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2012高考数学考前三个月专题复习课件8(2):系列4选讲


§2 矩阵与变换 真题热身
1.(2009· 江苏)求矩阵
解 设矩阵
?3 则? ?2 ?

?3 A=? ?2 ?

2? ? ? 的逆矩阵. 1?

2? ?x ? ? 1? ?z ? ?

?x y ? ? ? A 的逆矩阵为 ? , z w? ? ? ?3x+2

z y ? ?1 0? ? ? ? =? ,即? ? w? ?0 1? ? ? ?2x+z

3y+2w? ?1 0? ? ? ? =? 2y+w ? ?0 1? ? ?

?3x+2z=1 ? ?2x+z=0 故? ?3y+2w=0 ?2y+w=1 ? 从而 A 的逆矩阵

,解得 x=-1,z=2,y=2,w=-3,
?-1 2? ? A-1=? ? ?. ?2 -3?

2.(2011· 江苏)已知矩阵 使得 A2α=β.

?1 A=? ?2 ?

?1 ? 1? ? ,向量 β=? ?.求向量 α, ?2 ? 1? ? ? ?

?1 1? ?1 1? ?3 2? ? ? ? ? ? 解 A =? =? . ?2 1? ?2 1? 4 3? ? ? ? ? ? ? ?x? ?3 2? ?x? ?1? ? ? 2 ? ? ? ? ? 设 α=? ?,由 A α=β,得? ?4 3? ? y? =?2?, y? ? ? ? ? ? ? ? ?3x+2y=1, ?x=-1, ?-1? ? ? 从而? 解得? 所以 α=? ?. ? ? ?4x+3y=2, ?y=2. ?2 ? ? ?
2

考点整合
1.变换的复合与矩阵的乘法 (1)一般情况下,AB≠BA,即矩阵的乘法不满足交换律. (2)矩阵的乘法满足结合律,即(AB)C=A(BC). (3)矩阵的乘法不满足消去律. 2.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、B,若有 AB=BA=E,则称 A 是可 逆的,B 称为 A 的逆矩阵. (2)若二阶矩阵 A、 均存在逆矩阵, AB 也存在逆矩阵, B 则 且(AB) 1=B 1A 1. (3)利用行列式解二元一次方程组.
- - -

3.特征值与特征向量 (1)设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非 零向量 α,使 Aα=λα,那么 λ 称为 A 的一个特征值,而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量. (2)从几何上看, 特征向量经过矩阵 A 对应的变换作用后, 仍与原向量共线,这时特征向量或者方向不变(λ>0),或 者方向相反(λ<0).特别地,当 λ=0 时,特征向量就变换 成零向量.

分类突破
一、几种常见的矩阵变换 例 1 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形,并指出 该变换是什么变换. ?1 0? ? (1)? ?0 1? 方程为 y=2x+2; ? ? ?-1 0 ? ? (2)? ? ?点 A(2,5); ? 0 1? ?2 0? ? (3)? 曲线方程为 x2+y2=4. ?0 1? ? ?



(1)所给方程表示的是一条直线.

设 A(x,y)为直线上的任意一点,经过变换后的点 为 A′(x′,y′). ?1 0? ?x ? ?x′ ? ? ? ? ? ∵? =? ? , ?0 1? ?y ? ? ? ? ? ? ?y′ ? ∴x=x′,y=y′. 变换后的方程仍为 y=2x+2. ∴该变换是恒等变换. (2)经过变化后变为(-2,5),它们关于 y 轴对称,故该变换为 关于 y 轴的反射变换.

(3)所给方程是以原点为圆心,2 为半径的圆,设 A(x,y)为曲 线上的任意一点,经过变换后的点为 A1(x1,y1), ?2 0? ?x ? ?2x ? ?x ? ? ? ? ? ? ? 1? 则? ?0 1? ?y ?=?y ?=?y ? ,∴2x=x1,y=y1. ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 x1 y2 1 将之代入到 x2+y2=4 可得方程 + =4,此方程表示椭圆, 4 1 所给方程表示的是圆,该变换是伸压变换.

归纳拓展

对于已知变换前后的象和原象,要求变换矩阵

这类问题,我们显然无法对所有的变换进行一一尝试,用 待定系数法解题可起到事半功倍的效果.通过具体的矩阵 对平面上给定图形(如正方形、三角形)的变换,应充分地认 识到矩阵可表示如下的线性变换:恒等、反射、伸压、旋 转、切变、投影.

0? ? 变式训练 1 ? 变换后,再绕原点逆时 2? (-8,2) 针旋转 90° 角所得的点坐标为________.

?1 将点(2,4)先经矩阵? ?0 ?

