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2009年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案


2015 年湖南省普通高中学业水平考试试卷 ( 一 )
班 级 姓 名

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页.时量 120 分钟.满分 100 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1. 已知集合 A ? {?1,0,1,2} , B ? {?2,1, 2},则 A A. {1} C. {1, 2}

A. 4 C. 9 B. {2} D. {?2, 0,1, 2} B. 13 D. 22

B ? ( ).
A=9 A= A+13 PRINT A END

2. 若运行右图的程序,则输出的结果是( ).

(第 2 题图) 3. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现“正面向上的点数为 6”的概率是( ). A. 4. sin A.

1 3

B.

1 4

C.

1 5

D.

1 6

?
4 1 2

cos

?
4

的值为( ). B.

2 2 D. 4 5. 已知直线 l 过点(0,7) ,且与直线 y ? ?4 x ? 2 平行,则直线 l 的方程为( ). A. y ? ?4 x ? 7 B. y ? 4 x ? 7 C. y ? ?4 x ? 7 D. y ? 4 x ? 7 6. 已知向量 a ? (1,2) , b ? ( x, ?1) ,若 a ? b ,则实数 x 的值为( ).
C. A. ?2 B. 2 1 2 C. ?1 3 1 4 4 ). D. (4,5) ). C.(3,4) D. 1 5 7 7. 已知函数 f ( x ) 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:

2 2

x f ( x)
A.(1,2)

?4

?2
B. (2,3)

在下列区间中,函数 f ( x ) 必有零点的区间为(

2 2 8. 已知直线 l : y ? x ? 1 和圆 C: x ? y ? 1,则直线 l 和圆 C 的位置关系为(

A.相交

B. 相切

C.相离 ).

D. 不能确定

9. 下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是(

A. y ? ( )

1 3

x

B. y ? log 3 x

C. y ?

1 x

D. y ? cos x

?x ? y ? 1 ? 10. 已知实数 x、 y 满足约束条件 ? x ? 0 ,则 z ? y ? x 的最大值为( ? y?0 ?
A. 1 B. 0 C. ?1 D. ?2

).

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.

? x 2 ? x ( x ? 0) 11. 已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (2) ? ? x ? 1 ( x ? 0)
12. 把二进制数 101(2)化成十进制数为 .

.

13. 在△ ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a、 b , A ? 60?, a ? 3, B ? 30?, 则 b = 14. 如图是一个几何体的三视图,该几何体的体积为 2 2 3 3 .

.

正视图 2

侧视图

C M

B A 俯视图 (第 15 题图) (第 14 题图) 15. 如图,在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,若 AB ? AC ? ?AM ,则实数 ? = 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) , x ? R .

.

?

3

(1)写出函数 f ( x ) 的周期; (2)将函数 f ( x ) 图象上的所有的点向左平行移动 达式,并判断函数 g ( x) 的奇偶性.

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,写出函数 g ( x) 的表 3

17. (本小题满分 8 分) 某市为节约用水, 计划在本市试行居民生活用水定额管理, 为了较为合理地 确定居民日常用水量的标准, 通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量 (单 位: 吨) , 右表是 100 位居民月均用水量的频率分布表, 根据右表解答下列问题: (1)求右表中 a 和 b 的值; (2) 请将频率分布直方图补充完整, 并根据直方图估计该市每位居民月均用 水量的众数. 分组 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6] 合计 频数 10 频率 0.10 0.20 0.30

a
30 20 10 10 100

b
0.10 0.10 1.00

(第 17 题图)

18. (本小题满分 8 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 底面 ABCD ,且 PA=AB. (1)求证:BD ? 平面 PAC; (2)求异面直线 BC 与 PD 所成的角. P

A B C

D

(第 18 题图)

19. (本小题满分 8 分) 如图,某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室,其总面积为 24 平方米,设熊猫居室的一面墙 AD 的长为 x 米 (2 ? x ? 6) . (1)用 x 表示墙 AB 的长; (2)假设所建熊猫居室的墙壁造价(在墙壁高度一定的前提下)为每米 1000 元,请将墙壁的总造价 y(元) 表示为 x(米)的函数; (3)当 x 为何值时,墙壁的总造价最低? D x A E (第 19 题图) B F C

