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9.7 双曲线


§ 9.7
2014 高考会这样考 位置关系,考查数形结合思想的应用. 复习备考要这样做

双曲线

1.考查双曲线的定义、标准方程和几何性质;2.考查直线与双曲线的

1.熟练掌握双曲线的定义和标准方程,理解双曲线的基本量对图形、

性质的影响;2.理解数形结合思想,掌握解决直线与双曲线问

题的通法.

1.双曲线的概念 把平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集 合叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0: (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 a>c 时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 - =1 (a>0,b>0) 标准方程 a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y=± x y=± x a b c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫作双曲线的

实虚轴

虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半 轴长

a、b、c 的关系

c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

1

[难点正本 疑点清源] 1.双曲线的定义用代数式表示为||MF1|-|MF2||=2a,其中 2a<|F1F2|,这里要注意两点: (1)距离之差的绝对值. (2)2a<|F1F2|. 这两点与椭圆的定义有本质的不同. 2.渐近线与离心率 x2 y2 b - =1 (a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 = a2 b2 a b2 = a2 c2-a2 = e2-1.可以看出, a2

双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.

x2 y2 x2 y2 1.(2012· 天津)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近 a b 4 16 线,且 C1 的右焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________. 答案 1
解析 x2 y2 x2 y2 x2 y2 与双曲线 - =1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 - =λ,即 - =1. 4 16 4 16 4λ 16λ

2

1 由题意知 c= 5,则 4λ+16λ=5?λ= ,则 a2=1,b2=4.又 a>0,b>0,故 a=1,b= 4 2. x2 y2 2.(2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的 m m +4 值为________. 答案 2 c2 m+m +4 解析 ∵c2=m+m2+4,∴e2= 2= =5, a m ∴m2-4m+4=0,∴m=2. 3.(2012· 辽宁)已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________. 答案 2 3 解析 设 P 在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因为 PF1⊥PF2, 所以(x+2)2+x2=(2c)2=8, 所以 x= 3-1,x+2= 3+1, 所以|PF2|+|PF1|=2 3. x2 y2 4.若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离 a b 心率为 ( A. 5 答案 A
2
2

) B.5 C. 2 D.2

b bc 解析 焦点(c,0)到渐近线 y= x 的距离为 2 2=b,则由题意知 b=2a,又 a2+b2= a a +b c2,∴5a2=c2, c ∴离心率 e= = 5. a 5.(2012· 课标全国)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准 线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为 A. 2 答案 C B.2 2 C.4 D.8 ( )

x2 y2 解析 设 C: 2- 2=1. a a

x2 y2 ∵抛物线 y2=16x 的准线为 x=-4, 联立 2- 2=1 和 x=-4 得 A(-4, 16-a2), B(- a a 4,- 16-a2), ∴|AB|=2 16-a2=4 3,∴a=2,∴2a=4. ∴C 的实轴长为 4.

题型一 求双曲线的标准方程 例1

x2 y2 x2 y2 (1)(2011· 山东)已知双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点, 且双 a b 16 9

曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. (2)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程为__________. x2 y2 思维启迪:设双曲线方程为 2- 2=1,求双曲线方程,即求 a、b,为此需要关于 a、b a b 的两个方程,由题意易得关于 a、b 的两个方程;也可根据双曲线的定义直接确定 a、b、 c. x2 y2 y2 x2 (1) - =1 (2) - =1 4 3 2 4 x2 y2 7 解析 (1)椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(- 7,0),F2( 7,0),离心率为 e= .由于 16 9 4 x2 y2 x2 y2 双曲线 2- 2=1 与椭圆 + =1 有相同的焦点,因此 a2+b2=7. a b 16 9 a2+b2 7 7 2 7 又双曲线的离心率 e= = ,所以 = , a a a 4 2 x y2 所以 a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为 - =1. 4 3 x2 2 x2 (2)设与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程为 -y2=k,将点(2,-2)代入得 k 2 2 2 2 = -(-2)2=-2. 2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 4 答案 探究提高 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法. 具体过程是先定形, 再定量,
3

