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惠州市2013届高三第一次模拟考试(文数)题目


惠州市2013届高三第一次模拟考试数学试题(文科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设集合 A ? ??1,0,1? , B ? ?0,1, 2? 若 x ? A 且 x ? B 则 x 等于( A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 ) )

/>2.已知复数 z ? i (1 ? i ) ( i 为虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2, 则抛物线的方程是( A.y 2 ? ?8x B. y 2 ? 8x C. y 2 ? ?4 x D.y 2 ? 4 x ) D.8

2
正视图

4.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为 ( A.2 B.6 C.7 可得这个几何体的体积是( A. )
3

2

5. 已知某几何体的三视图如右, 根据图中标出的尺寸 (单位: ) cm ,

侧视图

2

1 1
俯视图

4 3 cm 3

B. cm

8 3

C. 2cm

3

D. 4cm

3

2

第5题图

6.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛,四人 的平均成绩和方差如下表:


平均成绩 x 方差 S
2

乙 89 3.5

丙 89 2.1

丁 85 5.6


86 2.1

从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛,最佳人选是( A. 甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.已知向量 a ? (?1,1), b ? (3, m) , a / /(a ? b) ,则 m ? ( A. 2 B. ?2 C. ?3

?

?

?

?

?

) D. 3

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 8.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最小值为( ?x ?1 ? 0 ?
A. ?6 B. ?4 C. 2 D. 3



9.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产

第 1 页 共 8 页

成本为 C( x) ? 1 x2 ? 2 x ? 20 (万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月

2

应生产该商品数量为( A.36万件

) C.22万件 D.9万件

B.18万件

10 . 设 P 为曲线C: y ? x2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线C在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

? ?? ?0, 4 ? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ( ? ?
A. ? ?1, ? ? 2

)

开始

? ?

1? ?

B. ? ?1,0?

C. ?0,1?

D. ? ,1?
k ? 5?


?1 ? ?2 ?

S ? 2, k ? 1

二、填空题:本题共5小题,作答4小题,每题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题) 11.某地区高中分三类, A 类学校共有学生2000人, B 类学校 共有学生3000人,C 类学校共有学生4000人, 若采取分层抽 样的方法抽取900人,则 A 类学校中应抽学生 12.若等比数列{ an }中 a5 ? 4? 则 a2 ? a8 等于 13. 执行如右图的程序框图,那么输出 S 的值是 . . 人.


1 S? 1? S

输出 S

结束

k ? k ?1

第13题图

(二)选做题(14 ~15题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分) 14.(坐标系与参数方程选做题)若直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

) ? 3 2 ,曲线 C :

? ? 1上的点到直线 l 的距离为 d ,则 d 的最大值
为 .

C A

15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 的直径 AB ? 6 , P 是

AB 的延长线上一点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 C ,
0 连接 AC ,若 ?CPA ? 30 ,则 PC ?

O

·

B

P



第15题图

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足
c sin A ? a cos C (1)求角 C 的大小;(2)求 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值, 4 并求取得最大值时角 A 的大小.
17. (本小题满分12分)为了了解2013年某校高三学生的视
第 2 页 共 8 页

?

力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分 组区间为 ? 3.9, 4.2? , ? 4.2, 4.5? ,… , ? 5.1,5.4? 经过数据 处理,得到如右频率分布表:(1)求频率分布表中未知量

分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计

频数 3 6 25 y 2 n

频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00

n, x, y , z 的值; (2) 从样本中视力在 ? 3.9, 4.2? 和 ? 5.1,5.4?
的所有同学中随机抽取两人, 求两人的视力差的绝对值低于 0.5的概率. 在平面互相垂直, F 为 BC 的中点,

18. (本小题满分14分)如图, 直角梯形 ACDE 与等腰直角 ?ABC 所

D

?BAC ? ?ACD ? 90?, AE / /CD, DC ? AC ? 2 AE ? 2
(1)求证: AF / /平面BDE ;(2)求四面体 B ? CDE 的体积. 19.(本小题满分14分) 已知 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? 1 x3 ? 1 x 2 ? mx ? n ,直线 l
3 2

E A

C F
第18题图

与函数 f ? x ? , g ? x ? 的图象都相切于点 ?1,0 ? . (1)求直线 l 的方程及

B

g ( x) 的解析式; 若 h ?x ? ?f x? ?g? x ' ? ?(其中 g ' ? x ? 是 g ? x ? 的导函数) 求函数 h ? x ? (2) ,
的极大值. 20.(本小题满分14分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B(0, ?1) ,且 其右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为3.(1)求椭圆方程; (2)设直线 l 过定点 Q(0, ) ,与椭圆交于两个不同的点 M 、N ,且满足 BM ? BN . 求直线 l 的方程. 21.(本小题满分14分)已知数列 ?an ? 的相邻两项 an , an?1 是关于 x 的方程

3 2

x2 ? 2n x ? bn ? 0(n ? N ? ) 的两根,且 a1 ? 1 .
(1)求证: 数列 ?an ?

