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《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(35)


一、选择题 1.已知椭圆的一个顶点是(0,4),对称轴是坐标轴,离 心率是 的椭圆的个数是( A.0 C.2 【答案】C 【解析】由顶点是(0,4),知 a=4 或 b=4. 当 a=4 时,且 = ∴c= ) B.1 D.4 2 ,那么适合这些条件 2

c a

2 , 2
2 2

2 x y a=2 2

,b2=8,则方程是 + =1. 2 8 16

当 b=4 时,且 = 1 2

c a

2 2 ,∴c= a, 2 2 1 2

b2=a2-c2=a2- a2= a2=16,a2=32.
∴方程为 + =1. 32 16 故适合条件的椭圆有两个.故应选 C.

x2

y2

x π 2 2.F1、F2 是椭圆 +y =1 的两个焦点,过 F2 作倾斜角为 的弦 AB,则△F1AB 的面积为 2 4
( ) A. C. 2 3 3 4 2 3 B.2 2 D. 4 3

2

【答案】D 【解析】由方程得 F2(1,0),则直线方程为 y=x-1,即 x=y+1,代入椭圆方程得(y +1) +2y -2=0,即 3y +2y-1=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2). 1 ∴S△F1AB= |F1F2|?|y1-y2| 2 = ? y1+y2?
2 2 2 2

-4y1y2=
2 2

4 4 4 + = . 9 3 3

x y 1 1 2 2 2 2 3. 已知 P 是椭圆 + =1 上的一点, 、 分别是圆(x+4) +y = 和(x-4) +y = 上 Q R 25 9 4 4
的点,则|PQ|+|PR|的最小值是( A. 89 C.10 【答案】D 【解析】设椭圆的焦点为 F1、F2,恰为两圆的圆心,则|PQ|+|PR|的最小值转化为 P 到 ) B. 85 D.9

F1、F2 的距离之和达到最小.
因为|PF1|+|PF2|=10, 故|PQ|+|PR|的最小值为 9.故选择 D.

x y → → 4. 已知 P 是以 F1、 2 为焦点 的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点, 1?PF2=0, F PF tan∠PF1F 2 a b
1 = ,则此椭圆的离心率为( 2 A. C. 1 2 1 3 ) B. D. 2 3 5 3

2

2

【答案】D → → 【解析】方法 1:由PF1?PF2=0 知, PF1⊥PF2, ∴△PF1F2 为 Rt△. 1 设|PF2|=m,由 tan∠PF1F2= 知: 2 |PF1|=2m,则|F1F2|= m +4m = 5m. 3 5 ∴2a=|PF1|+|PF2|=3m? a= m,2c= 5m? c= m. 2 2 5 m 2c c 2 5 由离心率的定义知 e= = = = ,故选择 D. 2a a 3 3 m 2 → → 方法 2:在△PF1F2 中,PF1?PF2=0, ∴PF1⊥PF2. ∵|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c, 1 tan∠PF1F2= , 2 ∴|PF1|=2|PF2|,∴3|PF2|=2a, 又∵|PF1| +|PF2| =4c , 4 c 4a ∴|PF2| = = , 5 9
2 2 2 2 2 2 2 2

c 5 ?c?2 5 ∴? ? = ,∴e= = . a 3 ?a? 9
5.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 轨 进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行, 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以

F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨
道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆 轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给 出下列式子: ①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④ < .

c1 c2 a1 a2

其中正确式子的序号是(

)

A.①③ C.①④ 【答案】B

B.②③ D.②④

【解析】由题意知 a1>a2,c1>c2,故①错误. 对于轨道Ⅰ有|PF|=a1-c1; 对于轨道Ⅱ有|PF|= a2-c2. ∴a1-c1=a2-c2,∴②正确. ∵a1-c1=a2-c2,a1>a2,∴

a1-c1 a2-c2 < . a1 a2

即 1- <1- ,∴ > ,即 c1a2>c2a1, ∴③正确,④错误. 故选择 B. 二、填空题 6.已知 F1、F2 为椭圆 2+ 2=1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点.若|F2A| +|F2B|=12,则|AB|= 【答案】8 【解析】如图所示,由椭圆定义得 .

c1 a1

c2 a2

c1 c2 a1 a2

x2 y2 a b

|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20, 又|AF2|+|BF2|=12 , 所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8. 7 7.在△ABC 中,AB=BC,cos B=- ,若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的 18 离心率 e= 3 【答案】 8 【解析】如图,设 AB=BC=x, .

7 由 cos B=- 及余弦定理得 18

AC2=AB2+BC2-2AB?BCcos B
7 2 2 2 =x +x +2x ? , 18 25 2 5 2 ∴AC = x ,∴AC= x. 9 3 ∵椭圆以 A、B 为焦点,故焦点为 2c=AB=x. 5 又椭圆经过点 C,∴AC+BC=x+ x=2a, 3 8 c 3 ∴2a= x,∴e= = . 3 a 8

x2 y2 8.已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0), P 为椭圆上任一点,∠F1PF2 =θ ,求△F1PF2 的面积 a b
为 . θ 2 【答案】b tan 2 【解析 】由椭圆定义,有 |PF1|+|PF2|=2a, 而在△F1PF2 中,由余弦定理有 |PF1| +|PF2| -2|PF1|?|PF2|cosθ =|F1F2| =4c . ∴(|PF1|+|PF2|) -2|PF1|?|PF2|-2|PF1|?|PF2|cosθ =4c . 即 4(a -c )=2|PF1|?|PF2|(1+cosθ )=4b . 1 ∴S△F1PF2= |PF1|?|PF2|?sinθ 2 1 2b = ? ?sinθ 2 1+cosθ =b ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

sinθ θ 2 =b tan . 1+cosθ 2

[来源:Z#xx#k.Com]

三、解答题 9. (2009 高考海南卷?文)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点到两个焦点的距 离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, =e(e 为椭圆 C |OM| 的离心率),求点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.

