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一元二次方程根的分布


潮阳一中明光学校文科数学学案

张盛武

一元二次方程根的分布
一.知识要点
二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根从几何意义上来说就是抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴交点的横坐标, 所 以研究方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的实根的情况,可从 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象上进行研究. 若在 ( ?? , ?? ) 内研究方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的实根情况, 只需考察函数 y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴交点个数 及交点横坐标的符号,根据判别式以及韦达定理,由 y ? ax 2 ? bx ? c 的系数可判断出 ? , x 1 ? x 2 , x 1 x 2 的符 号,从而判断出实根的情况. 若在区间 ( m , n ) 内研究二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ,则需由二次函数图象与区间关系来确定.

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 况 布 情 大 致 图 象 (
a ? 0

两个负根即两根都小于 0

两个正根即两根都大于 0

一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x 2 ?

? x1

? 0, x 2 ? 0 ?

? x1

? 0, x 2 ? 0 ?

) 得 论 出 的 结 大 致 图 象 (
a ? 0
? ? ?0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?
? ? ?0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

f ?0 ? ? 0

) 得 出 的 结 论 ( 不 综 讨 合 论 结 a 论 )
? ? ?0 ? b ? ?0 ?? 2a ? ? f ?0? ? 0 ?
? ? ?0 ? ? b ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

f ?0 ? ? 0

? ?0 ? ? b ? ?0 ? ? 2a ? ?a ? f ?0? ? 0 ?

? ?0 ? ? b ? ?0 ? ? 2a ? ?a ? f ?0? ? 0 ?

a ? f ?0 ? ? 0

1

潮阳一中明光学校文科数学学案

张盛武

表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况

两根都小于 k 即
x1 ? k , x 2 ? k

两根都大于 k 即
x1 ? k , x 2 ? k

一个根小于 k ,一个大于 k 即
x1 ? k ? x 2

大 致 图 象 (
a ? 0

k k k



得 出 的 结 论

? ? ?0 ? b ? ? k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

? ? ?0 ? b ? ? k ?? 2a ? ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

大 致 图 象 (
a ? 0



得 出 的 结 论

? ? ?0 ? b ? ? k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ? ?0 ? ? b ? k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论
a

? ?0 ? ? b ? ? k ? ? 2a ? ?a ? f ?k ? ? 0 ?

? ?0 ? ? b ? ? k ? ? 2a ? ?a ? f ?k ? ? 0 ?

a ? f ?k ? ? 0



2

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张盛武

表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ? m , n ? 内 两根有且仅有一根在 ? m , n ? 内 一根在 ? m , n ? 内, 另一根在 ? p , q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

大 致 图 象 (
a ? 0



得 出 的 结 论

? ? ?0 ? f ?m ? ? 0 ? ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ? n 2a ? ?

f ?m ? ? f ?n ? ? 0

? ? ? ? ? ? ?

f ?m ? ? 0 f ?n? ? 0 f

? p? ?

0

或?

? f ?m ? f ?n? ? 0 ? ? f ?

? p? f ?q? ?

0

f ?q? ? 0

大 致 图 象 (
a ? 0



得 出 的 结 论

? ? ?0 ? f ?m ? ? 0 ? ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ? n 2a ? ?

f ?m ? ? f ?n ? ? 0

? ? ? ? ? ? ?

f ?m ? ? 0 f ?n? ? 0 f

? p? ?

0

或?

? f ?m ? f ?n? ? 0 ? ? f ?

? p? f ?q? ?

0

f ?q? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论
a

f ?m ? ? f ?n ? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0 ?



3

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张盛武

根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ? m , n ? 外,即在区间两侧 x1 ? m , x 2 ? n , (图形分别 如下)需满足的条件是

(1) a ? 0 时, ?

?f ? ?f ?

?m ? ? ?n? ?

0 0



(2) a ? 0 时, ?

?f ? ?f ?

