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第二册上册第八章第1节椭圆及其标准方程(理)






高二 沈凯





数学





人教版

内容标题 编稿老师

椭圆(一)

【本讲教育信息】
一. 教学内容: 椭圆(一)

二. 重点、难点 1. 定义: PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 2c ? F 1 F2 (其中 P 为椭圆上一点, F1 F2 焦点)

x2 y2 2. 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b (a>b>0) 2 y x2 ? ?1 a2 b2
3. 椭圆的性质

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2 y ?b (1) x ? a
(2) x 、 y 轴为椭圆对称轴,原点为对称中心。 (3)顶点 (?a , 0) (0 , ? b) (4)离心率 e ?

c 2 (c ? a 2 ? b 2 ) a

4. 直线与椭圆的位置关系 l : Ax ? By ? C ? 0

x2 y2 ? ?1 a2 b2 2 2 2 ( Ax ? c ) ? a 2b 2 代入: bx ? a 2 B
椭圆 M: 研究※式的判别式 ? (1) ? ? 0 (2) ? ? 0 (3) ? ? 0 弦长 ? 1 ? k
2



无交点 一个交点(相切) 两个不同的交点

x1 ? x 2 ( k 为 l 的斜率, x1 x2 为※式的根)

【典型例题】
[例 1] 求满足下面条件的椭圆的方程。 (1)求焦点为 (3 , 0) , (?3 , 0) ,离心率 e ? 解: c ? 3

a?9

b?6 2

1 的椭圆。 3 x2 y2 ? ?1 ∴ 81 72

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(2)求中心在原点,两准线间距离为 5,焦距为 4 的椭圆方程。 解: 2 ?

(3)求中心在原点、焦点在 x 轴,椭圆上点 M (8 , 12) 到左焦点距离为 20 的椭圆方程。 解: (8 ? c) 2 ? 122 ? 202

a2 c?2 ∴ a? 5 ?5 c x2 y2 ∴ ? y 2 ? 1或 ? x2 ? 1 5 5

b ?1

(8 ? 8) 2 ? 122 ? 122


c?8 (8 ? c) 2 ? 162 a ? 16 ∴ 2a ? 20 ? 12 ? 32

(4) 椭圆中心在坐标原点, 焦点在 x 轴, 直线 y ? x ? 1 与椭圆交于 M、 N 若 OM ? ON 且 MN ?

x2 y2 ? ?1 256 192

10 求椭圆方程。 2 解:设椭圆 mx2 ? ny2 ? 1 当 y ? x ? 1 交 M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) ?m x2 ? ny 2 ? 1 ? m x2 ? n( x ? 1) 2 ? 1 ? ?y ? x ?1 即: (m ? n) x 2 ? 2nx ? n ? 1 ? 0 ? 2n ? x1 ? x 2 ? ? ? m?n ∴ ? n ?x ? x ? ? 1 1 2 ? m?n ? OM ? ON ∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 x1 ? x 2 ? (x1 ? 1)(x 2 ? 1) ? 0 ① MN ? 1 ? 1 ? x1 ? x2 ?

10 ② 2 3 1 ? ? m? m? ? ? x2 y2 ? ? 2 2 ? ?1 由①② ? ? (舍) ? ∴ 2 1 3 2 ?n ? ?n ? ? ? 3 2 2 ? ? 2 2 x y ? ? 1 的交点的个数,并求最大弦长。 [例 2] 直线 y ? x ? m 与椭圆 16 9 ? x2 y2 ?1 ? ? 解: ? 16 25x 2 ? 32mx ? 16(m 2 ? 9) ? 0 9 ?y ? x ? m ?

? ? 64 ? 9(25 ? m 2 ) (1) m ? ?5 时 只有一个交点 (2) m ? (?? , 5) ? (5 , ? ?) 没有交点 (3) m ? (?5 , 5) 时 有两个交点 A、B
AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
? 2 ( 32 m 2 64(m 2 ? 9) 64 ) ? 1600 ? ? 2 ? 9(25 ? m 2 ) 25 25 (25) 2
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( m ? 0 )时

8 24 ?3 ? 2 25 25 x2 y2 [例 3] 已知椭圆 ? ? 1 , M (1 , 1) 在椭圆内求 M 为中点的椭圆的弦 AB 的直线方程。 16 4 ? x1 ? x 2 ? 2 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ∴ ? ? y1 ? y 2 ? 2 2 x2 y2 x2 y2 ∴ 1 ? 1 ?1 ? 1 ?1 16 4 16 4 ( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 相减 16 4 x1 ? x 2 y ? y2 1 ? ?( y1 ? y 2 ) ∴ 1 ?? 4 x1 ? x2 4 1 ∴ l AB : y ? 1 ? ? ( x ? 1) ∴ x ? 4y ? 5 ? 0 4 x2 y2 [例 4] P 椭圆 2 ? 2 ? 1 一点(不在 x 轴上)F1 F2 为焦点 ?F1 PF2 ? ? ,求 S ?F1PF2 。 a b 2 2 2 解: PF ? PF 1 2 ? 2PF 1 ? PF 2 ? 4a ? 2?

PF12 ? PF22 ? 2PF1 ? PF2 ? c o ? s ? 4c 2
2 相减 2PF 1 ? PF 2 (1 ? cos? ) ? 4b

∴ PF1 ? PF2 ?

