三维设计2014届高考数学理总复习课件第九章：第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

[知识能否忆起] 1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种
不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完 成这件事共有N＝ m＋n 种不同方法．

2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的 方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共

有N＝ m×n 种不同的方法．

[小题能否全取] 1．(教材习题改编)在所有的两位数中，个位数字大于十位 数字的两位数共有 ( )

A．50个
C．36个

B．45个
D．38个

解析：利用分类加法计数原理，共有8＋7＋6＋5＋4＋ 3＋2＋1＝36个．

答案：C

2．(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，
则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( A．6种 C．24种 解析：分步完成， B．12种 D．30种 )

答案： C ①甲、乙两人从4门课程中选1门有4种方法；
②甲从剩下的3门中选1门有3种方法； ③乙从剩下的2门中选1门有2种方法，

故共有4×3×2＝24.

3．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，

在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考
的方法有 A．8种 C．10种 B．9种 D．11种 ( )

解析：分四步完成，共有3×3×1×1＝9种．

答案：A

4．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字 的四位数共有________． 解析：由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192个，

其中无重复的数字的四位数共有3A＝18个，故有
192－18＝174个． 答案： 174 5．(教材习题改编)5名毕业生报考三所中学任教，每人仅

报一所学校，则不同的报名方法的种数是________．
解析：共有3×3×3×3×3＝35＝243. 答案： 243

1.两个原理的联系与区别：
两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的．区 别在于：(1)分类加法计数原理是“分类”，分步乘法计 数原理是“分步”；(2)分类加法计数原理中每类方法中 的每一种方法都能独立完成这件事，分步乘法计数原理

中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完
成这件事． 2．对于较复杂的问题有时要两个原理综合使用，

即先分类再分步或先分步再分类．

分类加法计数原理

[例1] (2012· 江西六校联考)若自然数n使得作竖式加 法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“良数 ”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象； 23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1 000的“良数”的个数为 A．27 C．39 B．36 D．48 ( )

[自主解答]

一位“良数”有0,1,2，共3个；两位数的

“良数”十位数可以是1,2,3，两位数的“良数”有10,11,12, 20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的“良数”有百位为1,2,3， 十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为 1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位“良数”，共

有3×9＝27个．根据分类加法计数原理，共有48个小于1
000的“良数”． [答案] D

利用分类加法计数原理解题时，应注意：
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分 类标准要统一，不能遗漏． (2)分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必 须属于某一类，且不能重复．

(3)对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间
接法．

1.(2012· 孝感统考)如图所示，在A、 B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接 点脱落导致断路，则电路不通．今发现A、B之间电路 不通，则焊接点脱落的不同情况有 ( )

A．9种
C．13种

B．11种
D．15种

解析：按照焊接点脱落的个数进行分类．
若脱落1个，则有(1)，(4)共2种； 若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共 6种； 若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)共4种；

若脱落4个，有(1,2,3,4)共1种．
综上共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况． 答案：C

分步乘法计数原理

[例2]

(1)(2012· 大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，

c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字

母也互不相同，则不同的排列方法共有
A．12种 C．24种

(

)

B．18种 D．36种

(2)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在
最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 A．240种 C．480种
[自主解答]

(

)

B．360种 D．720种
(1)先排第一列，有 A3种方法，再排第二 3

列，有 2 种方法，由分步乘法计数原理知共有 A3×2＝12 3 种排法．

1 (2)第一步先排甲，共有 A4种不同的排法；第二步再排

其他人，共有 A5种不同的排法，因此不同的演讲次序共有 5
1 A4· 5＝480(种)． A5

[答案] (1)A

(2)C

解决此类问题，首先将完成这件事的过程分步， 然后再找出每一步中的方法多少种，求其积． [注意] 各步之间相互联系，依次完成后，才能 做完这件事，即步与步之间的方法相互独立，逐步

完成．

2．(2012· 宜宾模拟)用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位
数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五 位数的个数为 A．120 C．48 B．72 D．36 ( )

3 解析：符合题意的五位数有C1A3A2＝3×3×2×2＝36. 3 2

答案:

D

两个原理的综合应用

[例3]

(2012· 山东高考)现有16张不同的卡片，其中

红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要 求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张， 不同取法的种数为 ( )

A．232
C．472

B．252
D．484

[自主解答] 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色
1 1 卡片中选 3 张，若都不同色则有 C1×C4×C4＝64 种，若 2 4 2 1 张同色，则有 C2×C1×C4×C4＝144(种)；若红色卡片有 1 3 2