?m ? ? ?n? ?

0 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ? m , n ? 内有以下特殊情况:
1?

若 f ? m ? ? 0 或 f ? n ? ? 0 ,则此时 f ? m ? ? f ? n ? ? 0 不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为

m 或 n ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间 ? m , n ? 内,从而可以求出参数的值。如方程

mx ? ?m ? 2? x ? 2 ? 0
2







, ?1 ?

3 上
2 m






2 m


2 3





f ?1 ? ? 0







m
2?

2

x ? ?

2? ? m

2x ??

?? 1x ? ?

m ? 2 x ? ,另一根为

,由 1 ?

?3得

? m ? 2 即为所求;

方程有且只有一根,且这个根在区间 ? m , n ? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数的值,然后再

将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程
x ? 4 m x ? 2 m ? 6 ? 0 有且一根在区间 ? ? 3, 0 ? 内,求 m 的取值范围。分析:①由 f ? ? 3 ? ? f ? 0 ? ? 0 即
2

?1 4 m ? 1 5 ? ? m ? 3 ? ? 0 得出 ? 3 ?

m ? ?

15 14

;②由 ? ? 0 即 1 6 m ? 4 ? 2 m ? 6 ? ? 0 得出 m ? ? 1 或 m ?
2

3 2



当 m ? ? 1 时,根 x ? ? 2 ? ? ? 3, 0 ? ,即 m ? ? 1 满足题意;当 m ? 足题意;综上分析,得出 ? 3 ? m ? ?
15 14

3 2

时,根 x ? 3 ? ? ? 3, 0 ? ,故 m ?

3 2

不满

或 m ? ?1

4

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张盛武

二.例题选讲
(1)两个根在实数 k 的同一侧 例 1.已知方程 4 x ? 2 ( m ? 1) x ? ( 2 m ? 3 ) ? 0 ( m ? R ) 有两个负根,求 m 的取值范围.
2

变式 1:已知方程 2 x ? ? m ? 1 ? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。
2

变式 2:已知二次方程 mx 2 ? ( 2 m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 的两个根都小于 1,求 m 的取值范围.

(2)两个根在实数 k 的异侧 例 2:已知二次方程 ? 2 m ? 1 ? x ? 2 m x ? ? m ? 1 ? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。
2

变式 1: 已知二次函数 y ? ? m ? 2 ? x ? ? 2 m ? 4 ? x ? ? 3 m ? 3 ? 与 x 轴有两个交点, 一个大于 1, 一个小于 1,
2

求实数 m 的取值范围。

变式 2:求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x ? 2 ( m ? 1) x ? 2 m ? 6 ? 0 .
2

(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小. (2)有两个实根 ? , ? ,且满足 0 ? ? ? 1 ? ? ? 4 . (3)至少有一个正根.

5

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变式 3:如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求 m 的取值范 围.

(3)在区间 ( m , n ) 有且只有一个实根 例 3.已知二次方程 m x ? ? 2 m ? 3 ? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。
2

变式:已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区 间(1,2)内,求 m 的范围.

(4)在区间 ( m , n ) 有两个实根 例 4: 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

变式 1:已知方程 2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0 的两个根在-3 与 3 之间,求 a 的取值范围.

变式 2:已知方程 x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于( -3, 3),且其中至少有一个根小于 1,求 m 的取 值范围.

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(5)在区间 [ m , n ] 有实根
1 例 5.已知 a 是实数,函数 f ( x ) ? 2 a x ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x ) 在区间 ? ? 1,? 上有零点,求 a 的
2

取值范围.

(6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况,在其它的一些场合下也可以适 当运用. 例 6.1.求函数 y = x+1 (1<x<2)的值域. x2-3x+2

例 6.2.已知抛物线 y = 2x2-mx+m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段(除去两个端点)有公共 点,求 m 的取值范围.