20. (本小题满分 10 分) 在正项等比数列{an } 中, a1 ? 4 , a3 ? 64 . (1) 求数列{an } 的通项公式 an ; (2) 记 bn ? log4 an ,求数列{bn } 的前 n 项和 Sn ; (3) 记 y ? ?? ? 4? ? m, 对于(2)中的 Sn ,不等式 y ? Sn 对一切正整数 n 及任意实数 ? 恒成立,求
2

实数 m 的取值范围.

湖南省普通高中学业水平考试数学测试卷参考答案
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 A 9 B 10 A

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.2; 12. 5; 13.1 ;14. 3? ;15. 2 三、解答题 16.解:(1)周期为 2? ?????????3 分 (2) g ( x) ? 2sin x ,?????????5 分

g (? x) ? 2sin(? x) ? ?2sin x ? g ( ? x) ? ? g ( x)
所以 g(x)为奇函数????????6 分 17.解:(1) (2)

a =20; ???2 分
b =0.20.???4 分

(第 16 题图) 根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为 2.5 ??????8 分 (说明:第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得 2 分,两个全对的 4 分.) P 18.(1)证明:∵ PA ? 平面ABCD ,

BD ? 平面ABCD , ? PA ? BD ,????????1 分 又 ABCD 为正方形,? BD ? AC ,?????2 分 而 PA, AC 是平面 PAC 内的两条相交直线,
? BD ? 平面PAC ????????4 分 (2)解: ∵ ABCD 为正方形,? BC ∥ AD , B ? ?PDA 为异面直线 BC 与 AD 所成的角,?6 分

A C

D

(第 17 题图)

由已知可知,△ PDA 为直角三角形,又 PA ? AB , ∵ PA ? AD , ??PDA ? 45? ,

? 异面直线 BC 与 AD 所成的角为 45?.????????8 分 24 19.解: (1) AB ? AD ? 24, AD ? x ? AB ? ???????2 分 x
(2) y ? 3000( x ?

16 )(2 ? x ? 6) ??????5 分(没写出定义域不扣分) x

(3)由 3000( x ? ) ? 3000 2 ? ? x? 当且仅当 x ?

16 x

16 24000 ? x

16 ,即 x ? 4 时取等号 x

? x ? 4 (米)时,墙壁的总造价最低为 24000 元.
答:当 x 为 4 米时,墙壁的总造价最低.?????8 分 20.解:(1).

q2 ?

a3 ? 16 ,解得 q ? 4 或 q ? ?4 (舍去) a1

? q ? 4 ??2 分
?an ? a1qn?1 ? 4 ? 4n?1 ? 4n ?????3 分 ( q ? ?4 没有舍去的得 2 分)
(2)

bn ? log4 an ? n ,???5 分

? 数列{bn } 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 1 的等差数列
? Sn ? n(n ? 1) 2
???7 分

n2 ? n (3)解法 1:由(2)知, Sn ? , 2
当 n=1 时, Sn 取得最小值 Smin ? 1 ???8 分 要使对一切正整数 n 及任意实数 ? 有 y ? Sn 恒成立, 即 ?? ? 4? ? m ? 1
2

即对任意实数 ? , m ? ?? ? 4? ? 1 恒成立,
2

?? 2 ? 4? ?1 ? ?(? ? 2)2 ? 3 ? 3 ,

所以 m ? 3 , 故 m 得取值范围是[3, ?? ). ?????10 分 解法 2:由题意得: m ? ?? ? 4? ?
2

1 2 1 n ? n 对一切正整数 n 及任意实数 ? 恒成立, 2 2

即 m ? ?(? ? 2) ?
2

1 1 33 (n ? ) 2 ? , 2 2 8
2

因为 ? ? 2, n ?1 时, ?(? ? 2) ? 所以 m ? 3 ,

1 1 33 (n ? ) 2 ? 有最小值 3, 2 2 8

). ?????10 分 故 m 得取值范围是[3, ??


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