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【高考】高中数学知识点易错点梳理函数部分 (1)


高中数学知识点易错点梳理函数
C 3.函数图像的对称性 (1)一个函数图像自身的对称性 性质 1:对于函数 y ? f ( x) ,若存在常数 a, b, 使得函数定义域内的任意 x ,都有
f ( a ? x) ? f (b ? x) ,则函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?

a?b 2

对称.

/>
【特例】 ,当 a ? b 时, f (a ? x) ? f (a ? x) ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称. 性质 2:对于函数 y ? f ( x) ,若存在常数 a, b, 使得函数定义域内的任意 x ,都有 ? f (a ? x) ? f (b ? x) ? f ( x ) 的图像关于点 (
a?b 2 , 0) 对称.

【特例】 :当 a ? b 时, f (a ? x) ? ? f (a ? x) ? f ( x) 的图像关于点 ( a, 0) 对称. 事实上,上述结论是广义奇(偶)函数的性质. 性质 3:设函数 y ? f ( x) ,如果对于定义域内任意的 x ,都有
f ( a ? mx) ? f (b ? mx) ( a, b, m ? R, 且m ? 0) ,则 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?

a?b 2



称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数. 性质 4:设函数 y ? f ( x) ,如果对于定义域内任意的 x ,都有
f ( a ? mx ) ? ? f (b ? mx ) ( a, b, m ? R, 且m ? 0) ,则 y ? f ( x) 的图像关于点 (

a?b 2

,0) 对

称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数. 【小结】函数对称性的充要条件 函数关系式( x ? R ) f ( x ) ? ? f ( ? x) f ( x) ? f ( ? x)
f ( x) ? f (2a ? x) 或 f (a ? x) ? f (a ? x)

f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) 或 f (a ? x) ? 2b ? f (a ? x)

对称性 函数 f ( x) 图像是奇函数 函数 f ( x) 图像是偶函数 函数 f ( x) 图像关于直线 x ? a 对 称 函数 f ( x) 图像关于点 P(a, b) 对 称

(2)两个函数图像之间的对称性 1.函数 y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x ) 的图像关于直线 y ? 0 对称. 2.函数 y ? f ( x) 与 y ? f ( ? x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称. 3.函数 y ? f ( x) 与 y ? ? f ( ? x) 的图像关于原点 (0, 0) 对称. 4.函数 y ? f ( a ? mx ) 与 y ? f (b ? mx ) 的图像(a, b, m ? R, m ? 0) 关于直线 x ? 对称.
b?a 2m

1

特别地,函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (b ? x) 的图像关于直线 x ?

b?a 2

对称.

(2010 江苏卷 5) 设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x ? R)是偶函数, 则实数 a=_________ a = ?1

C4.几个函数方程的周期(约定 a ? 0 )
a a ) ? f ( x ? ) ,则 f ( x ) 的周期 T ? a ; 2 2 a a (2)若 f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,或 f ( x ? a) ? 1 ? f ( x) ,或 f ( x ? ) ? ? f ( x ? ) ,或 2 2 1 ? f ( x)

(1)若 f ( x) ? f ( x ? a ) ,或 f ( x ?

f ? x ? a? ? f ? x ? a? ,

或 f ? x ? a? ? ?

1 f ? x?

( f ( x) ? 0) ,则 f ( x ) 的周期 T ? 2a ;

【说明】函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为常数),都有等式 成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.

C5.对称性与周期性的关系(可与三角函数类比) 定理 1:若定义在 R 上的函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? a 和 x ? b (a ? b) 对称, 则 f ( x) 是周期函数,且 2 a ? b 是它的一个周期. 推论 1:若函数 f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) 及 f (b ? x) ? f (b ? x) (a ? b) ,则
f ( x ) 是以 2 a ? b

为周期的周期函数.

定理 2: 若定义在 R 上的函数 f ( x) 的图像关于点 (a, 0) 和直线 x ? b (a ? b) 对称, 则 f ( x) 是周期函数,且 4 a ? b 是它的一个周期. 推论 2:若函数 f ( x) 满足 f (a ? x) ? ? f (a ? x) 及 f (b ? x) ? ? f (b ? x) (a ? b) , 则 f ( x) 是以 4 a ? b 为周期的周期函数. 定理 3:若定义在 R 上的函数 f ( x) 的图像关于点 (a, y0 ) 和 (b, y0 ) (a ? b) 对称, 则 f ( x) 是周期函数,且 2 a ? b 是它的一个周期. 推论 3:若函数 f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2 y0 及 则 f ( x) 是以 2 a ? b 为周期的周期函数. f (b ? x) ? f (b ? x) ? 2 y0 (a ? b) ,

C6. 1、若函数 y ? f ( x ? a) 为偶函数,则函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称. 2、若函数 y ? f ( x ? a) 为奇函数,则函数 y ? f ( x) 的图像关于点 (a, 0) 对称. 3、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 2n
2

个实根,则这 2n 个实根的和为 2na .

