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2013年4月杭州市重点高中2013高考命题比赛参赛试题高中数学17


命题双向细目表
题型 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 内容领域/知识内容 知识深 度 掌握 掌握 理解 理解 运用 掌握 了解 运用 了解 理解 了解 运用 理解 理解 了解 理解 理解 理解 理解 理解 理解 测量目标 /行为目 标 认识 认识 认识 认识 认识 认识 认识 认识 认识

再认 认识 认识 认识 再认 再认 再认 认识 认识 认识 再认 再认 预估难 度 1 0.90 0.80 0.9 0.72 0.72 0.78 0.69 0.6 0.54 0.70 0.8 0.68 0.52 0.61 0.58 0.54 0.70 0.67 0.68 0.51

单项选 择 单项选 择 单项选 择 单项选 择 单项选 择 单项选 择 单项选 择 单项选 择 单项选 择 单项选 择 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 解答题 解答题 解答题 解答题

集合运算,交,并,补。 数系的扩充和复数的引入/复数的运 算 三角函数的图象与变换 简易逻辑/条件的判断 空间几何三视图/圆柱的全面积公式 排列组合 直线与圆的位置关系 数列的性质 椭圆的性质 导函数/零点的概念 二项式系数 分段函数求值 程序框图 抛物线的性质 古典概型的计算 向量的应用/数量积 解三角形/正弦定理 三角函数等 等差数列,等比数列 立体几何 圆锥曲线

1

解答题

22

函数与导数

理解

再认

0.41 0.68

2013 年高考模拟试卷数学卷(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部 分 4 至 5 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题 纸规定的位置上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上. 参考公式:

如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n?k

球的体积公式 S ? 4?R 2

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

V ?

1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 棱台的体积公式

1 V ? h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1、 2 分别表示棱台的上、 S 下底面积,

球的表面积公式
S ? 4?R
2

h 表示棱台的高
其中 R 表示球的半径
3

球的体积公式 V球 ? 4 ?R 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 R 是实数集, M ? {x | x(2 ? x) ? 0}, N ? {y | y ? (A) ?1, 2 ? 2.复数 (B) ? (C)

x ? 1} ,则 N ? CR M ?
(D) ?1, 2? (原创)

?0, 2?

7?i 的共轭复数在复平面内对应的点在 3 ? 4i
(B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (原创)

(A) 第一象限

2

3. 已知 f ( x) ? cos(? x ?

?
3

), (? ? 0) 的图像与 y ? 1 的图像的两相邻交点间的距离为 ? ,要

得到 y ? f ( x) 的图像,只须把 a1 , a2 , ? , an 的图像

5 ? 个单位 12 11 (C) 向左平移 ? 个单位 12
(A) 向左平移

(B) 向右平移

5 ? 个单位 12 11 (D) 向右平移 ? 个单位 12

(改编)

4.已知 E , F , G , H 是空间四点,命题甲: E , F , G , H 四点不共面,命题乙: 直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的 (A) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (原创)

5.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那 么这个几何体的全面积为 (A) 4π (C) 3π (B) 2π (D)

3 π 2

(改编)

6.某地区决定从 12 名大学生村官中选 3 个人担任乡长助理,则甲、丙至少有 1 人入选,乙 没有入选的不同选法的种数位为 (A)220 (B) 165 (C)84 (D).81 (原创) 7. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x 2 ? y 2 ? 16 上有且只有四个点到直线 3x ? 4 y ? c ? 0 的 距离为 2,则实数 c 的取值范围为 (A) ? 10 ? c ? 10 (B) ? 10 ? c ? 10 (C) c ? 10 或 c ? ?10 (D) c ? 10 或 c ? ?10 8.数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ?