即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近 x2 y2 线的双曲线方程为 2- 2=λ (λ≠0),再由条件求出 λ 的值即可. a b 求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12). 解 (1)设双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 2- 2=1 或 2- 2=1 (a>0,b>0). a b a b c 5 由题意知,2b=12,e= = . a 4 ∴b=6,c=10,a=8. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)∵双曲线经过点 M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a= 12. 又 2c=26,∴c=13.∴b2=c2-a2=25. y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 144 25 题型二 双曲线的几何性质 例2 中心在原点, 焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1, F2, 且|F1F2|=2 13, 椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4,离心率之比为 3∶7. (1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求 cos∠F1PF2 的值. x2 y2 x2 y2 思维启迪: (1)分别设出椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), 双曲线方程为 2- 2=1 (m>0, a b m n n>0). (2)由已知条件分别求出 a、b、m、n 的值. (3)利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求出 cos∠F1PF2. 解 (1)由已知:c= 13,设椭圆长、短半轴长分别为 a、b,双曲线实、虚半轴长分别

为 m、n, ?a-m=4 则?

?

? ?7· a =3·m

13

13



解得 a=7,m=3.∴b=6,n=2. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1,双曲线方程为 - =1. 49 36 9 4 (2)不妨设 F1、 F2 分别为左、 右焦点, P 是第一象限的一个交点, 则|PF1|+|PF2|=14, |PF1| -|PF2|=6,
4

所以|PF1|=10,|PF2|=4. 又|F1F2|=2 13, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 ∴cos∠F1PF2= 2|PF1||PF2| 2 2 2 10 +4 -?2 13? 4 = = . 5 2×10×4 探究提高 在研究双曲线的性质时, 实半轴、 虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的 c 一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于 e= 是一个比值,故只需根据 a 条件得到关于 a、b、c 的一个关系式,利用 b2=c2-a2 消去 b,然后变形求 e,并且需 注意 e>1. (1)(2012· 大纲全国)已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2 等于 1 3 3 A. B. C. 4 5 4 答案 C 解析 由 x2-y2=2 知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4, ∴a= 2,c=2. 又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2. 又∵|F1F2|=2c=4, ∴由余弦定理得 ?4 2?2+?2 2?2-42 3 cos∠F1PF2= = . 4 2×4 2×2 2 2 2 x y y2 (2)(2011· 浙江)已知椭圆 C1: 2+ 2=1 (a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共的焦点, a b 4 C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三 等分,则 ) 13 A.a2= 2 1 C.b2= 2 答案 C 解析 由题意知,a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的 ( ( 4 D. 5 )

B.a2=13 D.b2=2

一条渐近线方程为 y=2x,联立方程消去 y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直线截椭圆 a4-5a2 2 11 1 的弦长 d= 5×2 = a,解得 a2= ,b2= . 2 2 5a2-5 3 题型三 直线与双曲线的位置关系 x2 y2 例 3 过双曲线 - =1 的右焦点 F2,倾斜角为 30° 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐 3 6
5

标原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|; (2)求△AOB 的面积. 思维启迪:写出直线方程,然后与双曲线方程联立组成方程组,消去 y 得关于 x 的一元 二次方程,利用弦长公式求|AB|;求 O 到直线的距离,代入面积公式得△AOB 的面积. (1)解 由双曲线的方程得 a= 3,b= 6,

∴c= a2+b2=3,F1(-3,0),F2(3,0). 3 直线 AB 的方程为 y= (x-3). 3

?y= 33?x-3?, 设 A(x ,y ),B(x ,y ),由? x y ? 3 - 6 =1,
1 1 2 2 2 2

6 27 得 5x2+6x-27=0.∴x1+x2=- ,x1x2=- . 5 5 ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| = = (2)解 3?2 · ?x1+x2?2-4x1x2 3 ? ? 4 36 108 16 3 · + = . 3 25 5 5 1+?

