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4-2同角的三角函数基本关系式与诱导公式


一、选择题 1.sin600° +tan240° 的值是( A.- 3 2 ) B. 3 2

1 C.- + 3 2 [答案] B

1 D. + 3 2

[解析] sin600° +tan240° =sin240° +tan240° =sin(180° +60° )+tan(180° +60° ) =-sin60°

+tan60° =- 3 3 + 3= . 2 2 )

sin?α-3π?+cos?π-α? 2.设 tan(5π+α)=m(m≠1),则 的值为( sin?-α?-cos?π+α? m+1 A. m-1 C.-1 [答案] A [解析] sin?α-3π?+cos?π-α? sin?-α?-cos?π+α? m-1 B. m+1 D.1

sin?-4π+π+α?-cosα -sinα-cosα tanα+1 = = = . -sinα+cosα -sinα+cosα tanα-1 又 tan(5π+α)=m, m+1 ∴tanα=m,∴原式= . m-1

3.(2011· 浙江文,5)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c.若 acosA=bsinB,则 sinAcosA+cos2B=( A.- C. -1 [答案] D [解析] 本题考查了边化角的转化及三角恒等变换问题. 由 acosA=bsinB 可得,sinAcosA=sin2B=1-cos2B 所以 sinAcosA+cos2B=1.
?π π? 1 4.(文)若 sin2θ= 且 θ∈?4,2 ?,则 cosθ-sinθ 的值是( 4 ? ?

)

1 2

1 B. 2 D. 1

)

A.

3 2 3 2

3 B. 4 D.- 3 4

C.-

[答案] C 3 [解析] (cosθ-sinθ)2=1-sin2θ= , 4 π π 3 ∵ <θ< ,∴cosθ<sinθ,∴cosθ-sinθ=- . 4 2 2 7 (理)已知 x 是三角形的内角,sinx+cosx= ,则 tanx 的值是( 13 A.- 5 C. 12 [答案] A 7 π [解析] 因为 0<x<π,且 sinx+cosx= ,所以 <x<π.从而可知 sinx>0, 13 2 cosx<0,且|sinx|>|cosx|, 12 5 12 B. 5 D.- 5 12 )

∴tanx<0 且|tanx|>1,故选 A.
?π ? sin?2+θ?-cos?π+θ? ? ? 5.已知 tanθ=2,则 =( ?π ? sin?2-θ?-sin?π-θ? ? ?

)

A.2 C.0 [答案] B

B.-2 2 D. 3

?π ? sin?2+θ?-cos?π+θ? cosθ+cosθ ? ? [解析] = ?π ? cosθ-sinθ sin?2-θ?-sin?π-θ? ? ?

2 2 = = =-2. 1-tanθ 1-2 π π 6.已知 tan2α=-2 2,且满足 <α< ,则 4 2 α 2cos2 -sinα-1 2 的值为( π 2sin? +α? 4 A. 2 C.-3+2 2 [答案] C α 2cos2 -sinα-1 cosα-sinα 1-tanα 2 [解析] = = . π sinα+cosα tanα+1 2sin? +α? 4 2tanα 2 又 tan2α=-2 2= 2 ? 2tan α-tanα- 2=0.解得 tanα=- 1-tan α 2 π π 或 2.又 <α< ,∴tanα= 2. 2 4 2

)

B.- 2 D.3-2 2

1- 2 原式= =-3+2 2. 2+1 二、填空题 3 3π 7.(2011· 重庆文,12)若 cosα=- ,且 α∈(π, ),则 tanα=________. 5 2 [答案] 4 3

[解析] 此题考查已知一个角的三角函数值,求另一个三角函数值,属 基础题. 3 3π ∵cosα=- ,α∈(π, ), 5 2 4 4 ∴sinα=- ,∴tanα= . 5 3 8.(2012· 滨州模拟)设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 a,b,α, β∈R,且 ab≠0,α≠kπ (k∈Z).若 f(2012)=5,则 f(2013)=________. [答案] -5 [解析] ∵f(2012)=asin(2012π+α)+bcos(2012π+β)=asinα+bcosβ= 5, ∴f(2013)=asin(2013π+α)+bcos(2013π+β) =-asinα-bcosα=-(acosα+bcosβ)=-5. 三、解答题 1 9.(文)已知 cos(π+α)=- ,且 α 在第四象限,计算: 2 (1)sin(2π-α); sin[α+?2n+1?π]+sin?π+α? (2) (n∈Z). sin?π-α?· cos?α+2nπ? 1 [解析] ∵cos(π+α)=- . 2

