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高中数学教师竞赛作品《 函数的单调性 》课件 苏教版必修1


一、创设情境,提出问题 创设情境,
问题1、观察某市一天 小时的气温变化图 小时的气温变化图, 问题 、观察某市一天24小时的气温变化图,说出气温在哪 些时段内是逐步升高的或下降的? 些时段内是逐步升高的或下降的?

y
10 8 6 4 2 O -2 2 4

I
6 8 10 12 14 16 18 20

22 24

x

问题2、怎样用数学语言刻画上述时段内“ 问题 、怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气 温逐渐升高”这一特征? 温逐渐升高”这一特征?

二、探究发现 建构概念 y
10 8 6 4 2 O -2 2 4

I
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

x

问题3、对于任意的 、 ∈ , 时 问题 、对于任意的t1、t2∈[4,18]时,当t1< t2时,是否都 时 有f(t1)<f(t2)呢? 呢

y

图象在区间 逐渐上升 图象在区间I逐渐上升 区间 区间I内随着 的增大 也增大 的增大, 区间 内随着x的增大,y也增大

f(x2) f(x1) O
M

N


对区间I内 对区间 内 当x1<x2时,

x 1, x 2 ,
有f(x1)<f(x2)

I x 1

x2

x

y

区间I逐渐上升 图象在区间 图象在区间 逐渐上升 区间I内随着x的增大 也增大 的增大, 区间 内随着 的增大,y也增大

f(x2) f(x1) O
M

N


对区间I内 对区间 内 任意 x1,x2 , 当x1<x2时, 有f(x1)<f(x2)

I x 1

x2

x

y

区间I逐渐上升 图象在区间 图象在区间 逐渐上升 区间I内随着x的增大 也增大 的增大, 区间 内随着 的增大,y也增大

f(x2) f(x1) O
M

N 对区间I内 对区间 内 任意 x1,x2 ,

I x 1

都 当x1<x2时, 有f(x1)<f(x2)

x2

x

定 义

如果对于区间 上的任意 区间I上的 设函数y=f(x)的定义域为 区间 ? A. 如果对于区间 上的任意 的定义域为A,区间 设函数 的定义域为 区间I 两个自变量的值x 两个自变量的值 1,x2, 当x1<x2时,都有 1 ) < f(x2 ), 都有f(x , 那么就说 f (x)在区间 上是单调增函数,I 称为 f (x)的单调 在区间I上是单调增函数, 在区间 增函数 的 增区间. 增区间

问题4、类比单调增函数概念,你能给出单调减函数的概念吗? 问题 、类比单调增函数概念,你能给出单调减函数的概念吗? y y
f(x2) f(x1)

f(x1) f(x2)

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为 区间 ? A. 的定义域为A,区间 设函数 的定义域为 区间I 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域 内某个区间 上 如果对于属于定义域 内某个区间 上 任意两个自变量的值 两个自变量的值x 的任意两个自变量的值 1,x2, 任意两个自变量的值 两个自变量的值x 的任意两个自变量的值 1,x2,

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为 区间 ? A. 的定义域为A,区间 设函数 的定义域为 区间I

都有f(x 当x1<x2时,都有 1 ) < f(x2 ), ,

当x1<x2时,都有 f (x1 )

>

f(x2 ), ,

这个区间上是单调 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在 这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 那么就说在 这个区间上是单调 函数, 称为 称为f(x)的 区间. 函数,I称为 的单调 增 区间 的 减函数,I称为 函数, 称为f(x)的单调 减 区间. 称为 区间 单调区间

在区间I (1)如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么 在区间 是单调增函数或单调减函数, 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 ( )在区间I上具有单调性。 在单调区间上,增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 上升 下降 (2)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质; 函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质; 区间而言的

判断1 是单调增函数; 判断1:函数 f (x)= x2 在 ( ?∞, +∞ ) 是单调增函数;
y

y = x2
o x

在区间I (1)如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么 在区间 是单调增函数或单调减函数, 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 ( )在区间I上具有单调性。 在单调区间上,增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 上升 下降 (2)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质; 函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质; 区间而言的 (3) x 1, x 2 取值的任意性

判断2 定义在R上的函数 (1), 判断2:定义在 上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1), ) (1) y 上是增函数; 则函数 f (x)在R上是增函数; ) 上是增函数
f(2) f(1) O 1 2x

三、自我尝试 运用概念 y
10 8 6 4 2 O -2 2 4

问题5、你能找出气温图中的单调区间吗? 问题 、你能找出气温图中的单调区间吗?

