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2014年全国高中数学青年教师展评课:平面与平面垂直的判定教学设计(陕西祁县中学赵乾坤)


2.3.2 平面与平面垂直的判定
山西省祁县中学校 赵乾坤 【教学内容分析】本节课是高中数学人教 A 版必修二第二章“点、直线、平面之 间的位置关系”第三节“线、平面垂直的判定及其性质”第 3 课时。前两节分别 学习了“线面垂直的判定”和“直线和平面所成角” 。面面垂直是垂直关系中的重 点,是“转化”思想的又一重要体现。平面与平面垂直需要“二面角”的概念, 二面角定量地

反映了两个平面相交的位置关系,但是如何来度量二面角的大小是 一个难点。根据“异面直线所成角”和“直线与平面所成角”的学习经验,自然 想到用“平面化”的思想,进而给出二面角的平面角的概念。面面垂直是面面相 交的特殊情况,生活中面面垂直的例子大量存在,引导学生观察、结合大量实例, 再类比归纳平面与平面平行的判定定理的过程,自然地就获得了面面垂直的判定 定理。 【学情分析】听课学生是我校高二年级 340 班,共有 60 名学生。这是一个高二理 科班,班内不乏年级前十名的学生,基础相对扎实。在本节课之前,学生已经学 习了人教 A 版必修 1、3、4、5 的全部课程。在必修 2 中从前面线面平行、面面平 行、线面垂直等知识的学习过程中,已经把握了学习研究立体几何的一般方法— —平面化,对线线、线面、面面间关系的转化也已经比较熟练,因此学习本节知 识不会有太大困难。 【教学目标】 1、知识与技能 (1)理解二面角的有关概念; (2)理解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直 关系; (3)熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化. 2、过程与方法 : 在观察物体模型直观感知、操作确认的基础上,通过对几个递 进式问题的思考和探究获得对二面角的平面角及面面垂直的认识; 3、情感、态度与价值观 :通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空 间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 【教学重点】平面与平面垂直的判定定理及其应用。

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【教学难点】 二面角的平面角概念。 【教学策略分析】本节课采用问题导学的方法,整节课提出 6 个简短而直击要害 的问题,激发学习兴趣,调动学生思维。严格遵循“直观感知—操作确认—思辨 论证—度量计算”的认识过程展开知识内容。充分利用“观察” 、 “思考” 、 “探究” 等,强调几何直觉,把空间观念的建立和空间想象能力的培养放到突出的位置。 此外,教学中注重发展合情推理,降低证明要求,渗透公理化思想。 【教学过程】 情境激趣,问题导入; 空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行,我们已作了全 面的研究,对于两个平面相交,我们应从理论上有进一步的认识. 观察教室的墙面和地面,相邻两个墙面,打开的门和墙面,翻开的书的两页 纸,都能给我们两平面相交的直观感觉,但是所涉及的两个平面的相对位置又不 尽相同。我们该如何来刻画两个相交平面的相对位置呢?

实际上,两个平面相交时,他们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定。 为了解决实际问题,人们需要研究两个平面所称的角,如修筑水坝时,为了使水 坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度;发射人造地球卫星时,也要 根据需要,使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。

水坝坡面

水平面

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目标引领,自主学习;

问题 1

在平面几何中“角”是怎样定义的?构成角的基本要素有几

个?类比平面内“角”的定义,在空间立体几何中,我们可以如何定 义二面角?用你自己的话说一说。
(让学生根据自己的想象,类比平面内角的定义写出自己的想法。然后收集学生 的想法,展示、比较、梳理,看哪些更合理。 )

问题 2 我们已经掌握了空间中角的本质特征,它的定义是什么呢? 请同学们阅读教材第 68 页第一自然段,然后在练习本上默写出定义, 再分别用图形语言和符号语言表示二面角。
难点突破,合作探究;

你能举出一些生活中二面角的图形例子吗?