例 6.3.设关于 x 的方程 4 ? 2
x

x ?1

? b ? 0 ( b ? R) ,

(1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。

变式:已知方程 m ? 2 2 x ? ( 2 m ? 1) ? 2 x ? m ? 0 在 (?? , 1) 上有两个根,求 m 的取值范围.

7

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张盛武

三.巩固练习
1.已知二次方程 ( 3 m ? 1) x 2 ? ( 2 m ? 3 ) x ? m ? 4 ? 0 有且只有一个实根属于( -1, 1),求 m 的取值范围.

2.已知二次方程 ( 2 m ? 1) x 2 ? 2 mx ? ( m ? 1) ? 0 有且只有一个实根属于(1,2) ,且 x ? 1, x ? 2 都不是方程 的根,求 m 的取值范围.

3.已知二次方程 ( m ? 1) x 2 ? ( 3 m ? 4 ) x ? ( m ? 1) ? 0 的两个根都属于(–1,1) ,求 m 的取值范围.

4.若关于 x 的方程 x2+(a-1)x+1=0 有两相异实根,且两根均在区间[0,2]上,求实数 a 的取值范围.

8

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张盛武

答案: 二.例题选讲
(1)两个根在实数 k 的同一侧 例 1.已知方程 4 x ? 2 ( m ? 1) x ? ( 2 m ? 3 ) ? 0 ( m ? R ) 有两个负根,求 m 的取值范围.
2

解:依题意有
? ? ? 4 ( m ? 1) 2 ? 4 ? 4 ( 2 m ? 3 ) ? 0 ? ? ( m ? 1) ? 0 ? ? 2m ? 3 ? 0 ?
2

? m ? 11 .

变式 1:已知方程 2 x ? ? m ? 1 ? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。 解:由
? ?0 ? ? ? ? ? m ? 1? ?0 ?? 2 ?2 ? f ?0? ? 0 ? ?

?

? ? m ? 1? 2 ? 8 m ? 0 ? ? m ? ?1 ? ? m ?0 ?

? m ? 3 ? 2 2或 m ? 3 ? 2 2 ? ? m ?0 ? ?

?

0 ? m ? 3 ? 2 2 或 m ? 3 ? 2 2 即为所求的范围。

变式 2:已知二次方程 mx 2 ? ( 2 m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 的两个根都小于 1,求 m 的取值范围. 解一:二次方程两个根都小于 1,其充要条件为
? ? ( 2 m ? 1) 2 ? 4 m ( m ? 2 ) ? 0 ? ? m [ m ? ( 2 m ? 1) ? m ? 2 ] ? 0 ? 2m ? 1 ?? ?1 2m ? (1) (2) (3)
3? 4 7 3? 4 7 , ?? ) .

(1)即为 8 m 2 ? 12 m ? 1 ? 0 ,它的解集是 ( ?? ,
1

]?[

(2)即为 m ( 2 m ? 1) ? 0 ,它的解集是 ( ?? , ? ) ? ( 0 , ?? ) .
2

(3)的解集是 ( ?? , 0 ) ? ( , ?? ) .
4

1

所以, m 的取值范围是 ( ?? , ? ) ? [
2

1

3? 4

7

, ?? ) .

解二:二次方程 mx 2 ? ( 2 m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有两个根的充要条件是 ? ? 0 . 设两根为 x 1 , x 2 ,由于 x 1 , x 2 都小于 1,即 x 1 ? 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 ,其充要条件为:
? ( x 1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? 0 ? ? ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0

9

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张盛武


? x1 ? x 2 ? 2 ? 0 ? ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0

因此,方程两个根都小于 1 的充要条件是:
? ? ( 2 m ? 1) 2 ? 4 m ( m ? 2 ) ? 0 ? ? 2m ? 1 ?2?0 ? ? m 2m ? 1 ?? m ? 2 ? ?1? 0 ? m m ?