? ?

1 n? ? 2 ? 是等比数列;(2)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求 Sn ; 3 ?
?

(3)问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ? Sn ? 0 对任意 n ? N 都成立,若存在,求出 ? 的取值 范围; 若不存在,请说明理由.

第 3 页 共 8 页

惠州市2013届高三第一次模拟考试试题数 学(文科)答案
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B B C B C C 8 B 9 B 10 A

1. 【解析】 A? B ? ?0,1 ,故 x ? -1 ,故选 A。 ?

2.【解析】因为 z ? i(1 ? i) ? ?1 ? i ,所以 z ? i(1 ? i) ? ?1 ? i 对应的点在复平面的第二 象限. 故选 B . 3.【解析】抛物线的准线方程为 x ? -2, ,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方 程为 y 2 ? 2 px( p ? 0)? 则其准线方程为 x ? ? 的标准方程为 y 2 ? 8x .故选 B 。
4. 【解析】数字共有 n 个,当数字 n ? 6 时,有 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21项,所以第 25 项是 7, 故选 C。

p p ? ∴ ? ? ?2? 解得 p ? 4? ∴抛物线 2 2

5.【解析】由三视图可知,该几何体为底面是正方形边长为 2cm ,高为 2cm 的四 1 8 棱锥,故 V ? ? 22 ? 2 ? cm3 ,故选B。 3 3
6.【解析】乙,丙的平均成绩最好,且丙的方差小于乙的方差,丙的发挥较稳定,故选 C。

? ? ? ? ? 7.【解析】 a ? b ? (2, m ? 1) , a //(a ? b) 故 ?(m ? 1) ? 2 ? 0 ,解得 m ? ?3 ,故选C
8. 【 解 析 】 做 出 不 等 式 对 应 的 可 行 域 如 图 , 由 z ? 3x ? 2 y 得

y?

3 z 3 z x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 C (0, 2) 时,直线 2 2 2 2

的截距最大,而此时 z ? 3x ? 2 y 最小 ?4 为,选 B。

9. 【解析】 利润 L( x) ? 20 x ? C ( x) ? ? 1 ( x ? 18)2 ? 142? 当 x ? 18 时, 2 有最大值.故选B 10.【解析】设 P( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? , y? ? 2 x ? 2 ,则 k ? tan ? ? 2x0 ? 2 ??0,1? ,
1? ? 解得 x0 ? ? ?1, ? ? ,故选A。 2? ?
第 4 页 共 8 页

二、填空题(本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.) 11. 200 12. 16 13. -1 14.

3 2 ?1

15. 3 3
900 ,故 A 类学 9000

11.【解析】200人,高中生共有9000人,抽取900,抽取比例为 校中应抽学生 2000 ?
1 ? 200 人。 10

2 12.【解析】 ∵ {an } 是等比数列且 2 ? 8 ? 2 ? 5? ∴ a2 ? a8 ? a5 ? 16 .

13.【解析】由框图知: S ? 2, k ? 1; S ? ?1, k ? 2; S ?

1 , k ? 3; 2

S ? 2, k ? 4; S ? ?1, k ? 5, 不满足条件,输出 S 的值是 ?1 .

14.【解析】直线的直角坐标方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,曲线C的方程为 x2 ? y 2 ? 1 ,为 0?0?6 圆; d 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为 dmax ? ?1 ? 3 2 ?1 2 15.【解析】连接 CO , AB ? 2r ? 6,? r ? 3 , Rt ?COP 中, ?CPO ? 30? ,故 OP ? 2CO ? 2r ? 6 ,所以 BP ? 6 ? OB ? 3 ,由切割线定理 CP2 ? BP ? AP ? 27 , ? CP ? 3 3 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤. 16. 解:(1)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. ??2分 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0. 从而 sin C ? cos C. ??4分 又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则 C ? (2)由(1)知 A ? B ? C ? ? , C ?
? 3 sin A ? cos( B ?
?0 ? A ?