1 1 ∴-cosα=- ,cosα= , 2 2 又∵α 在第四象限, ∴sinα=- 1-cos2α=- 3 . 2

(1)sin(2π-α)=sin[2π+(-α)] =sin(-α)=-sinα= 3 . 2

sin[α+?2n+1?π]+sin?π+α? (2) sin?π-α?cos?α+2nπ? sin?α+2nπ+π?-sinα sin?π+α?-sinα = = sinαcosα sinαcosα -2sinα 2 = =- =-4. sinαcosα cosα (理)已知 sin(π-α)-cos(π+α)= (1)sinα-cosα;
?π ? ?π ? (2)sin3?2-α?+cos3?2+α?. ? ? ? ? ? 2?π ? <α<π?,求下列各式的值: 3 ?2 ?

[分析] (1)化简已知条件 sinα+cosα= (sinα-cosα)2,最后得 sinα-cosα.

2 ,再平方求 sinαcosα 则可求 3

(2)化简 cos3α-sin3α,再因式分解并利用(1)求解. [解析] 由 sin(π-α)-cos(π+α)= 得 sinα+cosα= 2 , 3 2 , 3

2 两边平方,得 1+2sinα· cosα= , 9 7 故 2sinα· cosα=- . 9

π 又 <a<π,∴sinα>0,cosα<0. 2
? 7? 16 4 (1)(sinα-cosα)2=1-2sinα· cosα=1-?-9?= ,∴sinα-cosα= . 3 ? ? 9 ?π ? ?π ? (2)sin3?2-α?+cos3?2+α?=cos3α-sin3α ? ? ? ?

=(cosα-sinα)(cos2α+cosα· sinα+sin2α) 7? 4 ? 22 =- ×?1-18?=- . 3 ? 27 ?

一、选择题 1.(2011· 新课标理,5)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半 轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( A.- 3 C. 5 [答案] B [解析] 本题考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式. 1 2 3 依题意:tanθ=± 2,∴cosθ=± ,∴cos2θ=2cos2θ-1= -1=- 或 5 5 5 1-tan2θ 1-4 3 cos2θ= =- ,故选 B. 2 = 5 1+tan θ 1+4
? π? 2.(文)已知 tanx=sin?x+2 ?,则 sinx=( ? ?

) 3 5

4 5

B.- 4 D. 5

)

-1± 5 A. 2 C. 5-1 2

B. D.

3+1 2 3-1 2

[答案] C
? π? [解析] ∵tanx=sin?x+2 ?, ? ?

即 tanx=cosx,∴sinx=cos2x. 又∵cos2x=1-sin2x, ∴sin2x+sinx-1=0, ∴sinx= 5-1 . 2 )

?π ? ?5 ? ? π? 3 (理)已知 cos?6-α?= ,则 cos?6π+α?-sin2?α-6 ?的值是( ? ? 3 ? ? ? ?

2+ 3 A. 2 2- 3 C. 3 [答案] B

2+ 3 B.- 2 -2+ 3 D. 3

?5 ? ? ?π ?? [解析] ∵cos?6π+α?=cos?π-?6-α?? ? ? ? ? ?? ?π ? 3 =-cos?6-α?=- , 3 ? ? ? π? ? π? 1 2 而 sin2?α-6 ?=1-cos2?α-6 ?=1- = , 3 3 ? ? ? ?

∴原式=- 二、填空题

2+ 3 3 2 - =- . 3 3 3

3π 3. (2011· 大纲全国卷文, 14)已知 α∈(π, ), tanα=2, cosα=________. 则 2 [答案] - 5 5

[解析] 本题主要考查同角三角函数关系式,并突出了弦切互化这一转 化思想的应用.

