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极限定义教案


§2.1

数列极限的概念

教学目标: 使学生建立起数列极限的准确概念;会用数列极限的定义证明数列极 限等有关命题. 教学要求: 使学生逐步建立起数列极限的 ? ? N 定义的清晰概念.会应用数列极限 的 ? ? N 定义证明数列的有关命题,并能运用 ? ? N 语言正确表述数 列不以某实数为极限等相应陈述. 教学重点:数列极限的概念. 教学难点:数列极限的 ? ? N 定义及其应用. 教学方法:讲授为主. 教学过程: 一、组织教学 二、复习引入新课 三、新课讲授 数列极限 对于这个问题,先看两个个例子: 1.割圆术:求圆面积 “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” -----------刘徽

A
2.古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话: “一尺之棰,日

3

取其半,万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下(单位为尺): 第 1 天截下
1 , 2

1 1 1 第 2 天截下 ? ? 2 , 2 2 2

1 1 1 第 3 天截下 ? 2 ? 3 , 2 2 2
?

1 1 1 第 n 天截下 ? n ?1 ? n , 2 2 2
?

得到一个数列:

1 1 1 1 , 2 , 3 ,? , n ,? 2 2 2 2

1 ?1? 不难看出,数列 ? n ? 的通项 n 随着 n 的无限增大而无限地接近于零. 2 ?2 ?

普通定义:一般地说,对于数列 ?an ? ,若当 n 无限增大时, an 能无限地接近 某一个常数 a,则称此数列为收敛数列,常数 a 称为它的极限.不具有这种特性 的数列就不是收敛的数列,或称为发散数列.
?1? 据此可以说,数列 ? n ? 是收敛数列,0 是它的极限. ?2 ?

数列 ?n 2 ? , ?1 ? ( ?1) n ?1? 都是发散的数列. 需要提出的是,上面关于“收敛数列”的说法,并不是严格的定义,而仅是 一种“描述性”的说法,如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分 析.
? 1? 以 ?1 ? ? 为例,可观察出该数列具以下特性: ? n?

随着 n 的无限增大,an ? 1 ?

1 1 无限地接近于 1 ?随着 n 的无限增大,1 ? 与 n n

1 的距离无限减少 ?随着 n 的无限增大, |1 ? 小,只要 n 充分大. 如:要使 |1 ?

1 1 ? 1| 无限减少 ? |1 ? ? 1| 会任意 n n

1 ? 1|? 0.1 ,只要 n ? 10 即可; n

要使 |1 ?

1 ? 1|? 0.01 ,只要 n ? 100 即可; n

? ?

任给无论多么小的正数 ? ,都会存在数列的一项 aN ,从该项之后 (n ? N ) ,
? 1? ? 1? | ?1 ? ? ? 1|? ? .即 ?? ? 0, ?N ,当 n ? N 时, | ?1 ? ? ? 1|? ? . ? n? ? n?
1 1 ? 1? 综上所述,数列 ?1 ? ? 的通项 1 ? 随 n 的无限增大, 1 ? 无限接近于 1, n n ? n?

? 1? 即是对任意给定正数 ? ,总存在正整数N,当 n ? N 时,有 | ? 1 ? ? ? 1|? ? .此即 ? n?
1 ? 1? ? 1? 1 ? ? ? 1 或 n ? ?,1 ? ? 1 . ?1 ? ? 以 1 为极限的,记作 lim ? n ?? n ? n? ? n?

(二) 数列极限的定义 定义 设 ?an ? 为数列,a 为实数, 若对任给的正数 ? ,总存在正整数 N,使得当
n ? N 时有 | an ? a |? ? , 则称数列 ?an ? 收敛于 a,实数 a 称为数列 ?an ? 的极限,并

记作 lim an ? a 或 an ? a(n ? ?) .
n ??

读作:当 n 趋于无穷大时, an 的极限等于 a 或 an 趋于 a).由于 n 限于取正整数, 所以在数列极限的记号中把 n ??? 写成 n ?? ,即 lim an ? a 或 an ? a(n ? ?) .
n ??

1、关于 ? :① ? 的任意性.定义 1 中的正数 ? 的作用在于衡量数列通项 an 与 常数 a 的接近程度, ? 越小,表示接近得越好;而正数 ? 可以任意小,说明 an 与 常数 a 可以接近到任何程度;② ? 的暂时固定性.尽管 ? 有其任意性,但一经给 出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出N;③ ? 的多值性. ? 既是任意小

? 的正数,那么 ,3? , ? 2 等等,同样也是任意小的正数,因此定义 1 中的不等式 2

? | an ? a |? ? 中的 ? 可用 ,3? , ? 2 等来代替.从而“ | an ? a |? ? ”可用“ | an ? a |? ? ” 2
代替;④正由于 ? 是任意小正数,我们可以限定 ? 小于一个确定的正数. 2、 关于N: ① 相应性, 一般地, N随 ? 的变小而变大, 因此常把N定作 N (? ) , 来强调N是依赖于 ? 的; ? 一经给定,就可以找到一个N;如何找N?(或N存

在吗?) 解上面的数学式子即得:n ?
1 1 ? 1? 时, | ?1 ? ? ? 1|? ? ? ? . n N ? n?

1 1 即可.这样 ?? ? 0, 当 n ? N , 取N ?[ ] ? ? ?

1

②N多值性.N的相应性并不意味着N是由 ? 唯一确定的,因为对给定的 ? , 若时能使得当 n ? N 时 , 有 | an ? a |? ? , 则 N ? 101 或更大的数时此不等式自然成 立.所以N不是唯一的.事实上,在许多场合下,最重要的是N的存在性,而不是
N ? 100 它的值有多大.基于此, 在实际使用中的N也不必限于自然数,只要N是

正数即可;而且把“ n ? N ”改为“ n ? N ”也无妨. 3、 数列极限的几何理解: 在定义 1 中, “当 n ? N 时有 | an ? a |? ? ” “当 n ? N ? 时有 a ? ? ? an ? a ? ? ” ? “当 n ? N 时有 an ? ? a ? ? , a ? ? ? ? U( a; ? ) ” ? 所有 下标大于N的项 an 都落在邻域 U (a; ? ) 内;而在 U (a; ? ) 之外,数列 ?an ? 中的项至 多只有N个(有限个) 若数列 ?an ? 没有极限,则称 ?an ? 不收敛,或称 ?an ? 为发散数列. 问题 如何表述 ?an ? 没有极限?

三、例题讲解

用数列极限的 ? - N
四、课堂练习

定义证明:

lim

n ?1 n ?? n ? 1

3n 2 ? n 3 lim 2 ? n ?? 2n ? 1 2
五、小结 六、布置作业 七、教学后记 教材 P27 课后练习


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