解析 由题意知 ?cos 90° -sin 90° ?1 ? ? ? ? ? ? cos 90° ?0 ?sin 90° ? ? ?0 -1? ?1 0? ?2? ? ? ? ? ? =? ? 1 0? ?0 2? ?4? ? ? ? ? ? ? ?0 -2? ?2? ?-8? ? ? ? ? =? =? ?. ? 0? ?4? ? 2? ?1 ? ? ? ?

0? ?2? ? ? ? 2? ?4? ? ? ?

二、二阶逆矩阵 0? ? 例 2 (2011· 福建)设矩阵 ? (其中 a>0,b>0). b? (1)若 a=2,b=3,求矩阵 M 的逆矩阵 M-1; (2)若曲线 C:x2+y2=1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用 x2 2 下得到曲线 C′: +y =1,求 a,b 的值. 4 ?x1 y1? ?1 0? -1 -1 ? ? ? 解 (1)设矩阵 M 的逆矩阵 M =? , MM =? 则 ? ?0 1?. ?x2 y2? ? ? ?2 0? ?2 0? ?x1 y1? ?1 0? ? ? ? ? ? ? ? 又 M= ? ,所以? =? . ?0 3? ?x 0 3? y2? ?0 1? ? ? ? ? ? 2 ? ? 所以 2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1, 1 1 即 x1=2,y1=0,x2=0,y2=3, ?1 ? ?2 0? 故所求的逆矩阵 M-1=? ?. ?0 1? 3? ?
?a M=? ?0 ?

(2)设曲线 C 上任意一点 P(x,y),它在矩阵 M 所对应的线 性变换作用下得到点 P′(x′,y′),
?a 则? ?0 ? ?ax=x′, ? 0? ?x ? ?x′ ? ? ? ? ? ? ? ?y ?=? ? ,即? b? ? ? ?y′ ? ?by=y′. ?

x′2 又点 P′(x′,y′)在曲线 C′上,所以 +y′2=1. 4 a2x2 则 +b2y2=1 为曲线 C 的方程. 4 ?a2=4, ? 2 2 又已知曲线 C 的方程为 x +y =1,故? 2 ?b =1. ? 又
?a=2, ? a>0,b>0,所以? ?b=1. ?

归纳拓展 对于二阶矩阵,若有 AB=BA=E,则称 B 为 A 的逆矩阵.因而求一个二阶矩阵的逆矩阵,可用待定系数 法求解.

变式训练 2 已知矩阵
?1 解 AB= ? ?0 ? ?a -1 设(AB) =? ?c ? ?0 -1? ?a ? ? 得? ? 0? ?c ?2 ? ?

?1 A=? ?0 ?

?0 -1? 0? - ? ? ,B=? ,求(AB) 1. ? 2? 0? ? ?1 ?

0? ?0 -1? ?0 -1? ? ? ? ? ? =? ? ?. 2? ?1 0? ?2 0? ? ? ?1 0? b? -1 ? ? ,则由(AB)· (AB) =? ?0 1?, d? ? ? ? ?-c -d ? ?1 0? b? ?1 0? ? ? ? ? ? ? ? =? ,即? =? , ? ? 0 1? 0 1? d? ? 2b? ? ? ? ? 2a ?a=0, ?-c=1, ? ? ? ?b=1, ?-d=0, -1 ? 0 2 所以? 解得? 故(AB) =? ?2a=0, ?c=-1, ?-1 ?2b=1, ? ? ?d=0.

1? 2?. ? 0?

三、特征值与特征向量 例 3 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=8 及对应的一个特征向 ?1 ? 量 e1=? ?,并且矩阵 M 对应的变换将点(-1,2)变换成 ?1 ? ? ? (-2,4). (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间的关系; (3)求直线 l: x-y+1=0 在矩阵 M 的作用下的直线 l′的 方程.



(1)设

?a M=? ?c ?

?a b? ?1 ? ?1 ? ?8 ? b? ? ? ? ? ? ,则? =8? ?=? ?, ? ? ? ?1 ? ?8 ? d? ? ?c d ? ?1 ? ? ? ? ?

?a+b=8, ? 故? ?c+d=8. ? ?-a+2b=-2, ?a b? ?-1? ?-2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c d ? ? ? =? ? ,故? ? ? ? 2 ? ? 4 ? ?-c+2d=4.

联立以上两方程组解得 a=6,b=2,c=4,d=4, ?6 2? ? 故 M=? ?4 4? . ? ? (2)由(1)知,矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=(λ-6)(λ-4)-8=λ2-10λ+16, 故其另一个特征值为 λ ?6x+2y? ?x ? ? =2.设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2=? ?, Me2=? 则 ?y ? ? 4x+4y? ? ? ? ?
?x ? =2? ?,解得 ?y ? ? ?

