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第六届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案


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? 4? 4  

中学数 学 月 刊 

20 0 3年 第 5期 

第六 届 北 京 高 中数 学 知 识应 用竞 赛 决赛 试 题 及 参 考 答 案 
1( 分 2 .满 O分 ) 田径 队 的 小 刚 同 学 在 教 练 指 导 

下 进 行 30 0米 跑 的 训 练 , 练 要 求 是 : 跑 后 ,  0 训 起 匀  加 速 ,O秒 达 到 每 秒 5米 的 速 度 , 后 匀 速 跑 到 2 1 然  
分 ; 着 开 始 均 匀 减 速 , 5分 时 已 减 到 每 秒 4米 , 接 到   再 保 持 匀 速 跑 4分 时 间 ; 1分 之 内 , 渐 加 速 达 到  在 逐 每 秒 5 的 速 度 , 持 匀 速 跑 ; 后 2 0米 , 匀 加  米 保 最 0 均

v, k =告7 . -r  【( 。 29 ) r


J  p

去 r(—r 去  r1 2)   28 2 2 ≤
o  r   A  

76. 【   2  

当 且 仅 当 r— 1   2 8—

图 2  

速 冲剌 , 撞 线 时 的 速 度 达 到 每 秒 8 . 使 米  请 按 照 上 面 的 要 求  ( ) 出 小 刚 跑 步 的 时 间 与 速 度 的 函 数 图 象 的  1画
示意图 ;  

2 2即 r  ̄ r, = /6时 体 积 最  大 ( 够充分 利用雨 布) 能 .  
此 时 ^  ̄9 r=  ̄ 3 , = /- 2 /  
t n OPA=  ̄ 2 <  ̄ 3 , a  / /  
‘ . .

() 出小 刚 进 行 长 跑 训 练 时 , 步 速 度 关 于 时  2写 跑 间 的 函数 解 析 式 .  
解 () 1 

圆 锥 顶 角 小 于 1 0. 2。  



取 圆 锥 顶 角 等 于 1 0, 时 r  ̄   , ①  2 。此 = /3h 由
厂_■  =

式 求得r 兰 _ ≈2 , ÷= .. =一 兰 .^   - 6= 1  5
答 : 锥 底 面 直 径 约 为 5 2米 , 约 为 1 5米  圆 . 高 . 时 , 够充分使 用现有雨 布. 能   3( 分 2 .满 O分 )目前 市 场 上 销 售 一 种 “ 达 牌 ” 雷  
图 1  

蚊香, 每盘 蚊香 如 图 3 示 , 所 图中标 有 a 6数值 ( , 单  t L ,O  E[ l ] O j
f (010 ; ∈ 1 ,2 ] 


一 , 2   




位 : 米 )使 用 时 拆 成 两 片 , 图 4所 示 , 过 实 验  毫 , 如 经 发 现 , 蚊 香 的 燃 烧 速 度 约 为 每 小 时 1 0毫 米 . 用  该 2 请 近 似 的方 法 回答 下 列 问题 .  

5  ,

一面 +5了 f ( 2 ,0 ]  t 2 E 1030 ;
() 2  0) 一  4  ,

f (0 ,4 ]  ∈ 3050 ; t  5 0  0 ; tt U6 ∈ (4   0 ]  b , ’ f (0 , 3 ]  ∈ 6067 ;

而 一 5  ,


5  ,

3 4  E( 3 6 8.  丽 1 67 6 ]  


◎◎ 
图 3   图 4  

2( 分 2 .满 O分 ) 农 户 收 获 土 豆 时 , 土 豆 一 堆   一 把


堆 地 临 时 放 在 地 边 , 待 运 出. 了 防 止 雨 淋 , 以 为 用 

雨 布 遮 盖 , 布 为 正 方 形 , 长 是 6米 , 果 把 土 豆  雨 边 如 堆 近 似 地 看 作 是 圆 锥 形 , 了 能 够 充 分 利 用 现 有 的  为 雨 布 , 圆 锥 底 面 直 径 和 高 分 别 是 多 少 米 ( 确 到  问 精
0 1 )  . 米 ?

