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河南省郑州市五校联考2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年河南省郑州市五校联考高一(上)期中数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)若 A= A.{x|x≤0} ,B={x|1≤x<2},则 A∪B=() B.{x|x≥2} C. D.{x|0<x<2}

2. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的,具有如下对应表: x 1 2

3 4 f(x) 6.1 2.9 ﹣3.5 ﹣5.3 那么函数 f(x)一定存在零点的区间是() A.(﹣∞,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 B?A,则集合 B 可能是() A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1}

D.R

4. (5 分)函数 A.(0,2] 2] B.(0,2)

的定义域为() C.(0,1)∪(1,2) D. (0,1)∪(1,

5. (5 分)已知常数 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=a ﹣1 恒过定点() A.(0,1) B.(1,0) C.(1,﹣1) D.(1,1) 6. (5 分)不等式 log2(x+1)<1 的解集为() A.{x|0<x<1} B.{x|﹣1<x≤0} C.{x|﹣1<x<1}

x﹣1

D.{x|x>﹣1}

7. (5 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(﹣3)=2,则 f(3)+f(0)=() A.3 B . ﹣3 C. 2 D.﹣2 8. (5 分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是() A.f(x)=x B.f(x)=x
3

C.f(x)=( )

x

D.f(x)=3

x

9. (5 分)小路、小华与小敏三位同学讨论一道数学题,当他们每个人都把自己的解法说出来 以后,小路说:“我做错了,”小华说:“小路做对了,”小敏说:“我做错了.”老师看过他们的 答案并听了他们以上的陈述之后说:“你们三位同学中只有一人做对了,只有一人说对了.” 那么请问:根据老师的回答,谁做对了呢?() A.小路 B.小华 C.小敏 D.不能确定

10. (5 分)已知 a=π () A.a<b<c<d

,b=logπ3,c=ln( B.c<d<b<a

﹣1) ,d=logπ C.d<c<b<a

,则 a,b,c,d 的大小关系是 D.d<b<a<c

11. (5 分)如图下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其 中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正 确的有()

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个
x

D.4 个

12. (5 分)已知函数 f(x)=|log3(x﹣1)|﹣( ) ﹣1 有 2 个不同的零点 x1、x2,则() A.x1?x2<1 B.x1?x2=x1+x2 C.x1?x2>x1+x2 D.x1?x2<x1+x2

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)计算: =.

14. (5 分)若 f(x)=x ﹣x

2

,则满足 f(x)<0 的 x 取值范围是.

15. (5 分)由“不超过 x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数,通常记为 y=[x], 例如[1.2]=1,[﹣0.3]=﹣1.则函数 y=2[x]+1,x∈[﹣1,3)的值域为.

16. (5 分)已知函数 f(x)= 的值为.

(x∈R)的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m

三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分) 2 17. (10 分)若集合 M={x|x +x﹣6=0},N={x|ax﹣1=0},且 M∩N=N,求实数 a 的值. 18. (12 分)已知函数 f(x)= ,x∈[3,5],

(1)用定义法证明函数 f(x)的单调性; (2)求函数 f(x)的最小值和最大值. 19. (12 分)若二次函数满足 f(x+1)﹣f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[﹣1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 20. (12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当 每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

21. (12 分)已知函数

满足



(1)求常数 c 的值; (2)求使 成立的 x 的取值范围.

22. (12 分)已知函数 f(x)=log2 (1)判断并证明 f(x)的奇偶性;



(2)若关于 x 的方程 f(x)=log2(x﹣k)有实根,求实数 k 的取值范围; (3)问:方程 f(x)=x+1 是否有实根?如果有,设为 x0,请求出一个长度为 的区间(a,b) , 使 x0∈(a,b) ;如果没有,请说明理由.

2014-2015 学年河南省郑州市五校联考高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)若 A= A.{x|x≤0} ,B={x|1≤x<2},则 A∪B=() B.{x|x≥2} C. D.{x|0<x<2}

考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 把两集合的解集表示在数轴上,根据图形可求出两集合的并集.

