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立体几何测试卷1


高三数学综合练习九
班级: 姓名: 分数:

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 ? bi 1. 若复数 的实部与虚部相等, 则实数 b 等于 ( 2?i 1 1 A.3 B. 1 C. D. ? 3 2 x ?1 ? 0} , 2. 设全集 U=R, 集合 A ? {x | 则 (Cu A) ? B =( A

? {x | 1 ? 2 x ? 8} , x?2 A.[-1,3) B.(0,2] C.(1,2] D.(2,3) ( D. y ? e ? x ( D.4 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 1 A. y ? ? x 2 ? 1 B. y ? lg | x | C. y ? x

)





? x( x ? 4), x ? 0 4. 已知函数 g ( x) ? ? , 则函数 g ( x) 的零点个数为 ? x( x ? 4), x ? 0
A.1 B.2 C.3



5.我校在模块考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩 ξ~N(90,a2)(a>0, 试卷满分 150 分), 统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为
3 总人数的 , 则此次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为 5

( D.200 (

)

A.600 6. 设向量 a ? (sin ? ,
3 2

B.400
2 3 o s 2? = , 则c ) 的模为 2 2

C.300


1 4

A.

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

?2 x ? y ? 0 1 7. 已知正数 x,y 满足 ? ,则 z ? 4 ? x ? ( ) y 的最小值为 2 ?3 y ? x ? 5
13 2 4 1 1 C. D. 16 32 8.一几何体的三视图如图所示,其中俯视图 是菱形, 则该几何体的侧面积为

(

)

A.1

B.





A. 3 ? 6 C. 2 ? 6

B. 3 ? 5 D. 2 ? 5

1

? 2? ) 在区间 [ , ] 上单调递减,且函数值从 1 2 6 3 减小到 ? 1 , 那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 ( )
9. 函数 y ? sin( wx ? ? )( w ? 0, | ? |? A.
1 2

?

B.

2 2

C.

3 2

D.

6? 2 4

10. P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的点,F1、F2 是其焦点,且 PF1⊥PF2, a2 b2

若△F1PF2 的面积是 9,a+b=7,则双曲线的离心率为 A.
7 4

( D.
7 2



B.

5 4

C.

5 2

11.正四棱锥的各棱棱长都为 3 2 ,则正四棱锥的外接球的表面积为 A. 12? B. 36? C. 72?

(

)

D. 108? (
e2 D. 2

12.曲线 y ? e x 在点 (2, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A. e
2



B. 2e

2

C. 4e

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.等差数列 {an } 中,若 a3 ? a5 ? a7 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a9 ? 14. 在 ?ABC 中, BC ? 2 5, AC ? 2 , ?ABC 的面积为 4,则 | AB |? ; ;

15. AD 是 ?ABC 的中线,若 A ? 120?, AB ? AC ? ?2 ,则 | AD | 的最小值是______; 16. P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(4,5),则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为 三、解答题(共 70 分) 。
2

17.(12 分)等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 。 (1)求数列 {an } 的通项公式;
1 (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 { } 的前 n 项和 S n 。 bn

2

18.(12 分)已知函数 h( x) ? 2 sin x cos x ? cos2 x( x ? R) 。 (1)求 h( x) 的最小正周期和最大值; (2)若 ? 为锐角,且 h(? ?

?
8

)?

2 ,求 tan 2? 的值。 3

19. (12 分)在一次抢险救灾中,某救援队的 50 名队员被分别分派到四个不同 的区域参加救援工作,其分布的情况如下表,从这 50 名队员中随机抽出 2 人去 完成一项特殊任务。 区域 A B C D 人数 20 10 5 15 (1)求这 2 人来自同一区域的概率; (2)若这 2 人来自区域 A,D,并记来自区域 A 队员中的人数为 X,求随机变 量 X 的分布列及数学期望。

20. (12 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,且 AD 丄 CD, 1 AB//CD,AB=AD= CD=2,点 M 在线段 EC 上。 2 (1)当点 M 为 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (2)求证:平面 BDE 丄平面 BEC; (3)若平面说 BDM 与平面 ABF 所成二面角为锐角,且该二面角的余弦值为 求三棱锥 M-BDE 的体积.
6 时, 6

3

21.(12 分)已知两点 且 、 (1)求椭圆 、

及 构成等差数列.

, 点

在以

、 为焦点的椭圆

上,

的方程; 与椭圆 有且仅 ,

(2)如图,动直线 有一个公共点,点

是直线 上的两点,且

. 求四边形

面积 的最大值.

22. ( 10 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

4 cos ? ,直线 l 的参数方程为 sin 2 ?

? x ? t cos? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? )。 ? ? y ? 1 ? t sin ?
(1)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (2)若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长。

4

17.解:(1)设数列{an}的公比为 q. 2 2 2 1 由 a3=9a2a6 得 a3=9a4,所以 q2=9. 1 由条件可知 q>0,故 q=3. 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1=3. 1 故数列{an}的通项公式为 an=3n........................6

(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=

.

1 故bn=

1 =-2n+1.

1 1 1 1 2n b1+b2+…+bn=-2n+1=-n+1. 1 2n 所以数列bn的前 n 项和为-n+1………………………12 18.解:

19.解:(1)记“这 2 人来自同一区域”为事件 E,那么 P(E)= 所以这 2 人来自同一区域的概率是 . …(4 分) (2)随机变量 ξ 可能取的值为 0,1,2,且

= ,

5

P(X=0)=

=

,P(X =1)=

=

P(X =2)= = 所以 ξ 的分布列是: X P

…(8 分) 0 1 2

ξ 的数学期望为 Eξ=0× 20.解: (1)证明 取 的中点,

+1× 中点

+2×

=

…(12 分) .在△ 中, 分别为

,连结

则 因此, 于是, 所以

∥ ∥ ∥

,且 ,且 .又因为 .

.由已知





, 为平行四边形. 平面 ,

.所以,四边形 平面 ………..3 分 中, ,知 平面 , ,可得 ,所以,平面 与 平面 .又平面 ,且

∥平面

(2)证明 在正方形 平面 在直角梯形 在△ 又因为 中, 平面 中,

平面 . . .故 .………..7 分 平面

,平面

.所以 ,算得



(3) 按如图建立空间直角坐标系, 点 坐标原点 重合.设 ,又 设 ,则 ,则



6

,即 设 是平面 , 的法向量,则

.

.



,得

,即得平面

的一个法向量为

. 由题可知,

……..10 分 是平面 的一个法向量.

因此, 即点 为 中点.此时, , 为三棱锥

, 的高,

所以,

.

............. ………..12 分

21.解:(1)依题意,设椭圆

的方程为



构成等差数列, , 又 , . .

椭圆

的方程为 的方程

. …………………………………………………4 分 代入椭圆 . 的方程 ……………………5 分 , 中,得

(2) 将 直 线

由直线 与椭圆 化简得:

仅有一个公共点知, .

7







…………………………8 分

(法一)当 ,

时,设直线

的倾斜角为

,则



,……10 分

, 当 当 时,四边形 面积

时, 是矩形, 的最大值为

, . .





所以四边形

……………………………12 分

(法二)







四边形

的面积



………10 分

8

. 当且仅当 时,

…………………………………………12 分 ,故 . ,故曲线 C 是顶点为 O(0,0),焦点为

22.解:(1)曲线 C 的直角坐标方程为 F(1,0)的抛物线;

(2)直线 的参数方程为 若直线 经过点(1,0),则

( t 为参数,0≤



).故 l 经过点(0,1);

直线 的参数方程为 代入 ,得 ,则 =8

(t 为参数)

设 A、B 对应的参数分别为

9


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