C7.关于奇偶性与单调性的关系. ① 如果奇函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, ??? 上是递增的 ,那么函数 y ? f ( x) 在 区间 ? ??,0? 上也是递增的; ② 如果偶函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, ??? 上是递增的,那么函数 y ? f ( x) 在区间

? ??,0? 上是递减的;
C11.函数图像变换(主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等). 1.平移变换 (1)函数 y ? f ( x ? a) 的图象是把 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 a 个单位得到的. (2)函数 y ? f ( x) + a 的图象是把 y ? f ( x) 助图象沿 y 轴向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 a 个单位得到的 2.翻折变换 (1)由 y ? f ( x) 得到 y ?| f ( x) | , 就是把 y ? f ( x) 的图像在 x 轴下方的部分作关于 x 轴 对称的图像,即把 x 轴下方的部分翻到 x 轴上方,而原来 x 轴上方的部分不变. (2)由 y ? f ( x) 得到 y ? f (| x |) ,就是把 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右边的部分作关于 y 轴对称的图像,即把 y 轴右边的部分翻到 y 轴的左边,而原来 y 轴左边的部分去 掉,右边的部分不变. 3.伸缩变换:将 y ? f ( x) 的横坐标变为原来的 a 倍,纵坐标变为原来的 m 倍,
x? 得到 y ? mf ? ? ? ?a? 4.对称变换 (1)函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到;
y轴 y ? f ? x ? ?? ? y ? f (? x )

(2) 函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得 到;
x轴 y ? f ? x ? ?? ? y ? ? f ? x?

(3)函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得 到;
原点 y ? f ? x ? ??? ? y ? ? f (? x )

(4)函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到.
直线y ? x y ? f ? x ? ??? ? ? x ? f ? y?

(5)函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称 即可得到; 直线x ? a y ? f ? x ? ??? ? ? y ? f (2a ? x) . 【注意】 :函数图像平移和伸缩变换应注意的问题
3

(1) 观察变换前后位置变化:.函数图像的平移、伸缩变换中,图像的特殊点、 特殊线也作相应的变换. (2) 观察变换前后量变化:直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为 直线、双曲线、抛物线,但可以改变直线的倾斜角,双曲线的离心率、 抛物线的开口大小及它们的位置; (3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数(正比例函数、反比例函数、 一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数 y ? x ? k ? k ?0? ”及函数 y ? x ? k ? k ? 0? 等)相互转化. x x (4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的 特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系. 12、求一个函数的解析式时,你标注了该函数的定义域了吗? 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗? (1)函数 y=
x(4 ? x) lg(x ? 3) 2

的定义域是



复合函数的定义域弄清了吗? ( 2 )函数
f ( x)

的定义域是 [0,1], 求
f ( x) ? f (? x)

f (log 0.5 x ) 的定义域 .

函数

f ( x)

的定义域是

[ a , b ], b ? ? a ? 0, 求函数 F ( x ) ?

的定义域

14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。 (3)若函数 y=asin2x+2cosx-a-2(a∈R)的最小值为 m, 求 m 的表达式

17、 判断一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个 必要非充分条件了吗? 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函 数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 18、 根据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值, 作差, 判正 负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。 a ?a ? 0? 的 单 调 区 间 吗 ? ( 该 函 数 在 ? ?,? a 和 19、 你 知 道 函 数 y ? x ? x

?

?

? a ,???上单调递增;在 ??

a ,0 和 0, a 上单调递减)这可是一个应用广泛

? ?

?

的函数! 20、 解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于 零,底数大于零且不等于 1)字母底数还需讨论呀. 21、 对 数 的 换 底 公 式 及 它 的 变 形 , 你 掌 握 了 吗 ? ( loga b ?

logc b , loga n b n ? loga b ) logc a

4

22、 23、

你还记得对数恒等式吗?( a loga b ? b ) “ 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 有 实 数 解 ” 转 化 为

“ ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ” ,你是否注意到必须 a ? 0 ;当 a=0 时, “方程有解”不 能转化为 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 .若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等 式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形? 例如: A3.幂函数的的性质及图像变化规律: (1) 所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图像都 过点 (1,1) ; (2) a ? 0 时,幂函数的图像通过原点,并且在区间 [0, ??) 上是增函数.特别地,当 a ? 1时,幂函数 的图像下凸;当 0 ? a ? 1 时,幂函数的图像上凸; (3) a ? 0 时,幂函数的图像在区间 (0, ??) 上是减函 数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图 像在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ?? 时,图像在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
2 3

y
y?x
2

y?x

3

1

y ? x2

1

y?

1 x

O

1

x

【说明】 :对于幂函数我们只要求掌握 a ? 1, 2,3, 1 , 1 的这 5 类,它们的图像都经 过一个定点(0,0)和(0,1),并且 x ? ?1 时图像都经过(1,1),把握好幂函数在第一象 限内的图像就可以了.

5


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