?

?

4

??6分
?B ?

?
4

?
4

4

? ? ? A. ??7分

) ? 3 sin A ? cos(? ? A). ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ? ) ?9分
6

3? ? ? 11? ????????????10分 ,? ? A ? ? , 4 6 6 12

? ? 从而当 A ? ? ? ? , 即 A ? 时, 2 sin( A ? ) 取最大值2.?????12分 3 6 6 2
17.解:(1)由表可知,样本容量为 n ,由 2 ? 0.04 ,得 n ? 50 ,由 x ? 25 ? 0.5 ;3分
n

n

y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14 , z ? y ? 14 ? 0.28
n 50

??6分

第 5 页 共 8 页

(2)设样本视力在(3.9,4.2]的3人为 a, b, c ,在(5.1,5.4]的2人为 d , e .7分 由题意从5人中任取两人的基本事件如下: (a, d ),(a, e),(b, d ),(b, e),(c, d ),(c, e),
(a, b),(a, c),(b, c),(d , e) ,共有10个基本事件???9分

设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”,则事件A等价于“抽取 两人来自同一组”包含的基本事件有:
(a, b),(a, c),(b, c),(d , e) ,共有4个基本事件

??11分

2 ∴ P( A) ? 4 ? 2 , 故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为 .?12分 5 10 5 BD 的中点 P ,连接 EP 、 FP ,??? 1分 18.(1)证:取 D 1 则 PF 为中位线, PF / / DC 2 P 1 C 又? EA/ / DC ? EA/ /PF ????3分 E 2 F 故四边形 AFPE 是平行四边形,即 AF / / EP ?5分 A ? EP ? 面 BDE ; AF ? 面 BDE B ? AF / / 面 BDE ???7分 (2)解:? BA ? AC ,面 ABC ? 面 ACDE 且交于 AC ? BA ? 面 ACDE ,即 BA 就是四面体 B ? CDE 的高, BA ? 2 ??10分 ? DC ? AC ? 2 AE ? 2, / / CD AE
1 1 ? S梯形ACDE ? ( ? 2) 2 ? 3,S?ACE ? ? 1 ? 2 ? 1 ?S?CDE 1 ? 2 2

? 3 ? 1 ? 2 ?12分

1 1 4 ? VB-CDE ? ? BA ? S ?CDE ? ? 2 ? 2 ? . ???????????14分 3 3 3

19.(本小题满分14分) 解:(1)直线 l 是函数 f ? x ? ? ln x 在点 ?1,0 ? 处的切线,故 其斜率 k ? f ' ?1? ? 1,∴直线 l 的方程为 y ? x ? 1. ???2分 又因为直线 l 与 g ? x ? 的图象相切,且切于点 ?1,0 ? , ∴ g ? x ? ? 1 x3 ? 1 x 2 ? mx ? n 在点 ?1,0 ? 的导函数值为1.
3 2
?m ? ?1 ,?4分 ? g ?1? ? 0 ? ? ?? 1 ? ? g ' ?1? ? 1 ?n ? ? 6 ?

∴ g ? x ? ? 1 x3 ? 1 x 2 ? x ? 1
3 2

?????6分 ???????7分

6

(2)? h ? x? ? f ? x? ? g ' ? x ? ? ln x ? x2 ? x ? 1? x ? 0?

第 6 页 共 8 页

∴ h ' ? x ? ? 1 ? 2x ? 1 ? 1 ? 2x
x

2

?x

x

??

? 2 x ? 1? ( x ? 1)
x

???????9分

1 或 x ? ?1 (舍)???????10分 2 1 1 当 0 ? x ? 时, h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 递增;当 x ? 时, h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 递减?12分 2 2

令 h ' ? x ? ? 0 ,得 x ?

因此,当 x ?