直线 AB 的方程变形为 3x-3y-3 3=0. |-3 3| 3 ∴原点 O 到直线 AB 的距离为 d= = . 2 2 ? 3? +?-3? 2 1 1 16 3 3 12 3 ∴S△AOB= |AB|· d= × × = . 2 2 5 2 5 探究提高 双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题. 解决这类问题的常 用方法是设出直线方程或双曲线方程, 然后把直线方程和双曲线方程组成方程组, 消元 后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程, 利用根与系数的关系及整体代入的思想解题. 设 直线与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为 k,则|AB|= 1+k2|x1-x2|. x2 已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、 4 右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; → → (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA· OB>2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. 解 x2 y2 (1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b

则 a2=4-1=3,c2=4,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 故 C2 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y2=1, 3
6

得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得 2 ?1-3k ≠0 1 ∴k2≠ 且 k2<1.① 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2), -9 6 2k 则 x1+x2= ,x x = . 1-3k2 1 2 1-3k2 ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) 3k2+7 2 =(k +1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= 2 . 3k -1 → → 又∵OA· OB>2,得 x1x2+y1y2>2, 2 3k +7 -3k2+9 1 ∴ 2 >2,即 2 >0,解得 <k2<3.② 3 3k -1 3k -1 1 2 由①②得 <k <1, 3 3 3 故 k 的取值范围为?-1,- ?∪? ,1?. 3? ?3 ? ?

, ? ?Δ=?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0

忽视“判别式”致误 y2 典例:(12 分)已知双曲线 x2- =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A、B 两 2 点,且点 P 是线段 AB 的中点? 易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法, 在解决直 线与圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑判别式,致使有的考生思维定势的原因, 任何情况下都没有考虑判别式,导致解题错误. 规范解答 解 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0,y0),若直线 l 的斜

率不存在,显然不符合题意.[2 分] 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 即 y=kx+1-k.[3 分] y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0 (2-k2≠0).① [6 分] ? ?x - 2 =1, x1+x2 k?1-k? ∴x0= = . 2 2-k2 k?1-k? 由题意,得 =1,解得 k=2.[8 分] 2-k2
7

当 k=2 时,方程①成为 2x2-4x+3=0. Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.[11 分] ∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点.[12 分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,

思路也很清晰, 但结论却不一定正确. 错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断, 从而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的. (2)本题属探索性问题.若存在,可用点差法求出 AB 的斜率,进而求方程;也可以设斜 率 k,利用待定系数法求方程. (3)求得的方程是否符合要求,一定要注意检验.

方法与技巧

x2 y2 x2 y2 1.与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为 2- 2=t (t≠0). a b a b 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为 x2 y2 x2 y2 “0”就得到两渐近线方程,即方程 2- 2=0 就是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两条 a b a b 渐近线方程.

失误与防范 1.区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中的 a,b,c 大小关系,在椭圆中 a2=b2+c2, 而在双曲线中 c2=a2+b2. 2.双曲线的离心率 e∈(1,+∞),而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 3.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方 a b a a b a 程是 y=± x. b 4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. 5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线 与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有 一个交点.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) x2 y2 1.(2012· 湖南)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C a b 的方程为
8

(

)

x2 y2 A. - =1 20 5 答案 A

x2 y2 B. - =1 5 20

x2 y2 C. - =1 80 20

x2 y2 D. - =1 20 80

x2 y2 解析 ∵ 2- 2=1 的焦距为 10,∴c=5= a2+b2.① a b b 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在渐近线上, a 2b ∴ =1,即 a=2b.② a 由①②解得 a=2 5,b= 5,故应选 A. x2 y2 2.(2012· 福建)已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( a 5 3 14 3 2 3 4 A. B. C. D. 14 4 2 3 答案 C 解析 由双曲线中 a,b,c 的关系 c2=a2+b2,得 32=a2+5, c 3 ∴a2=4.∴e= = . a 2 5 3.设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的 13 两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 2- 2=1 B. 2- 2=1 C. 2- 2=1 D. 2- 2=1 4 3 13 5 3 4 13 12 答案 A 解析 由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0), F2(5,0), 设曲线 C2 上的一点 P, 则||PF1| -|PF2||=8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3 4.(2011· 课标全国)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交 于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 A. 2 答案 B B. 3 C.2 D.3 ( ) ( )