1 ? PF1 PF2 ? s i n ? ? b2 ? t a n 2 2 2 2 x y [例 5] 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴的两端点为 A、 B。若椭圆上存在一点 P 使 a b ?APB ? 120 ? ,求椭圆离心率 e 的取值范围。 S ?F1PF2 ?
解:在短轴顶点取得最大值 ∴

2b 2 1 ? cos?

a ? tan 60? b
2 2

a 2 ? 3b 2 ? 3(a 2 ? c 2 )
c2 2 ? a2 3
∴ e?(

∴ 2a ? 3c

6 , 1) 3

P( x0 , y0 ) 为椭圆上一点
t an ?APB ? K PB ? K PA 1 ? K PB ? K PA y0 y0 ? x ? a x0 ? a 2ay0 ? 0 ? 2 2 2 y x0 ? y 0 ? a2 1? 2 0 2 x0 ? a

2ay0 ? b 2 2ay0 ab2 1 ? ?? 2 ? ? 2 y0 a2 ? c 2 y0 c 2 y 0 (1 ? 2 ) b 只研究第一象限 y0 ? (0 , b] ,随 y0 变大, tan ?APB 为负且变大

∴ ?APB 变大

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x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上任意一条不垂直对称轴的弦 A、 B,D 为 AB 中点, a2 b2 求证 K AB ? K OD 为定值。
[例 6] 椭圆 设 A( x1 , y1 )

B( x 2 , y 2 )
K AB ? K OD ?

D( x0 , y0 )
y1 ? y 2 b2 x ?? 2 ? 0 x1 ? x 2 a y0 y0 x0

? ? x1 ? x 2 ? 2 x0 ? ? ?y ? y ? 2y 1 2 0 ? ?

b2 ∴ K AB ? K OD ? ? 2 为定值 a 2 2 x y [例 7] 已知 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上异于顶点的任一点, B1 B2 为短轴端点, a b B1 P , B2 P 交 x 轴于 M 、 N ,求证 OM ? ON 为定值。
设 P( x0 , y0 ) M (m , 0)

N (n , 0)

B1 (0 , ? b)

B2 ( 0 , b )

P , M , B1 三点共线 ? m ?

? bx1 y2 ? b bx0 P , M , B2 三点共线 ? n ? y0 ? b

OM ? ON ? m ? n ?

2 b 2 x0 ? a2 2 2 y0 ? b

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 A、 B,O 为原点,求 S ?AOB 的最大 [例 8] 过椭圆 2 l 值及相应 的方程。
(1) l ? x 轴

S ?O A B?

\\ (2) l ?

x轴

2 l:x ?1 2 l : y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ? (1 ? 2k 2 ) y 2 ? 2ky ? k 2 ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?2 1 1 S ? ? ? OF ? y1 ? y 2 ? ? 1 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 2 1 2 2 ? 2? ? ∴ l:x ?1 2 2 2 2 ( 2k ? 1)

【模拟试题】 x2 y2 5 ? ? 1 上有一点 P 到左准线的距离为 则 P 到椭圆右焦点的距离为( 1. 椭圆 2 25 9 65 9 15 A. 8 B. C. D. 2 8 2



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1 ? a 表示焦点在 x 轴上的椭圆则 a 的取值范围是( 3 1 1 1 1 1 A. (0 , ) B. ( , ? ? ) C. (0 , ) D. ( , ) 3 3 10 10 3 2 2 3. 若方程 x ? sin ? ? y sin 2? ? 1 表示椭圆,则 ? 的取值范围是( )
2. 若方程 y 2 ? x 2 lg a ? A. ( k? , k? ?



?
2

)

k ?Z
)

B. (2k? , 2k? ? D. 以上皆不正确

?
2

)

k ?Z

C. (2k? , 2k? ?

?
4

k ?Z

4. 若 直 线 y ? kx ? 1 (k ? R) 与 椭 圆 是 。

x2 y2 ? ?1 恒有公 共点 ,则 m 的取 值范围 5 m
2 ( O 为原点) 2

5. y ? 1 ? x 交椭圆 mx2 ? ny2 ? 1 于 M、N,MN 中点为 P 若 K OP ? 则

m ? n

。 。

6. 椭圆: x 2 ? 9 y 2 ? 9 交直线 l : x ? y ? 2 2 ? 0 于 A、 B,则 AB ?

7. 求以椭圆 9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 的长轴端点为短轴端点,且过点 (?4 , 1) 的椭圆标准方程。

x2 y2 ? ? 1 共焦点的且过 M (3 , ? 2) 的椭圆方程。 8. 求椭圆 9 4 x2 y2 3 3 9. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 设点 P (0 , ) 到该椭圆上所有点的最远距离为 e? 2 2 a b 7 ,求椭圆方程及最远点坐标。

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【试题答案】
1. A 7. 2. D 3. D 4. [1 , 5) ? (5 , ? ?) 5.

2 2

6. 1.2

x2 y2 ? ?1 9 a2 4 ?9 ? 2 ? 2 ?1 8. ? a b ?a 2 ? b 2 ? 5 ?
9. ∵ e ?

(?4 , 1) 代入
2 ? ?a ? 15 ? 2 ? ?b ? 10

a 2 ? 18



x2 y2 ? ?1 18 9

x2 y2 ∴ ? ?1 15 10

x2 y2 ? ? 1 Q( x0 , y0 ) 为椭圆上一点 4b 2 b 2 3 9 2 2 2 d 2 ? x0 ? ( y 0 ? ) 2 ? 4b 2 ? 4 y 0 ? y0 ? 3 y0 ? 2 4 1 ? ?3( y 2 ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 2 y0 ? [?b , b] 1 3 ① b ? (0 , ] 时, y0 ? ?b 时 d max ? b ? ? 7 不合题意 2 2 1 1 2 ② b ? ( , ? ?) 时, y .0 ? ? 时 d max ? 4b 2 ? 3 ? 7 2 2 2 x 1 1 ? y 2 ? 1 最远点 (? 3 , ? ) , ( 3 , ? ) ∴ b ?1 ∴ 2 2 4
3 2


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