以下同解法一(略) . 解三:令 y ? x ? 1 ,原方程转化为 m ( y ? 1) 2 ? ( 2 m ? 1)( y ? 1) ? m ? 2 ? 0 ,即
my
2

? ( 4 m ? 1) y ? 2 m ? 1 ? 0

(*)

因为原方程两根都小于 1,所以方程(*)的两个实根都小于 0,其充要条件是:
? ?? ? 0 ? ? 4m ? 1 ?0 ?? m ? ? 2m ? 1 ?0 ? ? m

同样可求出 m 的取值范围(略) . (2)两个根在实数 k 的异侧 例 2:已知二次方程 ? 2 m ? 1 ? x ? 2 m x ? ? m ? 1 ? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。
2

解:由

,从而得 ? ? 2 m ? 1 ? ? f ? 0 ? ? 0 即 ? 2 m ? 1? ? m ? 1 ? 0 ?
2

1 2

? m ? 1 即为所求的范围。

变式 1: 已知二次函数 y ? ? m ? 2 ? x ? ? 2 m ? 4 ? x ? ? 3 m ? 3 ? 与 x 轴有两个交点, 一个大于 1, 一个小于 1, 求实数 m 的取值范围。 解:由

? m ? 2 ? ? f ?1 ? ? 0 即 ? m ? 2 ? ?? 2 m ? 1 ? ? 0
2

?

?2 ? m ?

1 2

即为所求的范围。

变式 2:求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x ? 2 ( m ? 1) x ? 2 m ? 6 ? 0 . (1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小. (2)有两个实根 ? , ? ,且满足 0 ? ? ? 1 ? ? ? 4 . (3)至少有一个正根. 解:设 y ? f ( x ) ? x ? 2 ( m ? 1) x ? 2 m ? 6 .
2

(1) 依题意有 f ( 2 ) ? 0 ,即 4 ? 4 ( m ? 1) ? 2 m ? 6 ? 0 ,得 m ? ? 1 .

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张盛武

(2) 依题意有
? f (0) ? 2 m ? 6 ? 0 ? ? f (1) ? 4 m ? 5 ? 0 ? f ( 4 ) ? 10 m ? 14 ? 0 ?
7 5 5 4

解得: ?

? m ? ?



(3)方程至少有一个正根,则有三种可能:
? ? ? 0 ? m ? ? 1或 m ? 5 ? ? ? m ? ?3 ? ?3 ? m ? ?1 . ①有两个正根,此时可得 ? f ( 0 ) ? 0 ,即 ? ? ? 2 ( m ? 1) m ?1 ? ? 0 ? ? ?2

②有一个正根,一个负根,此时可得 f ( 0 ) ? 0 ,得 m ? ? 3 .
? 6 ? 2m ? 0 ? 2 ( m ? 1) ? 0

③有一个正根,另一根为0,此时可得 ?

? m ? ?3 .

综上所述,得 m ? ? 1 . 变式 3:如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求 m 的取值范 围. 解:∵f(0)=1>0 (1)当 m<0 时,二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧,符合题意.
?? ? 0 ? (2)当 m>0 时,则 ? 3 ? m 解得 0<m≤1 ? 0 ? ? m

综上所述,m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0}.

(3)在区间 ( m , n ) 有且只有一个实根 例 3.已知二次方程 m x ? ? 2 m ? 3 ? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。
2

解: 由题意有方程在区间 ? 0 ,1 ? 上只有一个正根, f ? 0 ? ? f ? 1 ? ? 0 ? 则

4 ?? 3 m ? 1 ? ? 0 ?

m ? ?

1 3



为所求范围。 变式:已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区 间(1,2)内,求 m 的范围. 解:条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,则

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? ?m (0) ? 2 m ? 1 ? 0, ? ?m ( ? 1) ? 2 ? 0 , ? ? ? (1) ? 4 m ? 2 ? 0 , ?m ? (2) ? 6m ? 5 ? 0 ? m ? ?

