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第3篇 第6讲正弦定理和余弦定理


第6讲 正弦定理和余弦定理
[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量 问题.

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突破高频考点

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知识梳理 1.正弦定理和余弦定理

在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
正弦定理 a

b c = = =2R 内容 sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= ; 2bc (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c a2+c2-b2 (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; cos B= ; 2R 2R 2R 2ac (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C a2+b2-c2 cos C= 2ab (1)已知两角和任一边,求其他两边和一 (1)已知三边,求三个角; 角; (2)已知两边和它们的夹角,求第 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一 三边和其他两角 边和其他两角
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常见 变形

解决 的问 题

2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为锐角 A为钝角 或直角

图 形
关 系 式 解 的 个 数

a=bsin A bsin A<a<b

a≥b

a>b

一解

两解

一解

一解

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3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高). 2 1 1 absin C acsin B 1 2 2 (2)S= bcsin A=____________=_____________. 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2

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辨析感悟
1.三角形中关系的判断 (1)在△ABC 中,sin A>sin B 的充分不必要条件是 A> B. (× )

(2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . ( √ )

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2.解三角形 1 (3)(2013· 北京卷改编)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3, 5 则 sin B=9. (√ )

9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A= ,则 16 b=6. 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝 角三角形. (√ ) ( √ )

(6)在△ABC 中, 若 b2+c2>a2, 则此三角形是锐角三角形. (×)
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[感悟·提升] 1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的

正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2. 判断三角形形状的两种途径 一是化边为角; 二是化角为边,

并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

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考点一 利用正弦、余弦定理解三角形

【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边 长分别为 a, B.若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A. 3 π C.6 π B. 4 π D.12 ( ).

(2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,若 a=1,c=4 2,B=45° ,则 sin C=________.
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解析 (1)在△ABC 中, 由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3 sin B, ∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. 3 ∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形,
? π? π ? ? ∴A∈ 0,2 ,∴A= . 3 ? ?

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2 (2)由余弦定理,得 b =a +c -2accos B=1+32-8 2× 2
2 2 2

=25,即 b=5. 2 4 2× 2 c· sin B 4 所以 sin C= = = . b 5 5 4 答案 (1)A (2)5

规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯 一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通 常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

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【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C = A.30° C.45° 或 135° B.45° D.60° ( ).

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc, sin C=2 3sin B, 则 A= A.30° C.120° B.60° D.150° ( ).

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2 3 2 2 解析 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C, 2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 ∴cos A= = = = , 又 2bc 2bc 2bc 2 A 为三角形的内角,∴A=30° .
答案 (1)B (2)A

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考点二 判断三角形的形状
【例 2】 (2014· 九江模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A, B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∴A=60° .
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(2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. ∵0° <B<120° ,∴30° <B+30° <150° . ∴B+30° =90° ,B=60° . ∴A=B=C=60° ,△ABC 为等边三角形.

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规律方法 解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只 含角的三角函数的关系式,然后利用三角恒等变换得出内角 之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用 常见的化简变形得出三边的关系.另外,在变形过程中要注 意 A,B,C 的范围对三角函数值的影响.

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【训练 2】 (1)(2013· 山东省实验中学诊断)在△ABC 中, 内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ ABC 是 A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ( ).

(2)在△ABC 中, 若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C, 则△ABC 的形状是( ). B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

A.锐角三角形 C.等腰三角形

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1 解析 (1)由 2c =2a +2b +ab,得 a +b -c =-2ab,所
2 2 2 2 2 2

1 a2+b2-c2 -2ab 1 以 cos C= 2ab = 2ab =-4<0,所以 90° <C<180° , 即△ABC 为钝角三角形. (2)由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C, 得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)], 即 b2sin Acos B=a2cos Asin B, 即 sin2 Bsin Acos B=sin2 Acos Asin B,

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所以 sin 2B=sin 2A,由于 A,B 是三角形的内角, 故 0<2A<2π,0<2B<2π.故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B=2. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
答案 (1)A (2)D

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考点三 与三角形面积有关的问题
【例 3】 (2013· 浙江卷)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,且 2asin B= 3 B. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.
审题路线 3b (1)把 2asin B= 3b 变形为 2a=sin B?利用正弦

a b 定理sin A=sin B?得到 sin A=??A 为锐角,得出 A=? (2)由(1)知 cos A 的值?利用余弦定理?又 b+c=8, 求 bc 的 1 值?利用三角形面积公式 S=2bcsin A 求得.
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3b 解 (1)由 2asin B= 3b,得 2a=sin B, a b a 2a 3 又由正弦定理sin A=sin B,得sin A= ,所以 sin A= 2 , 3 π 因为 A 为锐角,所以 A=3. (2)由(1)及 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=(b+c)2- 3bc=36, 28 1 又 b+c=8,所以 bc= ,由 S= bcsin A,得△ABC 的面积 3 2 7 3 为 . 3
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1 1 规律方法 在解决三角形问题中,面积公式 S=2absin C=2 1 bcsin A=2acsin B 最常用,因为公式中既有边又有角,容易 和正弦定理、余弦定理联系起来.

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【训练 3】 (2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边 分别是 a,b, C.已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

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解 (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1, 得 2cos2A+3cos A-2=0, 1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A= 或 cos A=-2(舍 2 π 去).因为 0<A<π,所以 A= . 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc· = bc=5 3,得 bc=20. 2 2 2 4 又 b=5,所以 c=4. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, b c 故 a= 21.又由正弦定理,得 sin Bsin C=asin A· asin A bc 2 20 3 5 = a2 sin A=21×4=7.
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1.在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作 用,在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数 值的符号,防止出现增解或漏解.

2.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,尤其是其变
形应用时可相互转化.如 a2 = b2 + c2 - 2bccos A 可以转化为 sin2 A=sin2 B+sin2 C-2sin Bsin Ccos A,利用这些变形可进 行等式的化简与证明.

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答题模板6——解三角形问题

【典例】 (13 分)(2013· 重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c,且 a2=b2+c2+ 3b C. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大 值,并指出此时 B 的值.

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[规范解答]

(1)由余弦定理,

b2+c2-a2 - 3bc 3 得 cos A= 2bc = 2bc =- 2 . 5π 又因为 0<A<π,所以 A= 6 . 1 (2)由(1)得 sin A=2, 又由正弦定理及 a= 3,得 (4 分)

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1 1 asin B S=2bcsin A=2· asin C=3sin Bsin C, sin A · 因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)= 3cos(B-C). π-A π 所以,当 B=C,即 B= 2 =12时, S+3cos Bcos C 取最大值 3.(13 分)

(6 分)

(9 分)

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[反思感悟] (1)在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为

角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一
般 采 用 到 正 弦 定 理 , 出 现 边的 二 次 式一 般 采 用到 余 弦 定 理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角 形问题时,注意角的限制范围. (2)在本题第(2)问中,不会结合正弦定理表达S的角的形式是

失分的主要原因.

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答题模板 第一步:定已知.即梳理已知条件,确定三角形

中已知的边与角;
第二步:选定理.即根据已知的边角关系灵活地选用定理和 公式; 第三步:代入求值.

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【自主体验】 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, c= 3 asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

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解 (1)由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理,得 3sin Asin C-cos A· sin C-sin C=0, 由于 sin C≠0,所以
? π? 1 sin?A-6?=2, ? ?

π π 5π π 又 0<A<π,所以- <A- < ,故 A= . 6 6 6 3 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsin A= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8,解得 b=c=2.

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