() 一片蚊香 大约 可以燃烧 多长时间 ; 1每   ( ) 据 市 场 需 求 , 设 计 持 续 燃 烧 时 间 分 别 为  2根 请 4小 时 、 8小 时 、 O小 时 的 蚊 香 , 香 燃 烧 速 度 不 变 , 1 蚊  

注 : 自然 堆 积 物 的 堆 积 角 ( 锥 顶 角 ) 般 不  ① 圆 一
小 于 10 ; 2。  
1  

分别计算 出它们 的 a值.   解  () 把 蚊 香 盘 近 似 地 看 成 一 个 圆 盘 . 直  1先 取 径 为 a和 6的算 术平 均 值 , 直 径 = ( 则 口+6 ÷2 ) — 
1 2 5( 1 . mm )  .

②锥体 的体积 =÷ ×底面积 ×高.  
解 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 扇 形 , 圆 锥 顶 角 不  当

由图 可 知 , 香 条 的 宽 度 一 ( 一6 ÷2 6 5 蚊 口 ) = . 
( m )  m ,
1 1 o   C 

小 于 1 0时 , 扇 形 的 顶 角 不 小 于 3 2 , 大 于  2。 该 1。 即 2 0 , 了 “ 够 充 分 利 用 现 有 的 雨 布 ” 圆 锥 的 母 线  7。 为 能 , 长 应 为 正 方 形 雨 布 边 长 的 一 半 . 以上 不 计 分 ) (   正 方 形 雨 布 的中 心 应 盖 在 圆 锥 的 顶 点 上 . 锥  设 体 底 面 半 径 为 r 高 为 h 于 是 3一  + r. , , 。 2  
1   1   — ———一  

则 蚊 香 盘 的 面 积 一 7( 【 
厶 

) 一 9 95   。   3.3

( mm ) , 。 

蚊 香 条 的 总 长 度 = 99 5 2 6 5 15 8 5mm)  3 . ÷ . ≈   2 . ( .   每 一 片 蚊 香 中 有 两 盘 等 长 的 蚊 香 , 知 : 一 盘  可 每 蚊香 的 长 度 约 为 7 4 6 mm, 约 可 燃 烧 6 3 时 . 大 .小   () 用 上 面 的结 果 知  2利

V? _ 一÷  ^ =÷7 / 一产. 【 9   r ̄

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20 0 3年第 5期 

中学数 学 月 刊 
给出一些记 号.  

?4   5?

( 香 盘 直 径 )= 4 ( 香 盘 的 面 积 ÷, 一 4   蚊   × 蚊 f ) ×

( 燃烧时间 ×燃烧速度 ×蚊香 条的宽 度 ×2 f。 ÷,   )
n 一蚊 香 盘 直 径 + 蚊 香 条 的 宽 度 .   依 次 将 结 果 填 入 下 表 ( 一 列 填 入 后 , 利 用 比  第 可
例 和 相 似 关 系填 写 后 面 的 数 据 ) .  
燃 烧 时 间  蚊香 长 度  4小 时  40 8 mm  8小 时  90 6 mm  1 O小 时  12 0   0 mm 

定 义 1 路 口 x 。 之 间 的距 离 就 是 所 有 连 接 两  : y
个 路 口的 路 径 中 最 短 路 径 的 长 度 。 做 d Y 记 x.   定 义 2 路 口 x 与 地 块 (1之 间 的距 离 是 x 到  : ,) ,

) 的边 缘上各 点距离 的最小值 。 记做  c   因为通 过 任何 一 条路 到 达地块 的任一 边缘 。 都 
是 先 到 达 属 于 这 一 边 缘 的 某 一 路 口 , 以 S c 一  所    mi { { (1的 边 缘 上 的路 口) n 如 是 ,) ,  