【解析】(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c, 由已知得?
?a-c=1, ? ?a+c=7, ?

解得 a=4,c=3,

所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 7 (2)设 M(x,y),P(x,y1),其中 x∈[-4,4]. 由已知得
2
[来源:Z+xx+k.Com]

x2

y2

x +y1 3 2 =e .而 e= , x2+y2 4
2 2 2 2

2

2

故 16(x +y1 )=9(x +y ).① 112-7x 2 由点 P 在椭圆 C 上得 y1 = ,② 16 把②代入①式并化简得 9y =112, 4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y=± (-4≤x≤4),其轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3 10.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切 于坐标原点 O,椭圆 2+ =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10. a 9 (1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长,若存在,请求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)设圆 C 的圆心为 A(p,q), 则圆 C 的方程为(x-p) +(y-q) =8. ∵直线 y=x 与圆 C 相切于坐标原点 O,
[来源:Z#xx#k.Com]

2

x2 y2

2

2

∴O 在圆 C 上,且直线 OA 垂直于直线 y=x.

?p +q =8, ? 于是有?q ?p=-1 ?

2

2

??

?p=2, ? ? ?q=-2,

或?

?p=-2, ? ? ?q=2.

由于点 A(p,q)在第二象限,故 p <0. 所以圆 C 的方程为(x+2) +(y-2) =8. (2)∵椭圆 2+ =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点距离之和为 10,∴2a=10? a=5, a 9 故椭圆右焦点为 F(4,0). 若圆 C 上存在异于原点的点 Q(x0,0)到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长, y 则有|QF| =|OF|,于是(x0-4) +y0 =4 ,且 x0 +y0 ≠0.① 由于 Q(x0,y0)在圆上, 故有(x0+2) +(y0-2) =8.②
2 2 2 2 2 2 2
[来源:Z_xx_k.Com]

2

2

x2 y2

?x =4, ? 5 解①和②得? 12 ?y = 5 . ?
0 0

?4 12? 故圆 C 上存在满足条件的点 Q? , ?. ?5 5 ?
11.(2010 辽宁卷?文)设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程. 【解析】(1)设焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c=2 3, 故 c=2,所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → 由AF2=2F2B及 l 的倾斜角为 60°, 知 y1<0,y2>0, 直线 l 的方程为 y= 3(x-2).

x2 y2 a b

?y= 3? x-2? , ? 联立?x2 y2 ?a2+b2=1, ?
2 2 2 2 4 2



(3a +b )y +4 3 b y-3b =0. - 3b ? 2+2a? - 3b ? 2-2a? 解得 y1= ,y2= . 2 2 2 2 3a +b 3a +b → → 因为AF2=2F2B,所以-y1=2y2,
2 2
[来源:学科网]

2



3b ? 2+2a? - 3b ? 2-2a? =2? , 2 2 2 2 3a +b 3a +b
2 2

解得 a=3.而 a -b =4,所以 b= 5. 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5 12.有一幅椭圆型彗星轨道图,长 4 cm,高 2 3cm,如图,已知 O 为椭圆中心,A1,

x2 y2

A2 是长轴两端点,太阳位于椭圆的左焦点 F 处.

(1)建立适当的坐标系,写出椭圆的方程,并求当彗星运行到太阳正上方时二者在图上 的距离;

(2)直线 l 垂直于 A1A2 的延长线于 D 点,|OD|=4.设 P 是 l 上异于 D 点的任意一点,直 线 A1P,A2P 分别交椭圆于 M,N(不同于 A1,A2)两点,问点 A2 能否在以 MN 为直径的圆上?试 说明理由. 【解析】(1)建立如图所示的坐标系,

设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 依题意,2a=4,2b=2 3,∴a=2,b= 3.∴c=1, 椭圆方程为 + =1, 4 3

x2 y2 a b

x2 y2

F(-1,0),将 x=-1 代入椭圆方程得 y=± ,
∴当彗星位于太阳正上方时,二者在图中的距离为 1.5 cm. (2)由(1)知,A1(-2,0),A2(2,0), 设 M(x0,y0),∵M 在椭圆上, 3 2 2 ∴y0 = (4-x0 ). 4 又点 M 异于顶点 A1,A2,∴-2<x0<2, 由 P、M、A1 三点共线可得 P?4,

3 2

? ?

6y0 ? , x0+2? ?

6y 0 ? → → ? ∴A2M=(x0-2,y0),A2P=?2, ?, ? x0+2? 6y0 5 → → ∴A2M?A2P=2(x0-2)+ = (2-x0), x0+2 2 → → ∵2-x0>0,∴A2M?A2P>0, ∴P、A2、N 三点共线,∴直线 A2M 与 NA2 不垂直, ∴点 A2 不在以 MN 为直径的圆上.
2


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