张盛武

? ?

1 2

? ? ? ? ? ? ?

f f f f

? R, ? ? ? ?
5 6

1 2 5 6

? ?
,

5 6

? m ? ?

1 2



∴实数 m 的范围是 ( ? (4)在区间 ( m , n ) 有两个实根

,?

1 2

).

例 4: 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 解 : 据 抛 物 线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴 交 点 落 在 区 间 (0 , 1) 内 , 列 不 等 式 组
1 ? ?m ? ? 2 , ? f (0 ) ? 0, ? ? 1 ? ? f (1 ) ? 0 , ? ?m ? ? , ? 2 ? ? ? ? 0, ? m ? 1 ? 2或 m ? 1 ? ?0 ? ? m ? 1 ? ? ?? 1 ? m ? 0.

? 2,

1 <m≤1- 2 , 2

∴ 实数 m 的范围是 ( ?

1 2

,1 ?

2].

变式 1:已知方程 2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0 的两个根在-3 与 3 之间,求 a 的取值范围. 解:设 f(x) = 2x2 – 2(2a-1)x + a+2,则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为 △ ≥0 4(2a-1)2 – 8(a+2)≥0 f(-3)>0 18+6(2a-1)+a+2>0 f(3)>0 18-6(2a-1)+a+2>0 ? 2a-1 2a-1 -3< <3 -3< <3 2 2

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

?-

14 3- 21 3+ 21 26 <m≤ 或 ≤m< . 13 4 4 11 14 3- 21 3+ 21 , ] ∪[ 13 4 4 , 26 ). 11

故 a 的取值范围是 (-

变式 2:已知方程 x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于( -3, 3),且其中至少有一个根小于 1,求 m 的取 值范围. 解:原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0,所以方程两根分别为-1, 2-3m,而-1 在(-3,1)上,则由题意,另一根满 足 -3<2-3m<3 ? 1 5 <m< . 3 3

(6)在区间 [ m , n ] 有实根
1 例 5.已知 a 是实数,函数 f ( x ) ? 2 a x ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x ) 在区间 ? ? 1,? 上有零点,求 a 的
2

取值范围. 解析 1:函数 y
? f ( x ) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x ) ? 2 ax ? 2 x ? 3 ? a
2

=0 在[-1,1]上有解,

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f ( ? 1) ? f (1) ? 0

a=0 时 , 不 符 合 题 意 , 所 以 a≠0, 方 程 f(x)=0 在 [-1 , 1] 上 有 解 <=>
? a f ( ? 1) ? 0 ? a f (1) ? 0 ? ?3 ? ? ? ? ? 4 ? 8 a (3 ? a ) ? 0 ? 1 ? a ? 5 或 a ? 2 ? 1 ? ? ? [ ? 1 .1] ? a ?



7

或a

?5 ? a ?

?3 ? 2

7

或 a≥1.

所以实数 a 的取值范围是 a

?

?3 ? 2

7

或 a≥1.

解析 2:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,又 ∴
f ( x ) ? 2 ax ? 2 x ? 3 ? a
2

=0 在[-1,1]上有解, ?
y ? 2x ?1
2

(2 x ? 1) a ? 3 ? 2 x
2

在[-1,1]上有解 ?

1 a

?

2x ?1
2

3 ? 2x

在[-1,1] ,

上有解,问题转化为求函数
2

3 ? 2x

[-1 , 1] 上 的 值 域 ; 设 t=3-2x , x∈[-1 , 1] , 则

2x ? 3 ? t

t∈[1,5], y 设 g (t ) ?

?

1 ( t ? 3) ? 2 1 7 ? ? (t ? ? 6 ) 2 t 2 t 7 t . g '( t ) ? t ?7
2

, ,此函数 g(t)单调递减,t ? (
2

t?

t

2

,t ? [1,

7 ) 时, g '( t ) ? 0

7 , 5] 时, g '( t )
1 a

>0,此函数 g(t)

单调递增, 的取值范围是 [ ∴y 或a
? ? 3? 2 7

7 ? 3,1] , f ( x ) ? 2 ax ? 2 x ? 3 ? a ∴

=0 在[-1, 1]上有解?