解答: 解:由 两解集画在数轴上,如图:

,B={x|1≤x<2},

所以 A∪B={x|0<x<2}. 故选 D 点评: 本题属于以数轴为工具,求集合的并集的基础题,也是高考常会考的题型. 2. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的,具有如下对应表: x 1 2 3 4 f(x) 6.1 2.9 ﹣3.5 ﹣5.3 那么函数 f(x)一定存在零点的区间是() A.(﹣∞,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由所给的表格可得 f(2)f(3)<0,根据函数零点的判定定理可得函数 f(x)一定 存在零点的区间. 解答: 解:由所给的表格可得 f(3)=﹣3.5,f(2)=2.9,f(2)f(3)<0, 根据函数零点的判定定理可得函数 f(x)一定存在零点的区间是(2,3) , 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 3. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 B?A,则集合 B 可能是() A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1}

D.R

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 阅读型. 分析: 通过集合 A={x|x≥0},且 B?A,说明集合 B 是集合 A 的子集,对照选项即可求出结 果. 解答: 解:因为集合集合 A={x|x≥0},且 B?A,所以集合 B 是集合 A 的子集, 当集合 B={1,2}时,满足题意, 当集合 B={x|x≤1}时,﹣1?A,不满足题意, 当集合 B={﹣1,0,1}时,﹣1?A,不满足题意, 当集合 B=R 时,﹣1?A,不满足题意, 故选 A. 点评: 本题是基础题,考查集合的基本运算,集合的包含关系判断及应用.

4. (5 分)函数 A.(0,2] 2] B.(0,2)

的定义域为() C.(0,1)∪(1,2) D. (0,1)∪(1,

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析:

的定义域为{x|

},由此能求出结果.

解答: 解:

的定义域为:

{x|

},

解得 0<x<1,或 1<x<2. 故选 D. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 5. (5 分)已知常数 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=a ﹣1 恒过定点() A.(0,1) B.(1,0) C.(1,﹣1) D.(1,1) 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据指数函数的性质,我们易得指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点, 再根据函数图象的平移变换法则, 我们易求出平移量, 进而可以得到函数图象平移后恒过的点 A 的坐标. x 解答: 解:由指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点 x﹣1 而要得到函数 y=a ﹣1(a>0,a≠1)的图象, x 可将指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象向右平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位. 则(0,1)点平移后得到(1,0)点 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是指数函数的图象与性质,其中根据函数 y=a 的解析式,结合函数图象平移变换法则,求出平移量是解答本题的关键. 6. (5 分)不等式 log2(x+1)<1 的解集为() A.{x|0<x<1} B.{x|﹣1<x≤0} C.{x|﹣1<x<1} 考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 由 log2 (x+1) <1, 利用对数函数的性质, 知 <1 的解集. 解答: 解:∵log2(x+1)<1=log22, , 由此能求出不等式 log2 (x+1)
x﹣1 x﹣1

﹣1(a>0,a≠1)

D.{x|x>﹣1}





解得﹣1<x<1. 故选 C. 点评: 本题考查对数不等式的解法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 7. (5 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(﹣3)=2,则 f(3)+f(0)=() A.3 B . ﹣3 C. 2 D.﹣2 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇函数的性质 f(0)=0,由题意得 f(3)+f(0)=﹣f(﹣3)+f(0)即可得出 答案. 解答: 解:由题意得 f(3)+f(0) =﹣f(﹣3)+f(0) =﹣2+0=﹣2. 故选 D. 点评: 本题考查奇函数的性质:若 f(x)是奇函数,且在 x=0 处有意义则 f(0)=0;考查 奇函数的定义. 8. (5 分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是() A.f(x)=x B.f(x)=x
3

C.f(x)=( )

x

D.f(x)=3

x

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对选项一一加以判断,先判断是否满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,然后考虑函数的单调 性,即可得到答案. 解答: 解:A.f(x)= ,f(y)= ,f(x+y)= ,不满足 f(x+y)=f(x)f

(y) ,故 A 错; 3 3 3 B.f(x)=x ,f(y)=y ,f(x+y)=(x+y) ,不满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,故 B 错; C.f(x)= ,f(y)= ,f(x+y)= ,满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,

但 f(x)在 R 上是单调减函数,故 C 错. x y x+y D.f(x)=3 ,f(y)=3 ,f(x+y)=3 ,满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,且 f(x)在 R 上是 单调增函数,故 D 正确; 故选 D. 点评: 本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道 基础题.

