?1) ?1
x

x ? [0 , ? ? )

(1)判断函数 f ( x ) 的单调性并求出函数 f ( x ) 的最小值 (2)若 x ? [3 , ? ?) 时,不等式 e
x ?3

? ln(x ? 1) ? ln m 恒成立,求 m 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,点 P 到两定点 M (0 ,? 3 ) 、N (0 , 3) 的距离之和为 4, ,设点 P 的轨迹为 C,直线 y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 A、B 两点。 (1)求轨迹 C 的方程 (2)若以 AB 为直径的圆过原点,求 k 的值 (3)若点 A 在第一象限,且 k >0,比较 | OA | 与 | OB | 的大小。

22. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 ,且 a n ? 2 ? (1 ? cos (1)求 a3 , a4 ,并求数列 {an } 的通项公式。 (2)设 bn ?
2

n? n? ? )a n ? sin 2 , (n ? N ) 2 2

a 2 n ?1 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn,证明:当 n≥6 时, | S n ? 2 |? n a2n

一 . 选 择 题 : DBAB 16. 13 ? 1

DDCB

DADC

二 . 13.

? 14. (?? , ? 2) 3

15. [

3 , 1) 2

三.17.解: (1)切线方程为: 3x ? 4 y ? 2 ? 0 和 x ? ?2 (2)

…………………6 分 ………………………10 分

y?2 3 的取值范围为 ( ?? ,? ] x?2 4

18.解: (1)由 f ( x) ? sin x ? 2 3 sin x ? cos x ? cos x, 则f ( x) ? 2 sin( 2 x ?
4 4

?
6

) …2 分

?T ?

2? ? ? ……………………………………………………………………… 4 分 |? |

令 2x ?

?

1 1 ? 2k? ? ? , (k ? Z )则x ? k? ? ? , (k ? Z ) 时 6 2 6
………………………………6 分

f ( x)的最小值为? 2
(2)设 2k? ?

?

2 2? 5 ? x ? k? ? ? , (k ? Z ) 则 k? ? 3 3
又? x ? [0, ? ]

? 2x ?

?

3 ? 2k? ? ? , (k ? Z ) 6 2
……………………9 分

2 ?函数f ( x)在[0, ? ] 上的单调减区间为 [ ? , ? ] 3
19.解: (1)由
| ?4 x ? b |? c 得

………………12 分

b?c b?c ,又已知 | f ( x) |? c 的解集为(-1,2) ?x? 4 4

?b ? c ? ?1 ? ? ∴? 4 ?b ? c ? 2 ? 4 ?

得 b = 2 ,c=6

…………………………………… 3 分

所以, g ( x) ?

? 4x ? 2 ? a x2 ? 6

由题意,函数 g ( x) 是 R 上的奇函数,即: g (? x) ? ? g ( x)

4x ? 2 ? a ? 4x ? 2 ? a ?? 2 x ?6 x2 ? 6 解得: a ? ?2
所以,
m ?? 1? 4x ? m ? (2)由 ? 0 得 ? x ? ?? x ? ? ? 0 4 ?? 2? ? 4x ? 2 ?

………………6 分 ………………………………8 分

①当 ? ③当 ?

m 1 1 m m 1 ? ,即 m ? ?2 时, ? x ? ? ②当 ? ? ,即 m ? ?2 时,无解 4 2 2 4 4 2 m 1 m 1 ? ,即 m ? ?2 时, ? ? x ? 4 2 4 2

综合以上讨论得:当 m ? ?2 时,不等式解集为 ?

m? ?1 ,? ? 4? ?2

当 m ? ?2 时,不等式解集为空集 当 m ? ?2 时,不等式解集为 ? ?

? m 1? , ? ……………………12 分 ? 4 2?

20.解:(1) f ( x ) ? e ?
' x

1 1 x ? 1 所以当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 . .当 x ? 0 时, e ? 1 , x ?1 x ?1

∴函数 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上是增函数, ∴当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 取最小值为 0. (2)设 g ( x) ? e x?3 ? ln(x ? 1) ? ln m ,且 x ? [3 , ? ?) 则: g ?( x ) ? e
x ?3

……………………5 分

?

所以, g ?( x) ? e

x ?3

1 1 x ?3 ?1且 ?1 由 x ? [3 , ? ?) 可知: e x ?1 x ?1 1 ? ?0 x ?1

所以,函数 g ( x) 在 [3 , ? ?) 上为增函数,则 g ( x) ? g (3) ? 1 ? ln 4 ? ln m 由题意,不等式 e x?3 ? ln(x ? 1) ? ln m 恒成立,即 g ( x) ? 0 恒成立 所以, g (3) ? 1 ? ln 4 ? ln m ? 0 解得: m ?

4 e
2

……………………………12 分

21.解: (1) x ?

y2 ?1 4
2

…………………………………………3 分

(2) y ? kx ? 1 代入方程 x ? 则: x1 ? x 2 ? ?

y2 ? 1 并整理得: (k 2 ? 4) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 4

2k 3 , x1 x 2 ? ? 2 k ?4 k ?4
2

由题意可知, OA ? OB ,即: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 所以, x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 1) (kx2 ? 1) ? (k ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
2

??
解得: k ? ?

3(k 2 ? 1) 2k 2 ? ? 1 =0 k2 ? 4 k2 ? 4

1 2

………………………………………………………………8 分
2 2 2 2 2 2 2 2

(3) | OA |2 ? | OB |2 ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 ) ? x1 ? x2 ? 4(1 ? x1 ? 1 ? x2 )

? ?3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ?

6k ( x1 ? x 2 ) k2 ? 4
3 可得, x1 ? 0 k ?4
2

因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 ,由 x1 x 2 ? ?

从而 x1 ? x2 ? 0 ,又 k >0,则 | OA |2 ? | OB |2 ? 0 即: | OA |?| OB | 22.解: (1) a3 =2, a4 =4 …………………………………………………………12 分 ………………………………………………2 分

(2k ? 1)? (2k ? 1)? )a n ? sin 2 = an ? 1 2 2 n ?1 则 n 为奇数时,数列 {an } 为等差数列,且公差为 1,首项为 1,则: a n ? a 2 k ?1 ? k ? 2
2 若 n 为奇数,设 n ? 2k ? 1 ,则 a n ? 2 ? (1 ? cos

2 若 n 为偶数,设 n ? 2k ,则 an?2 ? (1 ? cos2 k? )an ? sin k? = 2a n

n

则 n 为偶数时,数列 {an } 为等比数列,且公比为 1,首项为 2,则: an ? a2k ? 2 k ? 2 2

?n ?1 n为奇数 ? 2 所以,数列 {an } 的通项公式为 a n ? ? n ? 2 2 n为偶数 ?
(2) bn ?

………………………6 分

a 2 n ?1 n n?2 = n ,由错位相减法可得: S n ? 2 ? 2n a2n 2

………………………9 分

要证当 n≥6 时, | S n ? 2 |? 设 cn ?

1 n ( n ? 2) ?1 ,只需证:n≥6 时, n 2n

n ( n ? 2) 3 ? n2 c ? c ? ?0 ,则 n ?1 n 2n 2 n?1

所以当 n≥6 时,数列 {cn } 为递减数列,则 n≥6 时, c n ? c 6 ? 所以,当 n≥6 时, | S n ? 2 |?

3 n ( n ? 2) ? 1 ,即: ?1 4 2n

1 (也可以用数学归纳法等方法证明)………………12 分 n


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