∈[

7 ? 3,1] ? a ? 1



(6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况,在其它的一些场合下也可以适 当运用. 例 6.1.求函数 y = x+1 (1<x<2)的值域. x2-3x+2

解:原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=0, ① 由题意,关于 x 的方程①在(1,2)上有实根. 易知 y<0, 令 f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1,则 f(1)= -2<0, f(2)= -3<0,所以方程①在(1,2)上有实根当且仅当

? △ ≥0 ? 1<3y+1 <2 ,解得 y≤-5-2 6 . ? 2y
∴ 原函数的值域为 (-?, -5-2 6 ]. 例 6.2.已知抛物线 y = 2x2-mx+m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段(除去两个端点)有公共 点,求 m 的取值范围. 解:以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为 y=x,代入抛物线方程得: x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ① 由题意,方程①在区间(0, 1)上有实根,令 f(x) = 2x2-(m+1)x+m,则当且仅当 △ ≥0 2 m+1 ? m -6m+1≥0 0< <1 4 f(0)· f(1)<0 或 ? m<0 或 ? -1<m<3 ? m≤3-2 2 且 m≠0. ? m>0 f(0)>0 f(1)>0

? ? ? ? ?

13

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故 m 的取值范围为 (-?, 0)∪(0, 3-2 2 ]. 例 6.3.设关于 x 的方程 4 ? 2
x x ?1

? b ? 0 ( b ? R) ,

(1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。 分析:可用换元法,设 2 ? t ,原方程化为二次方程 t ? 2 t ? b ? 0 ,但要注意 t ? 0 ,故原方程有解并不
x 2

等价于方程 t ? 2 t ? b ? 0 有解,而等价于方程 t ? 2 t ? b ? 0 在 ( 0 , ?? ) 内有解.另外,方程有解的问题
2 2

也可以通过参变分离转化为求值域的问题,它的原理是:若关于 x 的方程 a ? f ( x ) 有解,则 a ? f ( x ) 的 值域. 解: (1)原方程为 b ? 4 ? 2
x x ?1


x

?4 ?2
x

x ?1

? (2 ) ? 2 ? 2
x 2

? ( 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 ,
x 2

? 当 b ? [ ? 1, ?? ) 时方程有实数解;

(2)①当 b ? ? 1 时, 2 ? 1 ,∴方程有唯一解 x ? 0 ;
x

②当 b ? ? 1 时,? ( 2 ? 1) ? 1 ? b ? 2 ? 1 ? 1 ? b .
x 2 x

?2

x

? 0 ,1 ?

1 ? b ? 0 ,? 2

x

?1?

1 ? b 的解为 x ? log 2 (1 ?

1? b);

令1 ? 1 ? b ? 0 ?
? 当 ? 1 ? b ? 0时 , 2
x

1 ? b ? 1 ? ? 1 ? b ? 0, ?1? 1 ? b 的解为 x ? log 2 (1 ? 1? b) ;

综合①、②,得 1)当 ? 1 ? b ? 0 时原方程有两解: x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ; 2)当 b ? 0 或 b ? ? 1 时,原方程有唯一解 x ? log 2 (1 ? 1 ? b ) ; 3)当 b ? ? 1 时,原方程无解。 变式:已知方程 m ? 2 2 x ? ( 2 m ? 1) ? 2 x ? m ? 0 在 (?? , 1) 上有两个根,求 m 的取值范围. 解:令 t ? 2 x ,当 x ? (?? , 1) 时, t ? ( 0 , 2 ) . 由于 t ? 2 x 是一一映射的函数,所以 x 在 (?? , 1) 上有两个值,则 t 在 ( 0 , 2 ) 上有两个对应的值.因而方 程 mt 2 ? ( 2 m ? 1) t ? m ? 0 在(0,2)上有两个不等实根,其充要条件为

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潮阳一中明光学校文科数学学案

张盛武

? ( 2 m ? 1) 2 ? 4 m 2 ? 0 ? 2 ?m ? 0 ? ? m (9 m ? 2 ) ? 0 ? ?0 ? 2 m ? 1 ? 2 ? ? 2m ?