蚊香 片 的 面 积  62 0   4 mm2 1  8 mm2 1  0 mm2   24 0   56 0   蚊香 片 的 直 径  8 . mm  91
9 . r m  56 a

我 们 将 路 口 x 至 最 远 地 块 的 距 离 记 做 S( )  x 。 即  ( =ma S (),= 1 2 … , 7 . x) x{x  ll , , 1 } ,  
() 规 定 , 警 时 间 不 得 超 过 3 钟 , 警 车  1按 出 分 又

16 0 2 .mm 
1 2. r m  3 5 a

1 0 9 m  4 .r a
1 7. r m  4 4 a

( : 注 由于计算 顺序 和 石的取 值不 同 。 会有 计算  误 差 , 差 不超过 5 也算 正确 ) 误 %  
4( 分 2 .满 0分 ) 图 是 北 京 市 宣 武 区 某 街 区 草  下 图 , 区 内 部 横 向从 上 到 下 有 平 行 的 5条 路 , 左 到  街 从 右 有 平 行 的 7条 路 , I处 都 标 有 字 母 。 些 道 路 将   路= l 这
街 区分成 1 7个 地 块 ( ) ( ) … , 1 ) 路 的 宽 度 忽  1 ,2 , (7 ,

的 车 速 恒 为 6 千 米 / 时 。 以 , 巡 警 站 到 任 何 一  0 小 所 从 个 地 块 的距 离 不 能 超 过 30 0米 , 么 在 图 中不 超   0 那 过 30 0 5 即 不 超 过 1 0 为 了 简 便 , 们 只 需 研    0 ÷2 。 2. 我 究 图 中 的 标 数 , 面 涉 及 的距 离 都 是 计 算 标 数 的 结  下 果 . 们 先 分 析 几 个 “ ” 情 况 , 谓 的“ ” 路 口 我 角 的 所 角 是   A 。 F, 0。 , 见 , 果 这 些 路 口都 满 足 要 求 , D,   M 易 如   那 么 其 它 路 口也 就 满 足 要 求 f 果 它 们 中 的某 个 路   如 口 不 满 足 要 求 , 去 掉 这 个 “ ” 于 是 出 现 了 新 的  则 角 ,
“ ”再 考 察 这 些 “ ” 角 , 角 .  
S( ) A =  5一 d z 3 + 1 + 6 + 2 = 1 0,   ) a= 0 5 5 0 3 不

略不 计 , 段 的长 度 可 以从 图 中得 知 . 如 , 每 例 DE=  2 , AG= 3 , 以 E = 1 . 中 标 数 与 实 际 比例  0又 0所 l 0图 为 1: 5单 位 是 米 . 2。  

若在 街 区 内设 立 一个 10巡警 站 。 1 巡警 出动章 
程 上 明确 规 定 从 接 到 报 警 到 到 达 出事 地 点 不 得 超 过   5分 钟 . 这 里 , 们 规 定 : 论 案 件 发 生 在 地 块 内  在 我 不

适合规定 : 去掉 它 , 出现新“ B,   角” G; ) =& () 1 = 此= 10 5 l , 5 3 —1 =l 5 适合规定 f   ( =S ( 一d D 5 5 0 0 , G) ct c =1 +5 +3 =1 0 适合 规  )
定;  
S( ) S t=  村 = 2 + 1 + 5 + 3 = 1 5,   M = M( ) D 5 5 5 0 2 不

什 么位置 , 警员到达 出事 地的边缘 , 算到 了出事地  就 点 . 是 , 照 实 际 操 作 , 们 进 一 步 规 定 : 路 上 行  于 按 我 在
使 时 间 为 出警 时 间 , 警 时 间 不 得 超 过 3分 钟 , 警   出 又 车的车速恒 为 6 千 米/ 时. 0 小 问  () 些 路 口不 能 设 为 巡 警 站 ? 1哪   ( ) 个 路 I设 为 巡 警 站 可 以 使 出 警 至 最 远 地   2哪 = l
块 时间达到最 短?说 明理 由.  