2x+y=0.

(3)设点(x,y)是直线 l 上的任一点,其在矩阵 M 的变换下对 ?6 2? ?x ? ?x′ ? ? ? ? ? 应的点的坐标为(x′,y′),则? =? ?, ?4 4? ?y ? ? ? ? ? ? ?y′ ? 1 1 1 3 即 x= x′- y′,y=- x′+ y′,代入直线 l 的方程后 4 8 4 8 并化简得 x′-y′+2=0,即 x-y+2=0.
归纳拓展 矩阵的特征值和特征向量在求解形如 Mnα 的矩阵与 向量的乘法运算中有重要应用,熟练掌握此知识,用它来解决 将可以大大减少运算量.应掌握求解二阶方阵的特征向量和特 征值的基本方法,关于特征值问题的探究一般解法如下: ?a b? ?x? ?a b? ?x? ? ? ? ? ? ? ? 给定矩阵 A=? ,向量 α=? ?,若有特征值 λ,则? ?c d ? ? y? = c d? y? ? ? ? ? ? ? ? ?λ-a -b? ?x? ?0? ?λ-a -b? ?x? ? ? ? ? ? ? λ? ?,即? =? ?,所以? =0,即 λ2-(a+ ? y? ? ? -c λ-d ? ?y? ?0? -c λ-d ? ? ? ? ? ? ? ? ? d)λ+(ad-bc)=0.

变式训练 3 已知矩阵

?2 M=? ?2 ?

a? ? ,其中 a∈R,若点 P(1, 1? ?

-2)在矩阵 M 的变换下得到点 P′(-4,0), (1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量.
?2 ? (1)由? ?2



a? ? 1? ?

? ? ? ?

1 ? ?-4? ? ? =? ?, -2? ? 0 ? ? ?

∴2-2a=-4,∴a=3.

(2)由(1)知
?λ-2 f(λ)=? ? ?-2

?2 3? ? M=? ?2 1? ,则矩阵 M 的特征多项式为 ? ? -3? ? =(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4. λ-1 ? ?

令 f(λ)=0,得矩阵 M 的特征值为-1 与 4. 当
?(λ-2)x-3y=0 ? λ=-1 时,? ?-2x+(λ-1)y=0 ?

?x+y=0

? 1 ? ? ∴矩阵 M 的属于特征值-1 的一个特征向量为? ? -1? ; ? ? ?(λ-2)x-3y=0 ? 当 λ=4 时,? ?2x-3y=0 ?-2x+(λ-1)y=0 ? ?3 ? ∴矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为? ?. ?2 ? ? ?

∴矩阵 M 的特征值为-1,4, ?1 ? ?3 ? 分别对应的一个特征向量是? ?,? ?. ?-1? ?2 ? ? ? ? ?

规范演练
一、填空题 1.设△OAB 的三个点坐标为 O(0,0),A(A1,A2),B(B1,B2), ?1 k? ? 在矩阵 M=? ?0 1? 对应的变换下作用后形成△OA′B′, ? ?

1∶1 则△OAB 与△OA′B′的面积之比为________.
解析 由题意知 TM 为切变变换, 故变换前后的图形面 积大小不变.

? 2 2? ? 0 1? ? ? ? ? - 2 2? ?-1 ? 0? 2.设 A= ? ,则 A6=___________. ? ? ? 2 2 ?2 2? ? ? π π? ? ?cos 4 -sin 4? 解析 A=? ?, π π ? ?sin 4 cos 4 ? ? 6π 6π? ? ?cos 4 -sin 4 ? ? 0 1? 6 ? ? ∴A =? ?=? . 6π 6π ? ?-1 0? ? ?sin cos 4 4 ? ?

?0 3.矩阵? ? ?1

? 0 1? ? ? ? -1? ?-1 0? ? ? ?的逆矩阵是__________. 0?
?0 ∵? ? ?1

-1? ? 解析 ?=0×0-(-1)×1=1. 0? ? 0 1? ? ∴逆矩阵为? ?-1 0?. ? ?

2? ?1 ? ? -4,2 4.矩阵?5 的特征值是________. -3? ?2 ?

解析 矩阵 M 的特征值 λ 满足方程 ?λ-1 -2? ? ?=(λ-1)(λ+3)-(-5)(-2)=λ2+2λ-8=0, ?-5 λ+3? 2 ? 2 ? 解得矩阵 M 的两个特征值 λ1=-4,λ2=2.

?1 5.? ? ?2

-1? ?1 ? ? 1? ?2 ? ?
?1 ? ? ?2

?-1 -1? ? ? ? 0? ? 4 1? ? ? =___________. 1? ?

