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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】球的表面积和体积


7.2-7.3

7.2

棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、 圆台的体积

7.3
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球的表面积和体积

[学习要求] 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式; 2.理解球的表面积和体积公式; 3.能运用体积公式求解有关的体积问题,并且熟悉台体与柱

体和锥体之间的转换关系. [学法指导] 通过柱、锥、台和球体的体积公式的应用,提高知识的应 用能力及空间想象能力,增强探索问题和解决问题的信心.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.柱体的体积公式为 V= Sh ,其中 S 为柱体的底面面积,h
1 2.锥体的体积公式为 V= 3Sh ,其中 S 为锥体的底面面积,h
1 3.台体的体积公式为 V 台体= 3(S′+ S′S+S)h ,其中 S′,

为柱体的高. 为锥体的高.

S 分别为台体的上、下底面面积,h 为高. 2 4.设球的半径为 R,那么它的表面积公式为 S 球面= 4πR ;体积 4 3 公式为 V 球= 3πR .

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[问题情境]
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上一节我们学习了几何体的侧面积,一般地,面积是相对 平面图形来说的,对于空间图形需要研究它们的体积,本 节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面 积问题.

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探究点一 柱、锥、台体的体积公式

7.2-7.3

问题 1 我们已经学习了正方体、长方体的体积计算公式, 它们的体积公式是什么? 答 V 正方体=a3,V 长方体=abc. 问题 2 取一摞纸张放在桌面上(如下图所示), 并改变它们的
放置方法,观察改变前后的体积是否发生变化?从这个事 实中你得到什么启发?

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体积没有发生变化,说明等底、等高的棱柱体积相等.

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7.2-7.3

问题 3

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等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何?
它们的体积也相等.所以柱体的体积公式为 V 柱=Sh.

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探究点二 问题 1 锥体的体积公式

7.2-7.3

观察下面的图, 用同样大小的三个三棱锥能拼成一个三

棱柱,说明了什么问题?

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说明三棱锥的体积是等底、等高的三棱柱体积的三分

之一.

问题 2

类比棱柱与棱锥之间的体积关系,能猜测出等底、等高的

圆柱与圆锥之间的体积关系吗? 答 圆柱的体积是圆锥的 3 倍.
问题 3 答 你能推测出锥体的体积计算公式吗? 1 V 锥=3Sh(S 为底面面积,h 为高).

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7.2-7.3

例 1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前 2580 年,其形状为正 四棱锥,金字塔高约 146.6 m,底面边长约 230.4 m.问:
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这座金字塔的侧面积和体积各是多少? 解 如图,AC 为高,BC 为底面的边心距,
则 AC=146.6 m,BC=115.2 m. 底面周长 c=4×230.4 m. 1 1 S 侧面积=2c· AB=2×4×230.4× 115.22+146.62≈85 916.2(m2). 1 1 V=3S· AC=3×230.42×146.6≈2 594 046.0(m3). 答 金字塔的侧面积约是 85 916.2 m2,体积约是 2 594 046.0 m3.

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跟踪训练 1

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7.2-7.3

正三棱柱侧面的一条对角线长为 2 且与该侧面

内的底边所成角为 45° ,求此三棱柱体积.
如右图为正三棱柱 ABC-A1B1C1 ,则有 AB1=2,∠B1AB=45° ,
∴AB=BB1= 2,
1 3 3 ∴S△ABC=2× 2× 2 × 2= 2 . 3 6 ∴V 三棱柱= 2 × 2= 2 .
6 即此三棱柱的体积为 2 .

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探究点三 问题 1

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7.2-7.3

台体的体积公式

台体的上底面积 S′,下底面积 S,高 h,则台体的体积

是如何计算的?
台体的体积可以用两个锥体体积的差得到(如右图),
S′ h S′ x ∵ = ,∴x= . x+h S S- S′ 1 1 1 1 1 1 V 台=3S(h+x)-3S′x=3Sh+3Sx-3S′x=3Sh 1 +3(S-S′)x h S′ 1 1 1 1 1 = 3 Sh+ 3 (S-S′) = 3 Sh+ 3 ( S+ S′)h S′= 3 h(S+ S- S′
SS′+S′).

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问题2 柱体、锥体、台体的体积公式间有怎样的关系?

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关系如下图所示:

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例2 已知螺帽的底面六边形边长是 12 mm,高是 10 mm,内孔直径是 10 mm,这一堆螺帽约 有多少个(铁的密度是 7.8 g/cm3,π≈3.14)?
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7.2-7.3

有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如右图), 共重 5.8 kg,



六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆

柱的体积的差. 1 3 2 因为 V 正六棱柱 =6× 2 ×12×(12×sin 60° )×10=3×12 × 2
×10≈3.74×103(mm3). V 圆柱≈3.14×(10÷ 2×10=0.785×103(mm3). 2) 所以一个螺帽的体积 V=3.74×103-0.785×103

≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3). 因此约有 5.8×103÷ (7.8×2.96)≈2.5×102=250(个)



这堆螺帽约有 250 个.

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7.2-7.3

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小结

不规则几何体的体积可通过对几何体分割,使每部分都能

够易求得其体积,或者使所求体积等于整体几何体体积减去部分 几何体体积.