适合规定 ; 掉它 。 成为“ ” 去 Ⅳ 角 .   同 理 判 断 其 它 路 口 , 得 只有 A, 两个 路 口不  可 M
能设巡警站 .   ( ) 路 口 出 警 至 最 远 地 块 时 间 达 到 最 短 就 是  2从 距离最短.  

() 地 块 ( ) ( 6 是 事 件 多 发 区 。 警 站 设 在   3若 4 、1) 巡 哪里 好 呢 ? 你 提 出 “ ” 原 则 , 根 据 你 的 原 则 给  请 好 的 并 出答 案 .  

我们考 虑这样一 条路 , 了这条路 上的路 口, 除 图  中 的所 有 路 口分 别 位 于 它 的 两 侧 ( 条 路 可 能 是 一  这 条折线 )为 了方便 起 见 , 们 称 这样 的一条路 为通  . 我

厂_]  l
l 1 I   )   3   5(

l 冈 冈   
. . . . . . . . .

团曰  


路 . 果 一 条 通 路 上 有 , 个 路 口 P P:… , , 如 , 1 , ,   且 

与每一个 P  离最 远 的地 块都 在这条路 的一侧 , 距 设 
a mi  ( 』 l= 1 2 … ,l , 对 于 这 条 路 另 一  = n{ P ) j , , ,} 则 『 ,

L   网 同[ ]  
- J -...J . .... 

固  

侧的任一路 I x, = l 存在 P ,    有  ( 一  - ¥ P ) X) I ( s≥  -
+a >  那 么 , 最 远 地 块 距 离 最 短 的 路 I就 不  至 = l 可 能 在 通 路 的 这 一 侧 . 是 , 了 尽 快 地 找 到 满 足 要  于 为 条 通 路 上 的 每 一 个 路 I距 离 最 远 的地 块 都 在 这 条 路   = l

求 的 路 I , 们 在 街 区 中 央 附 近 找 几 条 通 路 , 每 一  = 我 l 使

l 厂 
. .. .. .. .. .  .. 

1 0  l 2 6   5 )  
图 5  

的一 侧 , 些通路 围成一 条封闭 的环路 , 这 则所 求路 I = l   就在 这条环 路上或在其 围成 的区域 内.  
在 图 中 , B, , 的 通 路 , A, C, 的 通   过 日 Ⅳ 过 B, D
路 , D , J  , 的 通 路 , G, , , , 的 通 路   过 E, , 0 过 H J    就 围成 了 一 条 上 述 环 路 , 日 , E, C 是 环 路 上  B,  , D, 的 路 口.  



为 了叙 述 的方 便 , 们 先 明 确 一 些 概 念 , 我 并 

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中学 数学 月 刊 

20 0 3年 第 5期 

经 计 算 和 比较 , ( 一 ( )   () 且 是 所 有    C) H 一  , 路 口 至 最 远 地 块 距 离 的 最 小 值 . 巡 警 站 设 在 C, 故   H , 可 以 使 出警 至 最 远 地 块 时 间 达 到 最 短 .  ,   () 地 块 ( ) (6 是 事 件 多 发 区 , 们 规 定 最   3若 4 、1) 我 好 的标 准 是 : 先 巡 警 站 到 这 两 处 的 最 远 处 距 离 最   首 小 , 后再要求巡 警站 到这两处 的距离 之和最小. 然   类 似前 面 的解答 过 程可 得 , 警 站 设在 路 口 B 巡  
最好.  