)

x2 y2 解析 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由于直线 l 过双曲线的焦点且与对 a b x2 y2 c2 b4 称轴垂直, 因此直线 l 的方程为 l: x=c 或 x=-c, 代入 2- 2=1 得 y2=b2( 2-1)= 2, a b a a c2-a2 2 b2 2b2 2b2 b2 ∴y=± ,故|AB|= ,依题意 =4a,∴ 2=2,∴ 2 =e -1=2,∴e= 3. a a a a a 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.已知中心在原点的双曲线 C,过点 P(2, 3)且离心率为 2,则双曲线 C 的标准方程为
9

______________________. x2 y2 y2 x2 答案 - =1 或 - =1 3 9 5 5 3 b2 b 1+ 2,∴ = 3, a a x2 y2 y2 x2 ∴可设双曲线 C 的标准方程为 2- 2=1 或 2- 2=1,把 P(2, 3)代入得,a2=3 或 a 3a a 3a 2 2 5 x y y2 x2 a2= ,∴所求双曲线 C 的标准方程为 - =1 或 - =1. 3 3 9 5 5 3 解析 ∵双曲线 C 的离心率为 2,∴2= 6.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=___________. 1 答案 - 4 1 1 解析 由题意知 a2=1,b2=- ,则 a=1,b= - . m m 1 1 ∴ - =2,解得 m=- . m 4 7.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为 60° , 则双曲线 C 的离心率为_________. 6 答案 2 解析 如图,∠B1F1B2=60° ,

则 c= 3b,即 c2=3b2, 由 c2=3(c2-a2), c2 3 6 得 2= ,则 e= . a 2 2 三、解答题(共 22 分) x2 y2 8.(10 分)已知椭圆 D: + =1 与圆 M:x2+(y-5)2=9,双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦 50 25 点,它的两条渐近线恰好与圆 M 相切,求双曲线 G 的方程. 解 椭圆 D 的两个焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),

因而双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,且 c=5. x2 y2 设双曲线 G 的方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b ∴渐近线方程为 bx± ay=0 且 a2+b2=25, 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r=3. |5a| ∴ 2 2=3,得 a=3,b=4, b +a
10

x2 y2 ∴双曲线 G 的方程为 - =1. 9 16 9.(12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 P(4, - 10). (1)求双曲线方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1· MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ.

∵过点 P(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 方法一 由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), m m ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 m2 m2 kMF1· kMF2= =- . 3 9-12 ∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, → → 故 kMF1· kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,∴MF1· MF2=0. → 方法二 ∵MF1=(-3-2 3,-m), → MF2=(2 3-3,-m), → → ∴MF1· MF2=(3+2 3)×(3-2 3)+m2=-3+m2. ∵M 点在双曲线上,∴9-m2=6,即 m2-3=0, → → ∴MF1· MF2=0. (3)解 △F1MF2 的底|F1F2|=4 3,