9. (5 分)小路、小华与小敏三位同学讨论一道数学题,当他们每个人都把自己的解法说出来 以后,小路说:“我做错了,”小华说:“小路做对了,”小敏说:“我做错了.”老师看过他们的 答案并听了他们以上的陈述之后说:“你们三位同学中只有一人做对了,只有一人说对了.” 那么请问:根据老师的回答,谁做对了呢?() A.小路 B.小华 C.小敏 D.不能确定 考点: 专题: 分析: 解答: 点评: 进行简单的合情推理. 探究型;推理和证明. 由题意,小路说对了,小华、小敏说错了,小敏做对了,即可得出结论. 解:由题意,小路说对了,小华、小敏说错了,小敏做对了,故选:C. 本题考查进行简单的合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

10. (5 分)已知 a=π () A.a<b<c<d

,b=logπ3,c=ln( B.c<d<b<a

﹣1) ,d=logπ C.d<c<b<a

,则 a,b,c,d 的大小关系是 D.d<b<a<c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵c=ln( ﹣1)<0,0<d=logπ = =logπ3<1< ,

∴c<d<b<a. 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 11. (5 分)如图下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其 中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正 确的有()

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 图表型;数形结合. 分析: 结合几何体的结构和题意知,容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快, 再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断.

解答: 解:A、因正方体的底面积是定值,故水面高度的增加是均匀的,即图象是直线型的, 故 A 不对; B、因几何体下面窄上面宽,且相同的时间内注入的水量相同,所以下面的高度增加的快,上 面增加的慢,即图象应越来越平缓,故 B 正确; C、球是个对称的几何体,下半球因下面窄上面宽,所以水的高度增加的越来越慢;上半球恰 相反,所以水的高度增加的越来越快,则图象先平缓再变陡;故 C 正确; D、图中几何体两头宽、中间窄,所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快,则图象先平 缓再变陡,故 D 正确. 故选 A. 点评: 本题考查了数形结合思想, 对于此题没有必要求容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的 函数解析式,因此可结合几何体和图象作定性分析,即充分利用数形结合思想.
x

12. (5 分)已知函数 f(x)=|log3(x﹣1)|﹣( ) ﹣1 有 2 个不同的零点 x1、x2,则() A.x1?x2<1 B.x1?x2=x1+x2 C.x1?x2>x1+x2 D.x1?x2<x1+x2

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将 f(x)=|log3(x﹣1)|﹣( ) ﹣1 有两个零点转化为 y=|log3(x﹣1)|与 y=3
x x


+1 有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图象,得到零点在(1,2)和(2,+∞) ﹣x1 ﹣x2 内,即可得到﹣3 =log3x1 和 3 =log3x2,然后两式相加,即可求得 x1x2 的范围. 解答: 解:f(x)=|log3(x﹣1)|﹣( ) ﹣1 有两个零点 x1,x2, 即 y=|log3(x﹣1)|与 y=3 +1 有两个交点. ﹣x 由题意 x>0,分别画 y=3 +1 和 y=|log3(x﹣1)|的图象, 发现在(1,2)和(2,+∞)有两个交点. 不妨设 x1 在(1,2)里 x2 在(2,+∞)里, ﹣x1 那么 在(1,2)上有 1+3 =﹣log3(x1﹣1) , ﹣x1 即﹣1﹣3 =log3(x1﹣1)…① ﹣x2 在(2,+∞)上有 1+3 =log3(x2﹣1) .…② ﹣x2 ﹣x1 ①、②相加有 3 ﹣3 =log3(x1﹣1) (x2﹣1) , ﹣x2 ﹣x1 ﹣x2 ﹣x1 ∵x2>x1,∴3 <3 ,即 3 ﹣3 <0, ∴log3(x1﹣1) (x2﹣1)<0, ∴0<(x1﹣1) (x2﹣1)<1,∴x1x2<x1+x2, 故选 D.
﹣x

x

点评: 本题主要考查确定函数零点所在区间的方法﹣﹣转化为两个函数的交点问题.函数 的零点等价于函数与 x 轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根,属于中档题. 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)计算: = .

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由(27) =3,log28=3,能求出 的值.

解答: 解: =3+ = . 故答案为: . 点评: 本题考查指数和对数的运算性质和运算法则的应用,是基础题.解题时要认真审题, 仔细解答.

14. (5 分)若 f(x)=x ﹣x

2

,则满足 f(x)<0 的 x 取值范围是(0,1) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: f(x)<0 即为 x < 调性,即可得到解集. 解答: 解:f(x)<0 即为 x <
2 2

,由于 x=0 不成立,则 x>0,考虑平方法,再由幂函数的单



由于 x=0 不成立,则 x>0, 4 再由两边平方得,x <x, 3 即为 x <1 解得 x<1,则 0<x<1, 故解集为: (0,1) . 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查不等式的解法,注意函数的定义域,运用函数的单调性解题,属于基础题. 15. (5 分)由“不超过 x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数,通常记为 y=[x], 例如[1.2]=1,[﹣0.3]=﹣1.则函数 y=2[x]+1,x∈[﹣1,3)的值域为{﹣1,1,3,5}. 考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据[x]=

求解即可.