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问题 3 我们看到,各二面角的开口程度不同,我们常说“把门开大些” ,是指哪
个角开大一些?如何度量二面角的大小呢?类比在异面直线所成的角、直线

与平面所成的角的研究方法,应该如何研究这个问题呢?写出你的研 究方法.
(让学生思考、猜想,然后小组比较、交流,选择合理的方案,并引导解决“唯 一性”等学生怀疑的问题。 )

问题 4

二面角的平面角的定义是什么?取值范围是什么?其中有哪

些特殊角?类比两条直线互相垂直,如何定义两个平面互相垂直呢?请你 阅读教材第 68 页二、三自然段,理解并记忆相关的知识。
二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射 线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

A O B

二面角的平面角必须满足: ①角的顶点在棱上;②角的两边分别在两个面内; ③角的边都要垂直于二面角的棱; 二面角的平面角大小与点 O 在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关。 二面角是用它的平面角来度量的,一个二面角的平面角多大,就说这个二面角是 多少度的二面角。 一、说明: (1)当二面角的两个半平面重合时,规定二面角的大小为 0°;当 二面角的两个半平面展开合成一个平面时,规定二面角的大小为 180°; (2)二面角的范围:[ 0o, 180o ]. 平面角是直角的二面角叫做直二面角;

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定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个 平面互相垂直。 (让学生举出一些生活中面面垂直的实例,并提醒学生定义本身就是判定两个平 面互相垂直的一种方法即:找出并计算二面角的平面角等于 90o 。 )

问题 5

现在我们可以用二面角的大小判断两个平面是否垂直, 但是操

作性比较差,还能如何判定两个平面互相垂直呢?类比空间中线面垂 直的研究思路,结合对下面实例的分析,提出你的猜想。
1.教室的相邻两个墙面都和教室地面垂直,两相邻墙面有什么共同特征? 2.打开的书本立在桌面上时,相邻页面和桌面垂直,页面有何共同特征? 3.教室的门面不论转动到什么位置都有门面垂直于地面,门面转动过程中保持了 哪一个特征呢? 4.建筑工人如何检测所砌的墙面和地面是否垂直呢?

【设计意图】引导学生观察、联系、发现问题中面面垂直的共同特征即:其中一 个平面过另外一个平面的一条垂线。再类比归纳平面与平面平行的判定定理的过 程,从而大胆提出猜想:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个 平面互相垂直。

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操作确认 根据上面猜想,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,侧面 A1 ADD 1 过底面 ABCD 的一条垂线
A1 A ,从而应有 平 面 A1 ADD 面 ABCD ,你能找到二面角 A1 ? AD ? B 的平面角 1 ?平

加以确认吗?

D1 A1 B1 D A B

C1

C

问题 6 平面与平面垂直的判定定理是什么?请你用文字语言、图形语 言、符号语言分别表示。应用这个定理判断面面垂直的基本思路是什 么?其中蕴含的基本思想是什么?

练习 1: 如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面于 A,C 是圆 O 上不同 于 A、B 的任意一点. 求证:平面 PAC⊥平面 PBC

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面 BCD ,BC ? CD , 练习 2: 已知 AB ? 平 (1) 图中哪些平面互相垂直,为什么? (2)

作出图中二面角的平面角。
A

B C

D

【设计意图】1、进一步强化面面垂直判定定理的应用; 2、为下一节求二面角的 平面角作铺垫。

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【课堂小结】 1.概念 ? 二面角 ? 二面角的平面角 ? 两个平面互相垂直 2.平面与平面垂直的判定方法 ? 定义法 ? 平面与平面垂直的判定定理 3.数学思想方法 (1)类比法 ? 类比平面内角的概念定义二面角 ? 类比两直线垂直定义两平面垂直 ? 类比面面平行判定定理归纳过程归纳面面垂直判定定理 (2)转化思想 ? “面面垂直”转化为“线面垂直” ? “空间问题”转化为“平面问题” 【板书设计】

§2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的有关概念 2、平面与平面垂直的判定 例3 随堂练习 课堂小结 课后作业

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