(原创)

1 ,且对任意正整数 m, n ,都有 am?n ? am ? an ,若 3

Sn ? a 恒成立则实数 a 的最小值为
(A)

1 2

(B)

2 3

(C)

3 2

(D)2

(引用)

9.设椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的上顶点为 A ,点 B、C 在椭圆上,且左、右焦点 F1 , F2 a 2 b2

分别在等腰三角形 ABC 两腰 AB 和 AC 上. 若椭圆的离心率 e= (A) 外心 (B)内心 (C)重心

3 ,则原点 O 是△ABC 的 3
(D)垂心 (原创)

10 . 已 知 f ( x) ? x2 ? 2x ? c, f1 ( x) ? f ( x), f n ( x) ? f ( f n?1 ( x))(n ? 2, n ? N * ) , 若 函 数
3

y ? f n ( x) ? x 不存在零点,则 c 的取值范围是
(A) c ?

1 4

(B) c ?

3 4

(C) c ?

9 4

(D) c ?

9 4

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知 (1 ? 2x) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 开 始

n= 1 a=1 s= 0 n≤10
是 否

a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? 4a 4 =
12 . 已 知 函 数 f ( x) ? ?



(改编)

? ? s i nx , x ? 0 , 5 那么 f( ) 的值 6 ? f ( x ? 1), x ? 0,

s= s + a
为 .(原创) 13.右面的程 序框图给出了计算数列 ?an ? 的前 10 项和 s 的算法, 算法执行完毕后,输 出的 s 为 .

a=a+n n= n+1

14.设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F ,点 M 在抛物线 输出 s

p 上,线段 MF 的延长线与直线 l : x ? ? 2

交与点

N

,则

结 束

1 1 ? ? | MF | | NF |

(原创)

15.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当 三种颜色 的球全部取出时停止取球, 则恰好取 5 次球时停止取球的概率为_______. (原创)

16.已知O,A,B是平面上的三点,向量 OA ? a.OB ? b ,点C是线段AB的中点,设P为线段AB 的垂直平分线CP上任意一点,向量 OP ? P ,若 a ? 4, b ? 2 ,则 p ? (a ? b) =

??? ?

? ??? ?
?

?

??? ?

? ?

?

.

? 17. 在三角形 ABC 中, A, ?B, ?C 所对的边长分别为 a, b, c , 其外接圆的半径 R ?
则 (a ? b ? c )(
2 2 2

5 6 , 36

1 1 1 ? 2 ? 2 ) 的最小值为___________. 2 sin A sin B sin C

(改编)

4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? cos( 2 x ?

?
3

) ? 4 sin 2 x

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间; (2)若 x ? ?0,

? ?? ? ,求函数的最大值及最小值。 ? 2?

(原创)

19. (本小题 14 分) 设数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,S n 为前 n 项和, 满足 a3 ,2a5 , a12 成等差数列, S10 ? 60 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (2)试求所有正整数 m ,使

am?1 ? 2 为数列 ?an ? 中的项。 am
2

(改编)

20. (本小题满分 14 分)已知矩形 ACC1 A1 中, AA ? 2, AC ? 4 , B 是 AC 上动点,过 B 1 作 BB1 // AA1 交 A1C1 于 B1 ,沿 BB1 将矩形 BCC1 B1 折起,连接 AC , A1C1 。 (1) 求三棱柱体积的最小值. (2) 满足条件(1)时,D 为 AC 中点,求证 AC1 ? 面 A1 BD . (3) 满足条件(1) (2)时,E 为 CC1 中点,求二面角 A1—BD—E 的大小.(改编)

5

21. (本小题满分 15 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且 经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。 (1)求椭圆的方程;

???? ???? MA MB (2)已知 e ? (t ,0), p ? ? ( ???? ? ???? ) ,是否对任意的正实数 t , ? ,都有 e ? p ? 0 成 | MA | | MB |
立?请证明你的结论。 (改编)

22. (本小题满分 15 分)已知函数 f (x)=lnx,g(x)=ex. (1)若函数 φ (x) = f (x)-

x ?1 ,求函数 φ (x)的单调区间; x ?1

(2)设直线 l 为函数 y=f (x) 的图象上一点 A(x0,f (x0))处的切线.证明:在区间(1,+∞) 上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切.注:e 为自然对数的底数. (引用)

6

2013 年高考模拟试卷数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50分) 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 B 5 D 6 A 7 A 8 A 9 D 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分) 11. ? 8 12. ?