3π ∵α∈(π, ),tanα=2 2

? sinα =2 ∴?cosα ?sin2α+cos2α=1
解得:cosα=- 5 . 5

1 4.(文)(2010· 全国卷Ⅱ)已知 α 是第二象限角且 tanα=- ,则 cosα= 2 __________. [答案] - 2 5 5

[解析] 本题考查了同角三角函数关系. ∵tanα= sinα 1 =- cosα 2 ① ②

又 sin2α+cos2α=1 2 5 又 α 为第二象限角 cosα<0,∴cosα=- . 5

(理 )若 a= sin(sin2012° b= sin(cos2012° c= cos(sin2012° d= ), ), ), cos(cos2012° ),则 a、b、c、d 从小到大的顺序是________. [答案] b<a<d<c [解析] ∵2012° =5×360° +180° +32° , ∴a=sin(-sin32° )=-sin(sin32° )<0, b=sin(-cos32° )=-sin(cos32° )<0, c=cos(-sin32° )=cos(sin32° )>0, d=cos(-cos32° )=cos(cos32° )>0, π 又 0<sin32° <cos32° <1< ,∴b<a<d<c. 2 [点评] 本题“麻雀虽小, 五脏俱全”考查了终边相同的角、 诱导公式、

正余弦函数的单调性等,应加强这种难度不大,对基础知识要求掌握熟练的 小综合训练. 三、解答题
?π ? ? π? 5.已知 cos?2+α?=2sin?α-2 ?. ? ? ? ?

sin3?π-α?+cos?α+π? 求 的值. ?5π ? ?7π ? 5cos? 2 -α?+3sin? 2 -α? ? ? ? ?
?π ? ? π? [解析] ∵cos?2+α?=2sin?α-2 ?, ? ? ? ? ?π ? ∴-sinα=-2sin?2-α?, ? ?

∴sinα=2cosα,即 tanα=2. sin3?π-α?+cos?α+π? ∴ ?5π ? ?7π ? 5cos? 2 -α?+3sin? 2 -α? ? ? ? ? sin3α-cosα = ? π ? ? π ? 5cos?2π+2-α?+3sin?4π-2-α? ? ? ? ? sin3α-cosα = ?π ? ?π ? 5cos?2 -α?-3sin?2+α? ? ? ? ? sin3α-cosα sin2α· tanα-1 = = 5sinα-3cosα 5tanα-3 2sin2α-1 2sin2α-1 = = 7 10-3 2sin2α-?sin2α+cos2α? = 7?sin2α+cos2α? sin2α-cos2α tan2α-1 = = 7?sin2α+cos2α? 7?tan2α+1?

4-1 3 = = . 7×?4+1? 35 6.已知 sinθ,cosθ 是方程 x2-( 3-1)x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; sinθ cosθ (2)求 + 的值. cosθ 1-tanθ 1- sinθ [解析] (1)由韦达定理可得
?sinθ+cosθ= 3-1 ① ? ? , ?sinθ· cosθ=m ② ?

由①得 1+2sinθ· cosθ=4-2 3. 3 3 将②代入得 m= - 3,满足 Δ=( 3-1)2-4m≥0,故所求 m 的值为 2 2 - 3. (2)先化简: sinθ cosθ sinθ cosθ + = + cosθ 1-tanθ cosθ sinθ 1- 1- 1- sinθ sinθ cosθ cos2θ-sin2θ sin2θ cos2θ = + = sinθ-cosθ cosθ-sinθ cosθ-sinθ =cosθ+sinθ= 3-1. 7π 3π 7.(2011· 四川理,17)已知函数 f(x)=sin(x+ )+cos(x- ),x∈R. 4 4 (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)= ,cos(β+α)=- ,0<α<β≤ ,求证:[f(β)]2-2= 5 5 2 0. [解析] (1)∵f(x)=sin(x+ 7π 3π π π -2π)+sin(x- + )=sin(x- )+sin(x 4 4 2 4

π π - )=2sin(x- ) 4 4 ∴T=2π,f(x)的最小值为-2. 4 (2)由已知得 cosβcosα+sinβsinα= , 5 4 cosβcosα-sinβsinα=- . 5 π π 两式相加得 2cosβcosα=0.∵0<α<β≤ ,∴β= . 2 2 π ∴[f(β)]2-2=4sin2 -2=0. 4


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