首 先 , 论 前 两 次 切 割 的 顺 序 对 切 割 费 用 的 影  讨 响 . 经 过 两 次 切 割 后 剩 余 的 石 材 选 定 一 种 切 割 方  对
案( 即后 四种 切 割 的 顺 序 ) 并 记 后 面 这 四 次 切 割 所  . 需 的费 用 为 A.   如 果 前 两 次 切 割 的 面 是 相 互 平 行 的 ( I、I 如 组 

合 , I组 合 或 v、 ■、V Ⅵ组 合 ) 无 论 次 序 先 后 , 次 切  , 先 割 不 改 变 后 次 切 割 面 , 两 次 切 割 的 顺 序 不 影 响 整  则
个切割 的费用.  

( 题 是 开 放 的 , 果 自 己能 给 出合 理 的 “ ” 此 如 好 的  原 则 , 能 按 此 得 到 相 应 的结 论 , 为 正 确 ) 且 即  
5( 分 2 .满 O分 ) 赛 时 曾 经 讨 论 过 石 材 切 割 的  初 问 题 , 是 对 实 际 问 题 化 简 后 的 特 殊 情 况 , 们 进 一  这 我 步 考 虑 如 下 问 题 ( 际 问 题 还 要 比 它 复 杂 ) 对 于 一  实 .

再 分 析 前 两 次 的 切 割 面 互 不 平 行 的 情 况 , 割  切 的顺 序 对 费 用 的影 响 .   不 妨 设 这 两 次 切 割 为 切 割 I ■, 时 有 两 种  和 这 切 割 方 案 : 先 I _” 记 做 [I, 和 “ _后 I” “ 后 ( _] 先   ( _,I . 们 的 切 割 费 用 分 别 为 : [ ]它  
Al 口( L2 L2 一 L2 )+ A 和 A3 一 口 3   Ll + L3 D3 l  
( L3 Ll 一 l ) A , L2 + L2 L2 +  

块 长 ×宽 ×高 的 尺 寸 分 别 为 2 ×1 × 1 (m) 的 长  O 4 2c 。 方 体 的 原 料 石 材 , 要 切 割 下 来 的精 品 部 分 相 应 的  需 尺 寸 为 5 4 2 c 。 小 长 方 体 , 二 者 的 左 侧  × × (m) 的 且 面 、 面 和 底 面 相 互 平 行 , 离 分 别 为 6m, c 2 前 距 c 7m, 
c 切 割 的 加 工 费 用 为 3元 /m ( 区 分 切 割 的方   m. c  不

于是 , 3 Al一A3 L2 —D3 . l =a (  l )  

这 表 明 只有 当 d < D3 才 有 A。 A 。也 就 是  。 时 。 。. < 说 , 先 切 上 面 时 所 切 下 的长 方 体 的厚 度 D。 于先   当 大 切 左 面 时 所 切 下 的 长 方 体 的 厚 度 d 时 先 I ■的  。 后

向 )为 操 作 方 便 , 次 切 割 都 要 把 石 材 切 断 . 里 不  . 每 这 要 求 同 向切 割 连 续 两 次 后 再 旋 转 刀 具 , 何 切 割 这  如 块石材可 以保证 切割 的费用最小 ?   解 令 厶 (一 1 2 3 分 别 表 示 原 料 长 方 体 的    , ,) 长 , 和 高 , (一 1 2 3 分 别 表 示 精 品部 分 长 方体 的  宽 f   , ,)   长 , 和 高 . ,  1 2 3 分 别 表 示 原 料 石 材 与精 品部   宽 d (一 , , ) - 分 的 左 侧 面 , 面 和 底 面 之 间 的距 离 , - 前 D, =厶 -1一    (一 1 2 3 则 分 别 表 示 原 料 石 材 与 精 品 部 分 的 右 侧  f ,, )
面 , 面 和上 面 之 间距 离 . 后 切割 的费 用 为 a元.  

切割 费用 要低 于先 _后 I的切 割费 用 , 即在后 面 四 
次 切 割 的 顺 序 相 同 的 条 件 下 先 切 上 面 时 的 费 用 要 低 
于先 切 左 面 的 费 用 .  