1 2

13.175

14.

1 p

15.

14 81

16.6

17.

25 6

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) 2 2 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 f ( x) ? ? 3 sin(2 x ? ) ? 2 3
(3 分) 最小正周期 T ? 由 2k? ?

?

?
2

2? ?? 2

(4 分)

? 2x ?

?

3

? 2k? ?

?
2

,得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? 12
(7 分)

递增区间是 ?k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? ,k ?Z 12 ? ?

(2) x ? ?0,

? ? 2? ? ?? ? , ? 3 ? 2x ? 3 ? 3 , ? 2?
(10 分)

?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3 3 1 ) ? 2 ? , f max ( x) ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 2
7

f min ( x) ? 3 ? (?

(14 分)

19、 (本小题满分 14 分) 解: (1)设数列 {an } 首项 a1 ,公差 d ,则

a3 ? a12 ? a1 ? 2d ? a1 ? 11d ? 2a1 ? 13d 2a 5 ? 2(a1 ? 4d ) ? 2a1 ? 8d
则 2a1 ? 13d ? 2(2a1 ? 8d ) 且 S10 ? 10 a1 ?

(2分)

2a1 ? 3d ? 0

(4 分)

10 ? 9 d ? 10 a1 ? 45d ? 60 2

解得 a1 ? ?3, d ? 2, a n ? 2n ? 5, S n ? n ? (?3) ?
2

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 4n 2

(7 分)

a ? 2 (2m ? 3) 2 ? 2 [(2m ? 5) ? 2]2 (2m ? 5) 2 ? 4(2m ? 5) ? 6 (2) m?1 ? ? ? am 2m ? 5 2m ? 5 2m ? 5
? 2m ? 5 ? 4 ?
要使

6 6 ? 2m ? 1 ? 2m ? 5 2m ? 5

(10 分)

2 6 am ?1 ? 2 也是 {an } 的项,则 为整数。 2m ? 5 am ?1

6 ? ?1 ? 2 ? 2 ? 5 是第二项 2m ? 5 6 m ? 2,2m ? 1 ? ? ?3 ? 2 ? 1 ? 5 是第一项 2m ? 5 6 m ? 3,2m ? 1 ? ? 11 ? 2 ? 8 ? 5 是第八项 2m ? 5 6 m ? 4,2m ? 1 ? ? 9 ? 2 ? 7 ? 5 是第七项 2m ? 5 m ? 1,2m ? 1 ?
所有的正整数 m 为 1,2,3,4 (14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)依题意,三棱柱为直三棱柱, V柱体 ? S ?ABC ? AA 1 (2分)

S ?ABC ?

1 AB ? AC sin ?ABC 2
?

要使体积最大, ?ABC 面积最大,只有当 ?ABC ? 90 , AB ? AC 时,面积最大。 此时 S ?

1 ? 2? 2 ? 2 2

V最大 ? 2 ? 2 ? 4

(4 分)

(2) D 为 AC 的中点,则 tan?AA D ? 1

CC1 2 2 AD 2 , tan?CAC1 ? ? ? ? AC 2 2 2 AA1 2
8

则 ?AA1 D ? ?CAC1 那么 ?CAC1 ? ?ADA ? 90? 1 又 AC1 ? BD 所以 AC1 ? 平面A1 BD

AC1 ? A1 D

(6 分)

(8 分)

(3) D 为 AC 的中点, BD ? AC ,则 BD ? 面A1 ACC1

?A1 DE 为二面角 A1 ? BD ? E 所成的平面角。
A1 D ? AA12 ? AD 2 ? 4 ? 2 ? 6 A1 E ? A1C12 ? C1 E 2 ? 3
则 ?A1 DE ? 90?