解析

-1? ?1 0? ?-1 -1? ? ? ? ? ? =? ? ?2 1? ?. 1? ? 1? ? ? 4

6.若

?1 A? ?3 ?

2? ?1 2 ? ? ? ? =? ,则 4? ?0 -2? ? ?

? 1 0? ? ? ?-3 1? ? ? A=________.

2? ? 解析 =-2, 4? ? ?-2 1? ?1 2? ? ?-1 ? ∴? =?3 1 ?, ?3 4? ? ? 2 -2 ? ? ? 1? ? 1 ?1 2? ?-2 ? ? ? ∴A=? 1 ?=? ?0 -2? ?3 - ? ? ?-3 2 ? ?2

?1 ∵? ?3 ?

0? ? ?. 1?

7.设

?2 A=? ?1 ?

?8 ? 3? ? ,B=? ?,且 AC=B,则 ?11 ? 5? ? ? ?

?1? ? ? ?2? ? ? C=________.

∵AC=B,∴C=A-1B, ?2 3? ? ∵A=? ?1 5?,∴|A|=7, ? ? 3? ? 5 ? 7 -7? - ∴A 1=? ? 1 2? ?- 7? ? 7 3? ? 5 ? 7 -7? ?8 ? ?1? ∴C=? ? ? ?=? ?. 1 2? ?11? ?2? ? ? ? ? ?- 7? ? 7 解析

二、解答题 8.(2010· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0), ?k 0? B(-2,0),C(-2,1).设 k 为非零实数,矩阵 M=?0 1?, ? ? ?0 1? N=?1 0?,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到 ? ? 的点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积 的 2 倍,求 k 的值.
? k 0 ? ?0 1? ?0 k ? 解 由题设得 MN= ?0 1? ?1 0?=?1 0?. ? ? ? ? ? ? ? 0 k ? ?0? ?0? ? 0 k ? ?-2? ? 0 ? 由?1 0? ?0?=?0?,?1 0? ? 0 ?=?-2?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 k ? ?-2? ? k ? ? ? ? ? ? ? 1 0? ? 1 ?=?-2?,可知 A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2). ?

计算得△ABC 的面积是 1,△A1B1C1 的面积是|k|, 由题设知|k|=2×1=2,所以 k 的值为-2 或 2.

9.已知二阶矩阵 A 有特征值 λ1=3 及其对应的一个特征向 ?1 ? 量 α1=? ?,特征值 λ2=-1 及其对应的一个特征向量 α2 ?1 ? ? ? ? 1? =? ?,求矩阵 A 的逆矩阵 A-1. ?-1? ? ?
?a b? ?a ? ? 解 设二阶矩阵 A=? ,则有 ? ? ?c ?c d ? ? ? 1? ?a b? ? 1 ? ? ? ? ? 且? =-? ?, ? ? ? ?-1? ?c d ? ? -1? ? ? ?a+b=3, ?c+d=3, ? ? 即? 且? ?a-b=-1, ?c-d=1. ? ?

b? ?1? ?1? ? ? ? =3? ?, d ? ?1? ?1? ? ? ? ? ?

解得 a=1,b=2,c=2,d=1.
?1 ∴A=? ?2 ?

? 1 2? ?-3 3? 2? ? ,|A|=-3,从而 A-1=? ?. ? 1? ?2 -1? 3? ?3

-1? ? 10.已知矩阵 ? ,其中 a∈R,若点 P(1,1)在矩阵 1? A 的变换下得到点 P′(0,-3),求矩阵 A 的特征值及特 征向量.

?1 A=? ? ?a

-1? ?1? ? 0 ? ? 0? ? ? ? ? ? ? 解 =? =? ?,得 a+1=-3,则 a= 1? ?1? ?a+1? ?-3? ? ? ? ? ? ?1 -1? ? -4,A=? ? ?, ?-4 1? ?λ-1 1? ? 则矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=? =(λ-1)2-4=λ2 ? 4 λ-1? ? ? -2λ-3,令 f(λ)=0,得矩阵 A 的特征值为-1 或 3.

?1 ? 由? ?a



?1 ? ∴矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为? ?. ?2 ? ? ? ?(λ-1)x+y=0 ? 将 λ=3 代入? 得 2x+y=0, ?4x+(λ-1)y=0, ? ?-1? ∴矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为? ?. ? 2? ? ?

?(λ-1)x+y=0 ? λ=-1 代入? ?4x+(λ-1)y=0, ?

得 y=2x,

∴矩阵 A 的特征值为-1,3, 分别对应的一个特征向量为 ?1 ? ?-1? ? ? ? ,? ?. ?2 ? ? ? ? ? 2?

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