类 似 地 , 于 任 意 两 次 连 续 切 割 互 不 平 行 的切  对 割 面的情形 , 可得 到与前 面相 同的结论. 均   综 上 所 述 , 果 我 们 称 每 次 所 切 割 下 的 长 方 体  如 的厚 度 为 切 割 量 , 使 切 割 费 用 最 小 的 切 割 策 略 应  则 该 是 依 次 选 择 切 割 量 大 的 首 先 切 割 就 可 以 了 , 们  我 不妨称 之为大 切割量原 理.   按 照 我 们 所 得 到 的 大 切 割 量 原 理 , 们 只 需 计  我

根 据 题 意 可 知 , 个 切 割 的 过 程 分 为 六 次 , 切  整 即
割 上 面 (I) 切 割 底 面 (I) 切 割 左 面 ( 、 割 右  、 、 ■) 切 面 (V 、 割 前 面 ( 和 切 割 后 面 ( ) 这 六 次 切 割  I) 切 v) Ⅵ .

算 出六 次切割 的切割量 d 和 D  =1 2 3 , 它们  。 (   , ,) 将 按数 值 的大小 排序 就可 以 得到 最优 的切 割顺 序 , 此 
题 中 , l 6m , 2 7m , 3 2m , 一 9m , =  d 一 c d = c d = c Dl c Dz

可 以按 照 任 意 的顺 序 来 安 排 , 共 有 6 = 7 0 不  总 I 2种

同 的切 割顺 序. 由于每 一次 切割 都使 石材 的形状 发 
生变化 , 响 到后 面需 要 切割 的 面积 , 此 , 用枚  影 因 采

3m , = 8m, 序 可 得 : = 9m, — 8 m, 2 c D3 c 排 Dl c D3 c d — 

举 的算 法 在 没 有 计 算 机 的 条 件 下 是 困 难 的 . 们 尝  我
试寻找规律 .   经 分 析 , 难 确 认 如 下 事 实 : 这 六 次 有 顺 序 的  不 在 切 割 中 , 果 前 面 几 次 ( 如 两 次 ) 割 的 方 式 确 定  如 例 切

7m, l c D2 3m, 3 c 最 优 的切割 顺序  c d =6m, — c d =2m
是 :V( 右 面 ) I 切 ,I( 上 面 ) V ( 前 面 ) ■( 左   切 , 切 , 切
面 ) Ⅵ( 后 面 ) I( 下 面 ) , 切 , 切 .  

所 需 的费用是 :  

了 ( I和 _, 切 割 的 顺 序 可 以 任 意 ) 则 经 过 这 几  如 但 , 次 切 割 以 后 石 材 的 形 状 将 是 唯 一 确 定 的 , 这 几 次  与 切 割 的顺 序 无 关 .  

A=口 L L3 ( ~ D1L2 ( 一D1( 一D3  [2 + 厶 ) + 厶 )L3 ) + ( 2 2 ( 3 D3 + f( 一 D3 + f 2 一 13 2 L ~d ) L 一 ) lL3 ) l ]   0  f
( )  元 .

高 中数 学 基 础 训 练 题 ( ) 6 
排 列、 合 与二 项式定理  组 1 从 甲 地 到 乙 地 有 3条 路 可 行 , 乙 地 到 丙 地 也 有  . 从 3条 路 可 行 , 从 甲地 不 经 过 乙 地 到 丙 地 有 空 中  而 和 水 上 2种 方 式 可 行 , 么 , 甲 地 到 丙 地 不 同 的  那 从 走 法 共 有  (   )   ( 5种  ( ) A) B 9种  ( 1 种  ( 1 C) 1 D)8种 

2 已知 x < 0 且  + =1 而  + ) 按 X的 降幂  . y , , 。
排 列 的 展 开 式 中 , 二 项 不 大 于 第 三 项 , 么 X 的  第 那 取值 范 围是   (   )  

((o÷  ([,o  A ~。  B  +。 ) ,) ) a 一 ) b

‘  



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