I
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

x

问题 6、类似气温图,你还能举出生活中的一些例子吗? 、类似气温图,你还能举出生活中的一些例子吗? 问题7、你能说出你学过的函数的单调区间吗? 问题 、你能说出你学过的函数的单调区间吗?请举例说明

的图像, 例1、下图为函数 y = f ( x ), x ∈ [?4, 7] 的图像, 指出它的单调区间。 指出它的单调区间。
y 3 2 1 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7x

-1.5

-4 -3

-2 -1 o

解:单调增区间为 [-1.5,3],[5,6] 1.5,3],[5, 1.5],[3,5],[6, 单调减区间为 [-4,-1.5],[3,5],[6,7]

画出下列函数图像, 例2.画出下列函数图像,并写出单调区间: 画出下列函数图像 并写出单调区间:

y

(1) y =

1 y= x

1 ( x ≠ 0 ); x

x

1 ( ?∞ , 0) ∪ (0, +∞ , y = 的单调减区间是 _____________ ) x



讨论1:根据函数单调性的定义, 讨论 :根据函数单调性的定义,
1 能不能说y = ( x ≠ 0)在定义域( ?∞, 0) ∪ (0, +∞ )上 x 是单调减函数?
k 2试讨论 f ( x) = (k ≠ 0) 在 ( ?∞, 0 )和 ( 0, +∞ ) 上的单调性? 上的单调性? 试讨论 x

画出下列函数图像, 例2.画出下列函数图像,并写出单调区间: 画出下列函数图像 并写出单调区间:

(2) y = ? x 2 + 2.
( ?∞ , 0] y = ? x 2 +2的单调增区间是_______;
y = ? x +2的单调减区间是_______.
2

y
2 1 -2 -1 -1 -2

y=-x2+2

[0, +∞ )
2

1

2

x

变式1: 变式 :讨论 y = ax ( a ≠ 0) 的单调性 变式2: 变式 :讨论

y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0)

的单调性

成果交流

1 例3、证明函数y = x + 、 在区间 x
主要步骤

( 0, +∞ ) 上是单调增函数

1. 任取 1,x2∈D,且x1<x2; 任取x , 2. 作差 1)-f(x2); 作差f(x - ; 3. 变形(通常是因式分解和配方); 变形(通常是因式分解和配方) 4. 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 定号(即判断差 - 的正负) 的正负 5. 下结论

四、回顾反思深化概念 1.完成 完成P37第7题 完成 第 题

2.完成 完成P37第5,6题 完成 第 题 五、课堂小结

小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点? 1.函数单调性的定义中有哪些关键点? 函数单调性的定义中有哪些关键点 2.判断函数单调性有哪些常用方法 判断函数单调性有哪些常用方法? 2.判断函数单调性有哪些常用方法? 3.你学会了哪些数学思想方法 你学会了哪些数学思想方法? 3.你学会了哪些数学思想方法?

六、作业布置

1、阅读教材 p34-35例2
2. 书面作业:教材 P43 1、7、11

3、证明函数 f(x)=-x2在

1在 4、证明函数 f(x)= x + ( 0,1] 是单调递减的。 x

[0,+∞) 上是 减函数。


数与形,本是相倚依 数与形 本是相倚依, 本是相倚依 焉能分作两边飞; 焉能分作两边飞 数无形时少直觉, 数无形时少直觉 形少数时难入微; 形少数时难入微 数形结合百般好, 数形结合百般好 隔离分家万事休; 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 几何代数统一体, 切莫忘 几何代数统一体 永远联系莫分离. 永远联系莫分离 ——华罗庚 华罗庚


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