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7.2-7.3

跟踪训练 2 已知一正四棱台的上底边长为 4 cm,下底边 长为 8 cm,高为 3 cm.求其体积. 1 解 V=3(S 上+S 下+ S上·下)h S 1 =3(42+82+ 42×82)×3=112(cm3). 答 正四棱台的体积为 112 cm3.

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7.2-7.3

探究点四 问题
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球的表面积和体积

如何求球的表面积及体积?



球面的表面积及球体的体积的推导比较复杂, 只要记住 4 3 2 公式即可,S 球面=4πR ,V 球= πR .其中 R 为球的半径. 3

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例 3 如右图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个

7.2-7.3

半球形的冰激凌, 如果冰激凌融化了, 会溢出杯子 吗?(假设冰激凌融化前后体积不变)
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1 4 1 4 因为 V 半球= × πR3= × π×43≈134(cm3), 2 3 2 3

1 1 2 1 V 圆锥=3Sh=3πr h=3π×42×12≈201(cm3).

所以,冰激凌融化了,不会溢出杯子.
小结 球既是中心对称又是轴对称的几何体, 它的任何截面 均为圆, 过球心的截面都是轴截面, 因此球的问题常转化为 圆的有关问题解决.

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7.2-7.3

跟踪训练 3 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3 cm,瓶里所装的 水深为 8 cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到 8.5 cm,求钢球的半径.
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如下图,设钢球半径为 R,则由题意有

4 3 π×3 ×8+ πR =π×32×8.5, 3
2

解得 R=1.5(cm). 答 钢球的半径为 1.5 cm.

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探究点五 例4 简单组合体的表面积和体积

7.2-7.3

如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,AD

=a,BC=2a,∠DCB=60° ,在平面 ABCD 内过点 C 作
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l⊥CB,以 l 为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.
解 如图,在梯形 ABCD 中,∠ABC=90° , AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60° , BC-AD ∴CD= cos 60°=2a,AB=CDsin 60° 3a, = ∴DD′=AA′-2AD=2BC-2AD=2a, 1 ∴DO=2DD′=a. 由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱
中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.

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由上述计算知,圆柱母线长 3a,底面半径 2a;

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圆锥的母线长 2a,底面半径 a. ∴圆柱的侧面积 S1=2π·2a· 3a=4 3πa2,圆锥的侧面积
S2=π·a· 2a=2πa2,
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圆柱的底面积 S3=π(2a)2=4πa2,圆锥的底面积 S4=πa2,
∴组合体上底面积 S5=S3-S4=3πa2,
∴旋转体的表面积 S=S1+S2+S3+S5=(4 3+9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一 个圆锥的体积. V 柱=Sh=π· 2· 3a=4 3πa3. (2a) 1 1 3 3 2 V 锥=3S′h=3· a · 3a= 3 πa . π· 3 11 3 ∴V=V 柱-V 锥=4 3πa3- 3 πa3= 3 πa3.

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7.2-7.3

小结
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求组合体的表面积或体积,首先应弄清它的组成,其

表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求,然后再根据公 式求出各面的面积,最后再相加或相减.求体积时也要先弄 清组成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.

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跟踪训练 4 将例题中的条件改为在△ABC 中,AC =3,BC=4,AB=5,以 AB 所在直线为轴,三角 形面旋转一周形成一旋转体,求此旋转体的表面积
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7.2-7.3

和体积. 解 过 C 点作 CD⊥AB,垂足为 D.△ABC 以 AB 所
在直线为轴旋转一周,所得到的旋转体是两个底面 重合的圆锥,如图所示,

AC· BC 12 这两个圆锥高的和为 AB=5,底面半径 DC= = , AB 5 84 故 S 表=π·DC· (BC+AC)= 5 π.
1 1 1 48 V=3π·DC2· AD+3π·DC2· BD=3π·DC2· (AD+BD)= 5 π. 84 48 即所得旋转体的表面积为 5 π,体积为 5 π.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

7.2-7.3

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1.已知高为 3 的棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长 为 1 的正三角形(如图),则三棱锥 B1—ABC 的 体积为 1 A. 4 1 B. 2 3 C. 6 ( D ) 3 D. 4

解析

1 1 3 3 V= Sh= × ×3= . 3 3 4 4

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7.2-7.3

2.设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 5,那么它的体积为( B ) A.6 3
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B. 3

C.2 3

D.2

解析

因为正六棱锥的高为 5-12=2,

1 1 3 所以 V=3Sh=3×6× 4 ×2= 3.

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7.2-7.3

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3.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的 3 体积为________. 3π 解析 先利用圆锥侧面积公式求出半径. ?πl=2πr, ? 设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,高为 h,则?1 2 ?2πl =2π, ? ?l=2, ? ∴? ∴h= 3. ?r=1, ? 1 3 2 ∴V 圆锥= π×1 × 3= π. 3 3

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7.2-7.3

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1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 1 1 S′=S S′=0 V 柱体=Sh———→V 台体= h(S+ SS′+S′)———→V 锥体= Sh. 3 3 2.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角 三角形,进行相关计算. 3.解决球与其他几何体的切接问题,通常先作截面,将球与几何体 的各量体现在平面图形中,再进行相关计算.


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