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一轮复习 第七章 立体几何 7.7 空间向量及其运算课时规范训练


【高考领航】 2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.7 空 间向量及其运算课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2016·孝感模拟)已知 a=(cos θ ,1,sin θ ),b=(sin θ ,1,cos θ ),则向 量 a+b 与 a-b 的夹角是( A.0° C.60° ) B.30° D.90°

解析:∵a+b=(cos θ +sin θ ,2,sin θ +cos θ ),

a-b=(cos θ -sin θ ,0,sin θ -cos θ ).
∴(a+b)·(a-b)=(cos θ +sin θ )(cos θ -sin θ )+2×0+(sin θ +cos θ )(sin θ -cos θ )=cos θ -sin θ +sin θ -cos θ =0. ∴(a+b)⊥(a-b).即向量 a+b 与 a-b 的夹角是 90°. 答案:D 2.设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)确定的平面上, 则 a 等于( A.16 C.2 ) B.4 D.8
2 2 2 2

→ → 解析:PA=(-1,-3,2),PB=(6,-1,4). → → → 根据共面向量定理,设PC=xPA+yPB(x、y∈R), 则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4) =(-x+6y,-3x-y,2x+4y), 2a-1=-x+6y, ? ? ∴?a+1=-3x-y, ? ?2=2x+4y, 解得 x=-7,y=4,a=16. 答案:A 3.(2016·西安质检)若平面 α ,β 的法向量分别是 n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,- 4),则( )

A.α ∥β B.α ⊥β C.α ,β 相交但不垂直 D.以上答案均不正确
1

解析:∵n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0, ∴n1 与 n2 不垂直,且不共线. ∴α 与 β 相交但不垂直. 答案:C 4.(2016·黄州模拟)已知空间向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|=2,则|3a-2b|= ________. 解析:∵|a|=|b|=|a-b|=2, ∴a -2a·b+b =4 即 4-2a·b+4=4. 解得 a·b=2, ∴|3a-2b| =9a -12a·b+4b =36-12×2+16=28, ∴|3a-2b|=2 7. 答案:2 7 → → → → → → 5.在空间四边形 ABCD 中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=________ → 解析:如图,令AB=a,
2 2 2 2 2





AC=b,AD=c,
→ → → → → → 则AB·CD+AC·DB+AD·BC =a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0. 答案:0

6.如图,BC=4,原点 O 是 BC 的中点,点 A?

? 3 1 ? , ,0?,点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC ?2 2 ?

=90°,∠DCB=30°,则 AD 的长度为________.

解析: 由于点 D 在平面 yOz 上, 所以点 D 的横坐标为 0, 又 BC=4, 原点 O 是 BC 的中点,

2

∠BDC=90°,∠DCB=30°.∴点 D 的竖坐标 z=4×sin 30°×sin 60°= 3, 纵坐标 y=-(2-4×sin 30°×cos 60°)=-1. ∴D(0,-1, 3). ∴|AD|= 答案: 6 7.(2016·宜昌模拟)如图 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,M、N 分别是线段 AD1 和 BD 的中点.

? 3 ?2 ?1 ?2 2 ? -0? +?2+1? +?0- 3? = 6. ? ?2 ? ?

(1)证明:直线 MN∥平面 B1CD1; (2)设正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 a,若以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在的 直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,试写出 B1、M 两点的坐标,并求线段 B1M 的长. 解:(1)证明:连接 CD1、AC,则 N 是 AC 的中点, 在△ACD1 中,又 M 是 AD1 的中点,∴MN∥CD1. 又 MN 平面 B1CD1,CD1?平面 B1CD1, ∴MN∥平面 B1CD1.

? ? (2)由条件知 B1(a,a,a),M? ,0, ?, 2? ?2
a a
∴|B1M|=

?a-a?2+?a-0?2+?a-a?2= 6a. ? 2? ? 2? 2 ? ? ? ?
16 a. 2 [B 级 能力突破]

即线段 B1M 的长为

1.(2016·黄冈模拟)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 → → sin〈CM,D1N〉的值为( A. 1 9 4 B. 5 9 ) 2 C. 5 9 2 D. 3

3

→ 解析:设正方体的棱长为 2,以 D 为原点建立如图所示空间坐标系,则CM=(2,-2,1), →

D1N=(2,2,-1),
→ → 1 ∴cos〈CM,D1N〉=- , 9 → → 4 5 ∴sin〈CM,D1N〉= . 9 答案:B 2.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λ b),则实数 λ 的值为( A.-2 C. 14 5 14 B.- 3 D.2
2

)

解析:由题意知 a·(a-λ b)=0,即 a -λ a·b=0, ∴14-7λ =0,∴λ =2. 答案:D → → 1→ → 3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在AC1上且AM= MC1,N 为 B1B 的中点,则|MN 2 |为( A. C. ) 21 6 15 6 B. D. 6 6 15 3

→ → → 解析:如图,设AB=a,AD=b,AA1=c, 则 a·b=b·c=c·a=0. → → → → 1 1 2 1 1 由条件知MN=MA+AB+BN=- (a+b+c)+a+ c= a- b+ c 3 2 3 3 6 → 4 1 2 1 2 21 2 2 ∴MN = a + b + c = 9 9 36 36 → 21 ∴|MN|= . 6

4

答案:A 4.已知 ABCD?A1B1C1D1 为正方体, → → → 2 2 ①(A1A+A1D1+A1B1) =3A1B1; → → → ②A1C·(A1B1-A1A)=0; → → ③向量AD1与向量A1B的夹角为 60°; → → → ④正方体 ABCD?A1B1C1D1 的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________. → → → → → → 2 2 2 2 2 解析:①中(A1A+A1D1+A1B1) =A1A +A1D1 +A1B1 =3(A1B1) ,故①正确; → → → ②中A1B1-A1A=AB1,∵AB1⊥A1C,故②正确; → → ③中 A1B 与 AD1 两异面直线所成角为 60°,但AD1与A1B的夹角为 120°,故③不正确;④ → → → 中|AB·AA1·AD|=0,故④也不正确. 答案:①②

5.空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°, 则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于________.

→ → → → → → → → → 解析:由题意知AO·BC=AO·(AC-AB)=AO·AC-AO·AB =8×4×cos 45°-8×6×cos 60°=16 2-24. → → → → AO·BC 16 2-24 ∴cos〈AO,BC〉= = → → 8×5 |AO||BC| = 2 2-3 . 5

3-2 2 ∴OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5 3-2 2 答案: 5

5

6.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,

M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点.
→ (1)求BN的模; → → (2)求 cos〈BA1,CB1〉的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 解:如图,建立空间直角坐标系 Oxyz, (1)依题意得 B(0,1,0)、N(1,0,1), → 2 2 2 ∴|BN|= ?1-0? +?0-1? +?1-0? = 3.

(2)依题意得 A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2), → → → → ∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1·CB1=3, → → |BA1|= 6,|CB1|= 5, → → ∴cos〈BA1,CB1〉 → = → → → 1 = 30. 10

BA1·CB1
|BA1||CB1|

?1 1 ? (3)证明:依题意,得 C1(0,0,2)、M? , ,2?, ?2 2 ?


A1B=(-1,1,-2),
6

? ? C1M=? , ,0?.
1 1 ?2 2 →



?



A1B·C1M=- + +0=0,
→ → ∴A1B⊥C1M. ∴A1B⊥C1M.

1 1 2 2

7


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