1 1 1 ?1? 时, h ? x ? 取得极大值,?? h( x)?极大 ? h ? ? ? ln ? ??14分 2 2 4 ?2?
a b

2 2 20.解 (1)设椭圆方程为 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) , 则 b ? 1 . ???1分

令右焦点 F (c, 0)(c ? 0) , 则由条件得 3 ? | c ? 0 ? 2
2

2 | ,得 c

? 2 .????3分

那么 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 ,∴椭圆方程为 x

2

3

? y 2 ? 1 .???5分

(2)若直线 l 斜率不存在时,直线 l 即为 y 轴,此时 M , N 为椭圆的上下顶点,

BN ? 0, BM ? 2 ,不满足条件;???6分
3 x2 故可设直线 l : y ? kx ? (k ? 0) ,与椭圆 ? y 2 ? 1 联立, 2 3

消去 y 得: ?1 ? 3k 2 ? x 2 ? 9kx ? 15 ? 0 .???7分
4

由 ? ? ? 9k ?2 ? 4 ?1 ? 3k 2 ? ? 15 ? 0 ,得 k 2 ?
4

5 . ??????8分 12
? k ( x1 ? x2 ) ? 3 ? ? 9k 2 ? 3 ?10分 1 ? 3k 2

由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?

9k ,而 y1 ? y2 1 ? 3k 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 的中点 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

由 BN ? BM ,则有 BP ? MN .

kBP

y1 ? y2 9k 2 ?5 ?1 ? 2 y ?1 1 ?11分 2 ? 0 ? ? 1 ? 3k ?? x1 ? x2 9k x0 k ? 1 ? 3k 2 2

可求得 k 2 ?

2 2 5 .?12分,检验 k 2 ? ? ( , ??) ??13分 3 3 12
6 3 6 3 x ? .???14分 x? 或y ? ? 3 2 3 2
第 7 页 共 8 页

所以直线方程为 y ?

21.(本小题满分14分)(1)证明:? an , an?1 是方程 x2 ? 2n x ? bn ? 0(n ? N ? ) 两
1 n?1 ? an ? an ?1 ? 2 n 根,? ? 1分 an?1 ? 3 ? 2 ? ? bn ? an an ?1 1 n an ? ? 2 3 1 1 2n ? an ? ? 2n?1 ?(an ? ? 2n ) ??3分 3 3 ? ? ? ?1 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 3 3

故数列 ?an ? 1 ? 2n ? 是等比数列,首项 a1 ? 2 ? 1 , 公比为-1的等比数列??4分 ? ?
? 3 ?

3

3

(2)由(1)得 an ? 1 ? 2n ? 1 ? (?1)n?1 ,即 an
3 3

?

1 n ? 2 ? (?1) n ? ??5分 ? 3?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

?

1 1 (2 ? 22 ? 23 ? ? 2n ) ? ?(?1)1 ? (?1) 2 ? (?1)3 ? ? ? (?1) n ? ? ? 3

?

? ??6分

n n n = 1 ? 2(1 ? 2 ) ? ?1[1 ? (?1) ] ? = 1 ? 2n?1 ? 2 ? (?1) ? 1? ??7分 ? 3? 2 3 ? 1? 2 1 ? (?1) ?

?

?

?

?

(3) bn ? an an?1 ? 1 ? 2n ? (?1)n ? ? ? 2n?1 ? (?1)n?1 ? ? 1 ? 22 n?1 ? (?2)n ? 1? ??8分 ? ? ? ? ? ?
9 9

要使 bn ? ? Sn ? 0 对任意 n ? N ? 都成立, 即 1 ?22n?1 ? (?2)n ? 1? ? ? ?2n?1 ? 2 ? (?1)
9? ? 3? ? ? 1? ??0 2 ?
n

(*)对任意 n ? N ? 都成立

1 ? ①当n为正奇数时,由(*)得 (22 n ?1 ? 2n ? 1) ? (2n ?1 ? 1) ? 0 9 3

即 1 (2n?1 ? 1)(2n ? 1) ? ? (2n ?1 ? 1) ? 0 ? 2n?1 ? 1 ? 0, ? ? ? 1 (2n ? 1) 对任意正奇数 n 都成立。
9 3

3

当且仅当 n ? 1 时, 1 (2n ? 1) 有最小值1,? ? ? 1
3

??11分

②当n为正偶数时,由(*)得 1 (22 n?1 ? 2n ? 1) ? ? (2n?1 ? 2) ? 0
9 3

即 1 (22 n?1 ? 1)(2n ? 1) ? 2? (2n ? 1) ? 0
9 3

? 2n?1 ? 1 ? 0,

?? ?

1 n ?1 (2 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立。 6

当且仅当 n ? 2 时, 1 (2n?1 ? 1) 有最小值
6

3 3 ,? ? ? 2 2

??13分

综上所述,存在常数 ? ,使得使得 bn ? ? Sn ? 0 对任意 n ? N ? 都成立,

? 的取值范围是 (??,1)
第 8 页 共 8 页

??14分


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