(10 分)

DE ? DC 2 ? CE 2 ? 3

(12 分)

在三角形 1 DE中 A1 D 2 ? DE 2 ? A1 E 2 A
所以二面角 A1 ? BD ? E 的大小为 90 ?

(14 分)

21. (本小题满分 15 分) 解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

?a ? 2b ?a 2 ? 8 ? ? 则? 4 , 解得? 2 1 ?b ? 2 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?
∴椭圆方程

x2 y2 ? ?1 8 2 .

(5 分)

(2)若 e ? p ? 0 成立,则向量 p ? ? (

MA | MA |

?

MB | MB |

) 与 x 轴垂直,

[来源:Z*xx*k.Com]

由菱形的几何性质知, ?AMB 的平分线应与 x 轴垂直.为此只需考察直线 MA,MB 的倾 斜角是否互补即可. 由已知,设直线 l 的方程为: y ?

1 x?m 2

(7 分)

1 ? ?y ? 2 x ? m ? 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?

? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0
(10 分)

设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,
9

只需证明 k1+k2=0 即可, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 可得,

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4 ,而

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 , ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

(13 分)

∴k1+k2=0, 直线 MA,MB 的倾斜角互补. 故对任意的正实数 t , ? ,都有 e ? p ? 0 成立. 22. (本小题满 15 分) 解: (1) ? ? x ? ? f ( x) ?
,

(15 分)

x ?1 x ?1 ? ln x ? , x ?1 x ?1
(2 分)

1 2 x2 ?1 ? ( x) ? ? ? x ( x ? 1) 2 x ? ( x ? 1) 2
? x ? 0且x ? 1, ?? , ( x) ? 0
? ? (x) 的单调递增区间为(0,1)和(1,+ ? )
(2)∵ f ?( x) ?

(4 分)

1 1 ,∴ f ?( x0 ) ? , x0 x

∴ 切线 l 的方程为 y ? ln x0 ? 即y?

1 ( x ? x0 ) , x0
(6 分)

1 x ? ln x0 ? 1 , x0



设直线 l 与曲线 y ? g ( x) 相切于点 ( x1 , e x1 ) ,
10

∵ g ?( x) ? e x ,∴ e x1 ? ∴直线 l 也为 y ? 即y?

1 ,∴ x1 ? ? ln x0 . x0

(8 分)

1 1 ? ? x ? ln x0 ? , x0 x0
(9 分)

ln x0 1 1 x? ? , ② x0 x0 x0 ln x0 1 ? , x0 x0
(11 分)

由①②得 ln x0 ? 1 ? ∴ ln x0 ?

x0 ? 1 . x0 ? 1

下证:在区间(1,+ ? )上 x 0 存在且唯一. 由(1)可知, ? ( x) ? ln x ? 又 ? (e) ? ln e ?

x ?1 ( 在区间 1, +?) 上递增. x ?1

e2 ? 1 e2 ? 3 e ? 1 ?2 ? ? 0 , (13 分) ? ? 0 , ? (e 2 ) ? ln e 2 ? 2 e ? 1 e2 ? 1 e ?1 e ?1

结合零点存在性定理,说明方程 ? ( x) ? 0 必在区间 (e, e2 ) 上有唯一的根,这个根就是所 求的唯一 x 0 . 故结论成立. (15 分)

11

2013 年高考模拟试卷 数学卷(理科)

答题卷
一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分。 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。

考号

题 号 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。

11 ______

线



__

12 ___

_____.

13_____

___

14_____

___.

姓名

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 18. (本小题 14 分)

班级

学校





15______

__.

16_

__.

17________.

12

19. (本小题 14 分)

20. (本小题满分 14 分)

13

21. (本小题满分 15 分)

22. (本小题满分 15 分)

14

15


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