解答: 解:函数 y=2[x]+1,x∈[﹣1,3)

∵[x]=

∴函数 y=2[x]+1,x∈[﹣1,3)值域为:{﹣1,1,3,5} 故答案为:{﹣1,1,3,5} 点评: 本题考查了函数的概念,y=[x]的意义,属于中档题.

16. (5 分)已知函数 f(x)= 的值为 2. 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

(x∈R)的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m

分析: 由题意,化 f(x)=

=

+1,可知 y=

为 R 上的奇函数,

从而求得 M﹣1 与 m﹣1 互为相反数,从而求得 M+m=2. 解答: 解:f(x)= = +1,

∵y=

为 R 上的奇函数,

∴y=

在 R 上的最大值与最小值互为相反数,

即 M﹣1 与 m﹣1 互为相反数, 即 M﹣1+m﹣1=0, 解得 M+m=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了函数表达式的化简与函数奇偶性的应用,属于中档题. 三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)若集合 M={x|x +x﹣6=0},N={x|ax﹣1=0},且 M∩N=N,求实数 a 的值. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 M 的元素,然后根据 N?M,讨论集合 N 的可能性,最后分别求出每一 种情形下 a 的取值即可. 2 解答: 解:∵M={x|x +x﹣6=0},N={x|ax﹣1=0}且 N?M ∴M={﹣3,2} N=?或{﹣3}或{2} N=?时,a=0 N={﹣3}时,a=﹣ , N={2}时,a= . 点评: 本题主要考查了集合的包含关系判断及应用,本题体现了分类讨论的思想方法,属 于基础题. ,x∈[3,5],
2

18. (12 分)已知函数 f(x)=

(1)用定义法证明函数 f(x)的单调性; (2)求函数 f(x)的最小值和最大值. 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用.

分析: (1)用定义法证明单调性一般可以分为五步,取值,作差,化简变形,判号,下结 论. (2)利用函数的单调性求最值. 解答: 解(1)证明:任取 3≤x1<x2≤5,则 ,

f(x1)﹣f(x2)=



=



∵3≤x1<x2≤5, ∴x1﹣x2<0,x1+1>0,x2+1>0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) , ∴ (2)∵ ∴当 x=3 时,f(x)有最小值 当 x=5 时,f(x)有最大值 f(5)= . 点评: 本题考查了函数单调性的证明及函数单调性的应用,证明一般有两种方法,定义法, 导数法,可应用于求最值.属于基础题. 19. (12 分)若二次函数满足 f(x+1)﹣f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[﹣1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;待定系数法. 2 分析: (1)利用待定系数法求解.由二次函数可设 f(x)=ax +bx+c,由 f(0)=1 得 c 值, 由 f(x+1)﹣f(x)=2x 可得 a,b 的值,从而问题解决; (2)欲使在区间[﹣1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,只须 x ﹣3x+1﹣m>0,也就是要 2 2 x ﹣3x+1﹣m 的最小值大于 0 即可,最后求出 x ﹣3x+1﹣m 的最小值后大于 0 解之即得. 2 解答: 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,由 f(0)=1, 2 ∴c=1,∴f(x)=ax +bx+1 ∵f(x+1)﹣f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x, ∴ ∴f(x)=x ﹣x+1(5 分) 2 (2)由题意:x ﹣x+1>2x+m 在[﹣1,1]上恒成立,
2 2

上是增函数, 上是增函数, ,

即 x ﹣3x+1﹣m>0 在[﹣1,1]上恒成立 其对称轴为 ,∴g(x)在区间[﹣1,1]上是减函数,

2

∴g(x)min=g(1)=1﹣3+1﹣m>0, ∴m<﹣1(10 分) . 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识,考查运算求解能 力、化归与转化思想.属于基础题. 20. (12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当 每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 考点: 根据实际问题选择函数类型;函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题;压轴题. 分析: (Ⅰ)严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可; (Ⅱ)从月租金与月收益之间的关系列出目标函数,再利用二次函数求最值的知识,要注意函 数定义域优先的原则.作为应用题要注意下好结论. 解答: 解: (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时, 未租出的车辆数为 ,

所以这时租出了 88 辆车. (Ⅱ)设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公司的月收益为 整理得 . ,

所以,当 x=4050 时,f(x)最大,最大值为 f(4050)=307050, 即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为 307050 元. 点评: 本题以实际背景为出发点,既考查了信息的直接应用,又考查了目标函数法求最 值. 特别是二次函数的知识得到了充分的考查. 在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表 性的一类问题,非常值得研究.

