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2014年深圳市一模理科科数学试题及答案


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绝密★启用前 试卷类型:A

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学 (理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码 是否正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的 学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的 贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂 的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原 来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、 错涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B)? P( A)? P(B); 如果事件 A、B 相互独立,那么 P( AB)? P( A)P(B);

2014.2

1 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ? Sh . 3
一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {2, 0, 1, 4} ,集合 B ? {x 0 ? x ? 4, x ? R} ,集合 C ? A 示为 A. {2, 0, 1, 4} B. {1, 2,3, 4} C. {1, 2, 4}
{x 0 ? x ? 4, x ? R} D.

B .则集合 C 可表

2.复数 z 满足 z(1 ? i)? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z ?

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

第 1 页 共 6 页

A.

1 1 ? i 2 2

1 1 B. ? i 2 2

1 1 C. ? ? i 2 2

1 1 D. ? ? i 2 2

3.下列函数中,为奇函数的是 A. y ? 2 x ?

1 2x

B. y ? x, x ??0,1?

C. y ? x ? sin x

4.“ ? ? 1 ”是“ 函数 f ( x) ? cos ? x 在区间 ? 0, π ? 上单调递减”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 a 的值为 (注: “a ? 2” ,即为“ a ? 2 ”或为“ a :?? 2 ” . ) A. 2 1 B. 3
1 C. ? 2

?1, x ? 0 ? D. y ? ?0, x ? 0 ??1, x ? 0 ?

开始
a ? 2,i ? 1

a?

1? a 1? a

i ? i ?1 i ? 2014



是 输出 a 结束
图1

D. ?3 1 6.( x ? )4 的展开式中常数项为 2x 1 1 A. B. ? 2 2

C.

3 2

D. ?

3 2

7.如图 2,在矩形 OABC 内:记抛物线 y ? x2 ? 1 与直线 y ? x ? 1 围成的区域为 M (图中 阴影部分) .随机往矩形 OABC 内投一点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率是 y y ? x2 ? 1 1 A. y ? x ?1 C 18 2 B 1 B. 12
1 C. 6
1

D.

1 3

O

8 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 定 义 两 点 P( x1 ,y1 ) 与 Q( x2 ,y2 ) 之 间 的 “ 直 角 距 离 ” 为
d(P,Q)? x1 ? x2 ? y1 ? y2 .给出下列命题:

图2

1 A x

x

(1)若 P(1,2), Q(sin ? ,2cos ? )(? ? R),则 d(P,Q)的最大值为 3 ? 5 ; (2)若 P ,Q 是圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意两点,则 d(P,Q)的最大值为 2 2 ; 1 (3)若 P(1,3),点 Q 为直线 y ? 2 x 上的动点,则 d(P,Q)的最小值为 . 2
2014 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题 第 2 页 共 6 页

其中为真命题的有 A. (1) (2) (3)

B. (1) (2)

C. (1) (3)

D. (2 ) (3)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为 必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f ( x)? 2x ? 4 的定义域为 .

10. 某几何体的三视图如图 3 所示, 其正视图是边长为 2 的正方形, 侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,则此几何体的体积 是 .
x2 y 2 x2 y 2 与椭圆 ? ? 1 ? ? 1 有相同的焦 a 2 b2 9 4
俯视图 图3 正视图 侧视图

11.已知双曲线 C :

点,且双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?2 x ,则双曲线 C 的方程 为 .

? x ? y, ? 12.设实数 x, y 满足 ? y ? 10 ? 2 x ,向量 a ?(2 x ? y, m), b ?(?1, 1) .若 a?//?b ,则实数 m 的 ? x ? 1, ?

最大值为

. .

13.在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等比数列,则 an ?

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题 的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴
? ? x ? t, 为极轴建立极坐标系.若曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C2 的极 2 ? ?y ? 1? t .

坐标方程为 ? sin ? ? ? cos? ? ?1 .则曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为 15. (几何证明选讲选做题)如图 4,已知 AB 是⊙ O 的直径,TA 是⊙ O 的切线,过 A 作弦 AC //BT ,若 AC ? 4 , AT ? 2 3 , 则 AB ? . B O C

个. T

A

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

第 3 页 共 6 页 图4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
π 已知函数 f (x)? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π)的图象经过点( , 1) . 12

(1)求 ? 的值; (2)在 ?ABC 中, ?A 、 ?B 、 ?C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a2 ? b2 ? c2 ? ab , 且 f(
A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

17. (本小题满分 12 分) 某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况,随机 抽查了该市当天 60 名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如图 5(1) ) :
网购金额 (单位:千元)
频率 组距

频数

频率

0.7 0.6

(0,0.5] (0.5, 1]
(1, 1.5]

3
x

0.05
p

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
金额(千元)

9

0.15

(1.5,2] (2,2.5] (2.5,3]
合计

15 18

0.25 0.30
q

y
60

1.00

0

0.5

1

1.5

2
(2)

2.5

3

(1) 图5

若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人” ,网购金额不超过 2 千元的顾客定 义为“非网购达人” ,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3: 2 . (1)试确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图(如图 5(2)) . (2) 该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验, 从“非网购达人” 、 “网购达人” 中用分层抽样的方法确定 10 人, 若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查. 设

? 为选取的 3 人中“网购达人”的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

第 4 页 共 6 页

18. (本小题满分 14 分) 如图 6 所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形,四边形 BCEF 为直 角梯形, BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 . (1)求证 : AF // 平面 CDE ; (2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值. (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值;
D
A

C
B

E

F
图6

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 4 (n ? 1)(Sn ? 1)?(n ? 2)2 an ?? (n ? N? ). (1)求 a1 , a2 的值; (2)求 an ; n ?1 3 (3)设 bn ? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . an 4

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

第 5 页 共 6 页

20. (本小题满分 14 分) 如图 7,直线 l : y ? x ? b? 2)在抛物线 ( p ? 0),已知点 P(2 , (b ? 0),抛物线 C : y 2 ? 2 px?
C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为

3 2 . 4

(1)求直线 l 及抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(2 , 1)的任一直线(不经过点 P )与抛物线 C 交于 A 、B 两点,直线 AB 与 直线 l 相交于点 M ,记直线 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .问:是 否存在实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明 理由.
y
l

M
B
Q
O
P

x

图7

A

21. (本小题满分 14 分) 9x 已知函数 f ( x) ? (a ? 0) . 1 ? ax 2
1 (1)求 f ( x)在[ ,2] 上的最大值; 2

(2)若直线 y ? ? x ? 2a 为曲线 y ? f ( x)的切线,求实数 a 的值;
?1 ? … ,x14 ? ? , 2? , 且 x1 + x 2 + … + x 1 4 ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 设 x1 ,x2 , ? 14 , 若 不 等 式 ?2 ?

f( x … + +f ( ) 恒成立,求实数 ? 的最小值. 1 ) + f (x 2 ) 1x 4? ?

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

第 6 页 共 6 页


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