张，剩余 2 张不同色，则有 C1×C2×C1×C1＝192(种)，剩 4 3 4 4
1 余 2 张同色，则有 C4×C1×C2＝72(种)，所以不同的取法 3 4

有 64＋144＋192＋72＝472(种)．

[答案] C

本例条件变为“有 5 张卡片，它们的正、反面分别写着 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9，将其中任意三张并排放在 一起组成三位数”，问不同的三位数有多少个？

解：分两类：第一类，百位数字是 1，有 8×6＝48 个三 位数； 第二类， 百位数字不是 1， 8×8×6＝384 个三位数， 有 根据分类计数原理共有 48＋384＝432 个三位数．

用两个原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还
是分步． (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进 行计数，最后用分类加法计数原理求和得到总数；分步要 做到“步骤完整”．

(2)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列
表、画圈的方法来帮助分析．

3．(2012· 淄博模拟)一天有语文、数学、英语、政治、生 物、体育六节课，体育不在第一节上，数学不在第六 节上，这天课程表的不同排法种数为 ( )

A．288
C．504

B．480
D．696

5 解析：数学在第一节，这时有 A5＝120 种排法；数学不在第

一节，又不在第六节，体育不在第一节，这时有 C1C1A4＝ 4 4 4 384 种排法．所以课程表的不同排法共有 120＋384＝504 种 不同排法．

答案：C

[典例]

(2012· 四川高考)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，

c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这 些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 A．60条 B．62条 ( )

C．71条

D．80条

[解析]

显然方程ay＝b2x2＋c表示抛物线时，有

b2 2 c ab≠0，故该方程等价于y＝ a x ＋a. (1)当c＝0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取2个数作为

a，b的值，有A2＝20种不同的方法， 5 当a一定，b的取值互为相反数时，对应的抛物线相 同，这样的抛物线共有4×3＝12条，所以此时不同的抛 物线共有A2－6＝14条； 5

(2)当c≠0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取3个数作为a， b，c的值有A3＝60种不同的方法， 5 当a，c的值一定，而b的值互为相反数时，对应的抛物 线相同，这样的抛物线共有4A
3 物线有A5－12＝48条． 2 3

＝24条，所以此时不同的抛

综上所述，满足题意的不同的抛物线有14＋48＝62条．

[答案] B

[题后悟道]

分类加法计数原理体现了分类讨论思

想在计数原理中的应用．解决此类问题的关键是确定 分类标准，做到不重复、不遗漏．

?针对训练

某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：
节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目 丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方 案共有 A．36种 C．48种 B．42种 D．54种 ( )

解析：分两类：第一类：甲排在第一位，共有A4＝ 4 24(种)排法；第二类：甲排在第二位，共有A
1 3

· A

3 3

＝

答案: 18(种)排法，所以共有编排方案24＋18＝42(种)．

B

教师备选题（给有能力的学生加餐） 1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个 排列(数字允许重复)表示一个信息，不同 排列表示不同信息．若所用数字只有0和 1，则与信息0110至多有两个对应位置上的 数字相同的信息个数为 (

)
A．10 C．12 B．11 D．15

解析：若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C 4(个)；若2个相同，共有C 11(个)．
2 4

1 4

＝

＝6(个)．故共有1＋4＋6＝

答案:

B

2．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与 5相邻的六位偶数的个数是 A．72 B．96 ( )

C．108

D．144

解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C1种 3 方法，将其余两个偶数全排列，有A
2 2

种排法，当1,3

不相邻且不与5相邻时有A 3 种方法，当1,3相邻且不与 3
2 5相邻时有A 2 · 3 种方法，故满足题意的偶数个数有 2 A 1 2 C3· 2· 3＋A2· 2)＝108(个)． A2 (A3 A3 答案：C

3.如图，用5种不同的颜色给图中A、B、 C、D四个区域涂色，规定每个区域只 涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求 有多少种不同的涂色方法？ 解：法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A 有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种

方法(还可以使用涂A的颜色)．根据分步计数原理共有
5×4×3×3＝180(种)涂色方法．
法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不 相同，共有A 3 ＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种 5 涂法．由分步计数原理知共有60×3＝180(种)涂法．

4．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况 下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能 参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种 不同选法，由分步乘法计数原理知共有选法36＝729(种)．

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选
人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三 个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理知共有报名方法 6×5×4＝120(种)． (3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这

六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同
的报名方法63＝216(种)．