21. (12 分)已知函数

满足



(1)求常数 c 的值; (2)求使 成立的 x 的取值范围.

考点: 其他不等式的解法;函数的值.

专题: 综合题. 分析: (1)依题意,f(c)= +1= ,可求得常数 c 的值;

(2) 由 (1) 知 c= , 从而 f (x) =

, 分段去解不等式 f (x) >

+1

即可.

解答: 解: (1)因为 f(x)=



∴f(c)=

+1,又 f(c)= ,



= =2 ,

﹣2

∴c= . (4 分) (2)∵c= ,

∴f(x)=

(6 分)

当 0<x< 时,由 f(x)> x+1> 当 得2 +1,从而

+1 得

<x< , (8 分) +1 得

x<1 时,解 f(x)>
﹣4x

+1>

+1,从而 ≤x< , (10 分) <x< 或 ≤x< , (11 分) +1 的解集为{x| <x< }. (12 分)

综上可得, 所以 f(x)>

点评: 本题考查分段函数的应用,考查解不等式的能力,考查分类讨论思想与方程思想的 综合应用,属于难题.

22. (12 分)已知函数 f(x)=log2



(1)判断并证明 f(x)的奇偶性; (2)若关于 x 的方程 f(x)=log2(x﹣k)有实根,求实数 k 的取值范围; (3)问:方程 f(x)=x+1 是否有实根?如果有,设为 x0,请求出一个长度为 的区间(a,b) , 使 x0∈(a,b) ;如果没有,请说明理由. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题. 分析: (1) 先求出函数的定义域, 看是否关于原点对称, 再计算 ( f ﹣x) , 利用
﹣1

= (



可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,从而得到函数为奇函数; =x﹣k 即 k=x﹣ 在(﹣1,1)

(2)方程 f(x)=log2(x﹣k)有实根,也就是方程 内有解,从而得出实数 k 属于函数 y=x﹣ =x+1﹣

在(﹣1,1)内的值域.下面利用

换元法求出其值域即可得到实数 k 的取值范围; (3)设 g(x)=f(x)﹣x﹣1=log2 ﹣x﹣1(﹣1<x<1) .用“二分法”逐步探求,先算区

间(﹣1,1)的中点 g(0)=﹣1<0,由于 g(x)在(﹣1,1)内单调递减,于是再算区间 (﹣1,0)的中点 g(﹣ )=log23﹣ >0,然后算区间(﹣ ,0)的中点 g(﹣ )<0,最 后算区间(﹣ ,﹣ )的中点 g(﹣ )>0. 解答: 解: (1)由 (2') 因为 f(﹣x)+f(x)=log2 +log2 =log2 =log21=0, (4') =x﹣k 即 k=x﹣ 在(﹣1,1) 得﹣1<x<1,所以函数 f(x)的定义域为(﹣1,1) ;

所以 f(﹣x)=﹣f(x) ,即 f(x)是奇函数. (2)方程 f(x)=log2(x﹣k)有实根,也就是方程 内有解, 所以实数 k 属于函数 y=x﹣ =x+1﹣ 在(﹣1,1)内的值域.

(6')

令 x+1=t,则 t∈(0,2) ,因为 y=t﹣ 在(0,2)内单调递增,所以 t﹣ ∈(﹣∞,1) . 故实数 k 的取值范围是(﹣∞,1) . (3)设 g(x)=f(x)﹣x﹣1=log2 因为 log22 , 即 4log2 <3,亦即 log2 < .
3

(8') ﹣x﹣1(﹣1<x<1) . <

,且 y=log2x 在区间(0,+∞)内单调递增,所以 log2

于是 g(﹣ )=log2 ﹣ <0. 又∵g(﹣ )=log2 ﹣ >1﹣ >0.

①(10') ②(12')

由①②可知,g(﹣ )?g(﹣ )<0, 所以函数 g(x)在区间(﹣ ,﹣ )内有零点 x0. 即方程 f(x)=x+1 在(﹣ ,﹣ )内有实根 x0. 又该区间长度为 ,因此,所求的一个区间可以是(﹣ ,﹣ ) . (答案不唯一) (13') (14')

点评: 本题主要考查了函数奇偶性的判断,二分法,以及对数的运算性质,考查运算求解 能力,考查化归与转化思想.属于基础题.属于对数函数的综合题.


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