高中数学完整讲义——解三角形2.解三角形综合

高中数学讲义

板块二.解三角形综合

典例分析
【例1】 E ， F 是等腰直角 △ ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan ∠ECF ?

A．

16 27

B．

2 3

C．

3 3

D．

3 4

【例2】 在 △ ABC 中， D 为边 BC 上一点， BD ?

1 DC ， ?ABC ? 120? ， AD ? 2 ，若 △ ADC 的面积 2

为 3 ? 3 ，则 ?BAC ?

.

【例3】 在 ?ABC 中，若 b ? 1 ， c ? 3 ， ?C ?

2π ，则 a ? 3

．

【例4】 在 △ ABC 中， 内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ， 若 a2 ? b2 ? 3bc ，sin C ? 2 3 sin B ，

则 A? A． 30 ? B． 60 ? C． 120? D． 150?

【例5】 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为

A．不能作出这样的三角形 C．作出一个直角三角形

1 1 1 ， ， （ ） 13 11 5 B．作出一个锐角三角形 D．作出一个钝角三角形

b， C 所对的边， b ? 3 ，A ? C ? 2 B ， 【例6】 已知 a ， 若 a ?1 ， c 分别是 △ ABC 的三个内角 A ，B ，

则 sin C ?

．

【例7】 在 △ ABC 中， a ? 15 ， b ? 10 ?A ? 60? ， ，则 cos B ?

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能力的飞跃

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A． ?
2 2 3

B．

2 2 3

C．

6 3

D． ?

6 3

【例8】 在锐角 △ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ．若

b a t a n C t a n 则 ? ? 6c o s C， ? a b t a n A t a n

C B

的值是

．

【例9】 设 △ ABC 是锐角三角形， a ， b ， c 分别是内角 A ， B ， C 所对边长，并且
?π ? ?π ? sin 2 A ? sin ? ? B ? sin ? ? B ? ? sin 2 B ． 3 3 ? ? ? ?

⑴求角 A 的值； ⑵ AB ? AC ? 12 ， a ? 2 7 ，求 b ， c （其中 b ? c ） ．
【例10】 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H (单位 m） ， 如示意图， 垂直放置的标杆 BC 高度 h ? 4m ，

仰角 ?ABE ? ? ， ?ADE ? ? ⑴ 该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值， tan ? ? 1.24 ， tan ? ? 11.20 ，请据此算出 H 的值； ⑵ 该小组分析若干测得的数据后， 发现适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位 m） ， 使? 与 ? 之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为 125m ，试问 d 为多少时， a ? ? 最 大？
E C D βB α d A

C 的对边， a， b， c 分别为内角 A ， 【例11】 在 △ ABC 中， 且 2a sin A ? ? 2b ? c ? sin B ? ? 2c ? b ? sin C ． B，

⑴求 A 的大小； ⑵求 sin B ? sin C 的最大值．
【例12】 已知 △ ABC 的内角 A ， B 及其对边 a ， b ．满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ，求内角 C ．

【例13】 △ ABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD ? 33 ， sin B ?

5 3 ， cos ?ADC ? ，求 AD ． 13 5

【例14】 如图， A ， B 是海面上位于东西方向相聚 5 3 ? 3 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东
45 ? ，B 点北偏西 60 ? 的 D 点有一艘轮船发出求救信号， 位于 B 点南偏西 60 ? 且与点 B 相距

?

?

20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救， 其航行速度为 30 海里/小时， 该救援船达到 D 点

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能力的飞跃

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需要多长时间？

北 A

D 45? 60? 60? 北 B

C

1 【例15】 在 △ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 cos 2C ? ? ． 4 ⑴求 sin C 的值；

⑵当 a ? 2 ， 2 sin A ? sin C 时，求 b 及 c 的长．

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