由(2)知 m=± 3. ∴△F1MF2 的高 h=|m|= 3, 1 ∴S△F1MF2= ×4 3× 3=6. 2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为 A. 2 答案 D B. 3 C. 3+1 2 D. 5+1 2 ( )

x2 y2 解析 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为 y a b
11

b b = x,而 kBF=- , a c

b b ∴ · (- )=-1,整理得 b2=ac. a c ∴c2-a2-ac=0,两边同除以 a2,得 e2-e-1=0, 1+ 5 1- 5 解得 e= 或 e= (舍去),故选 D. 2 2 2 2 x y 2.已知点 F 是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且 a b 垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABE 是钝角三角形,则该双曲线的离 心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) 答案 D π 解析 根据双曲线的对称性,若△ABE 是钝角三角形,则只要 0<∠BAE< 即可.直线 4 2 4 2 b b b ? AB:x=-c,代入双曲线方程得 y2= 2,取点 A? ?-c, a ?,则|AF|= a ,|EF|=a+c,只 a π b2 要|AF|>|EF|就能使∠BAE< ,故 >a+c,即 b2>a2+ac,即 c2-ac-2a2>0,即 e2-e- 4 a 2>0,得 e>2 或 e<-1,又 e>1,故 e>2.故选 D. x2 3.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y2=1 (a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支 a → → 上的任意一点,则OP· FP的取值范围为 ( ) A.[3-2 3,+∞) 7 ? C.? ?-4,+∞? 答案 B B.[3+2 3,+∞) 7 ? D.? ?4,+∞? B.(1,2) C.(1,1+ 2) ( )

D.(2,+∞)

x2 解析 由 a2+1=4,得 a= 3,则双曲线方程为 -y2=1. 3 2 x2 x 0 0 2 设点 P(x0,y0),则 -y0 =1,即 y2 0= -1. 3 3 x2 → → 0 2 2 OP· FP=x0(x0+2)+y0=x0+2x0+ -1 3 3 4 7 x + ?2- ,∵x0≥ 3, = ? 3? 0 4? 4 → → 故OP· FP的取值范围是[3+2 3,+∞),故选 B. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) b x2 y2 4.(2012· 重庆)设 P 为直线 y= x 与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左焦点, 3a a b PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=________.
12

答案

b x2 y2 解析 ∵直线 y= x 与双曲线 2- 2=1 相交, 3a a b b y= x, 3a 9a2 由 2 2 消去 y 得 x2= , 8 x y - =1 a2 b2 9a2 又 PF1 垂直于 x 轴,∴ =c2, 8 c 3 2 又 e>1,∴e= = . a 4 y2 5.设点 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,点 P 是双曲线上一点,若 3|PF1|=4|PF2|, 3

3 2 4

? ? ?

则△PF1F2 的面积为________. 答案 3 15 4 解析 据题意,|PF1|= |PF2|,且|PF1|-|PF2|=2, 3 解得|PF1|=8,|PF2|=6. 又|F1F2|=4,在△PF1F2 中,由余弦定理得, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 7 cos∠F1PF2= = . 2|PF1||PF2| 8 15 所以 sin∠F1PF2= 1-cos2∠F1PF2= , 8 1 15 所以 S△PF1F2= ×6×8× =3 15. 2 8 x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上, a b 且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 5 答案 3 解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a. 8 2 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|= a,|PF2|= a. 3 3 在△PF1F2 中,由余弦定理, 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 得 cos∠F1PF2= = - e2. 8 2 8 8 2·a·a 3 3 要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值, 5 5 ∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e= ,即 e 的最大值为 . 3 3 三、解答题 7.(13 分)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求
13

出 k 的值;若不存在,说明理由. 解
2

(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程

2x -y2=1 后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点, k2-2≠0,
2

? ?Δ=?22kk? -8?k -2?>0, 故?- >0, k -2 2 ? >0. ?k - 2
2 2 2

解得 k 的取值范围是-2<k<- 2. (2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 2k x1+x2= , 2-k2 则由①式得 ② 2 x1· x2= 2 . k -2

? ? ?

假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0). 则由 FA⊥FB 得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0. 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③ 6 把②式及 c= 代入③式化简得 5k2+2 6k-6=0. 2 6+ 6 6- 6 解得 k=- 或 k= ?(-2,- 2)(舍去), 5 5 6+ 6 可知存在 k=- 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 5

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