(1) (2) (3) (4)

由(1)得: 由(2)得: 由(3)得: 由(4)得:
? 2 9 ? m ? 1 4

m ?

1 4



m ? 0, m ?0

或m ?
1 2

2 9



1 6

? m ?


2 1

,即 m 的取值范围为 ( , ) .
9 4

三.巩固练习
1.已知二次方程 ( 3 m ? 1) x 2 ? ( 2 m ? 3 ) x ? m ? 4 ? 0 有且只有一个实根属于( -1, 1),求 m 的取值范围. 解:易知 x1 = -1 是方程的一个根,则另一根为 x2 = m-4 ,所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1) 3m-1 3 5 或 m> ,∴ m 的取值范围为 2 4

m-4 当且仅当 -1< <1,即 3m-1 3 5 )∪( , +?). 2 4

? 3m-1 +1>0 ? m-4 ? 3m-1 -1 <0
m-4

? 3m-1 >0 ? ? 2m+3 ? 3m-1 >0
4m-5

? m< -

(-?,-

2.已知二次方程 ( 2 m ? 1) x 2 ? 2 mx ? ( m ? 1) ? 0 有且只有一个实根属于(1,2) ,且 x ? 1, x ? 2 都不是方程 的根,求 m 的取值范围. 解:设 f(x) = ( 2 m ? 1) x ? 2 mx ? ( m ? 1) ,由于 f(x)是二次函数,所以 2m+1 ≠ 0,即 m ≠ 2

1 . 2

f(x) =0 在(1,2)上有且仅有一个实根当且仅当 f(1)· f(2)<0 ? (5m+3)(m-2)<0 ? 综上得:m 的取值范围是(3 1 1 , - )∪(- , 2). 5 2 2

3 <m<2. 5

3.已知二次方程 ( m ? 1) x 2 ? ( 3 m ? 4 ) x ? ( m ? 1) ? 0 的两个根都属于(–1,1) ,求 m 的取值范围. 解:令二次函数 f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1,则 m-1 ≠ 0,即 m ≠ 1. f(x)=0 的两个实根均在(-1,1)上,当且仅当

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潮阳一中明光学校文科数学学案

张盛武

? ? ? ( 3 m ? 4 ) 2 ? 4 ( m ? 1)( m ? 1) ? 0 , ? ? ? 1 ? ? 3 m ? 4 ? 1, ? 12 ? 2 11 ? 12 ? 2 11 4 ? 或 ?m ?? ? ?4?m? 2m ? 2 ? 5 5 5 ? ( m ? 1) f ( ? 1) ? 0 , ? ? ( m ? 1) f (1) ? 0 . ?

∴ m 的取值范围为 { m | ? 4 ? m ?

? 12 ? 2 11 5

} ? {m |

? 12 ? 2 11 5

?m ??

4 5

}.

4.若关于 x 的方程 x2+(a-1)x+1=0 有两相异实根,且两根均在区间[0,2]上,求实数 a 的取值范围. 解:令 f(x) = x2+(a-1)x+1,则满足题意当且仅当 △ = (a-1)2-4>0 a-1 3 0< <2 2 解得 - ≤a<-1. 2 f(0)≥0 f(2)≥0 3 ∴ a 的取值范围是 [ - , -1). 2

? ? ? ? ?

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潮阳一中明光学校文科数学学案

张盛武

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