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数学理卷·2014届广东省珠海市第一中学等六校联盟高三第三次联合考试(2013.12)


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2014 届“六校联盟”第三次联合考试
理科数学试题参考答案
考试时间:120 分钟 试卷总分 150 分 命题人:珠海市第一中学 潘静

5

.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.满足条件 M∪{1,2}={1,2,3}的集合 M 的个数是( A ) A.4 B.3 C.2 2.若向量 a =(1,1) , b =(1,-1) , c =(-1,2) ,则 c 等于( B )

D.1

?

?

?

?

1? 3? 1? 3? 3? 1? B. C. a? b a? b a? b 2 2 2 2 2 2 3.如果 0 ? a ? 1,那么下列不等式中正确的是( D )
A. ? A. (1 ? a) ? (1 ? a)
3 2

D. ?

3? 1? a? b 2 2
2

B. (a ? 1) ? (a ? 1)
3

2

C. (1 ? a) ? (1 ? a)
3

2

D. (a ? 1) ? (a ? 1)
3

4.已知函数 y ? log a ( x ? 2) 是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( B ) A.(0,2) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 5.若一个等差数列前 3 项和为 3, 最后 3 项和为 30, 且所有项的和为 99, 则这个数列有 ( D ) A.9 项 B.12 项 C.15 项 D.18 项 6. 如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ? A.

?
8

对称,那么 a 等于( C ) D.-1

2

B.-

2

C.1

7.已知正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 E 点,将 ?ACD 沿对角线 AC 折起,使得 平面 ABC⊥平面 ADC(如图) ,则下列命题中正确的为( C ) A. B. C. D. 直线 AB⊥直线 CD, 且直线 AC⊥直线 BD 直线 AB⊥平面 BCD,且直线 AC⊥平面 BDE 平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ACD⊥平面 BDE 平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ACD⊥平面 BDE

8.如图所示,函数 y ? fi ( x)(i ? 1, 2,3, 4) 是定义在 ? 0,1? 上的四个函数,其

?? ? ? 0,1? , f ? ? x1 ? (1 ? ? ) x2 ? ? ? f ( x1 ) ? (1 ? ? ) f ( x2 ) 恒成立” 中满足性质: “ ?x1 , x2 ? ? 0,1? ,
的有( A )

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A.f1(x) ,f3(x)

B.f2(x)

C.f2(x) ,f3(x)

D.f4(x)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.请把答案填在答题卡的相应位置。 9. 函数 y ?

sin 2 x 的最小正周期为 1 ? cos 2 x

.?

? ?-1≤x+y≤1, 10. 设变量 x,y 满足? 则 2x+3y 的取值范围是________. ? ?3,3? ?-1≤x-y≤1, ?

11. 命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,命题 q:方程 4x2+4(m+2)x+1= 0 没 有 实 数 根 . 若 “p 或 q” 为 假 命 题 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 . ? ?1, 2?

12.直线 x ? 0, y ? 0, x ? 2 与曲线 y ? 的体积等于 .

4 ? x 2 所围成的图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体

16 ? 3 a b 的最大值是 ? a ?1 b ?1
.

13. 若正数 a,b 满足 a ? b ? 1,则

2 3

14. 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C 的底面边长为 4 cm,高为 7 cm,则当一质点 自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的路程最短时,质点沿着侧 面的前进方向所在直线与底面 ABC 所成角的余弦值为 .

24 25

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本题共 2 小题,第(Ⅰ)小题 6 分,第(Ⅱ)小题 6 分,满分 12 分) 设 ?ABC 的 三 内角 A、B、C 的 对 边 长 分别 为 a、b、c , 已 知 a、b、c 成 等 比数 列 , 且

sin A sin C ?
?? ?

3 . 4

(Ⅰ)求角 B 的大小;

(Ⅱ) 设向量 m ? (cos A, cos 2 A) , n ? (? 状.
2

?

?? ? ? 12 , 1) , 当 m ? n 取最小值时 , 判断 ?ABC 的形 5
2 0

解:(Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b ? ac .由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C .
0 7

又 sin A sin C ?

3 3 3 ,所以 sin 2 B ? .因为 sin B ? 0 ,则 sin B ? . 2 4 4
0 3

2? 因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ? 或 . 3 3

?

1

6

又 b 2 ? ac ,则 b ? a 或 b ? c , 即 b 不是 ?ABC 的最大边,故 B ? (Ⅱ)因为 m ? n ? ?

?
3

.

????6 分

?? ? ?

12 cos A ? cos 2 A , 5
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所以 m ? n ? ?

?? ? ?

12 3 43 . cos A ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2(cos A ? ) 2 ? 5 5 25

所以当 cos A ?

?? ? 3 时, m ? n 5

取得最小值. 此时 又B ?

1 3 3 ? ? ? cos A ? ? (0 ? A ? ? ) ,于是 ? A ? . 6 3 2 5 2

?
3

? A? B ?

?
2

, 从 而 ?ABC 为锐角三角形. ???????????12 分

16.(本题共 2 小题,第(Ⅰ)小题 4 分,第(Ⅱ)小题 8 分,满分 12 分) 平安汽车租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解: (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为:

3600 ? 3000 =12, 50

所以这时租出了 88 辆车.??????????????????????????4 分 (2)设每辆车的月租金定为 x 元,???????????????????????5 分 则租赁公司的月收益为:f(x)=(100- x ? 3000 ) (x-150)- x ? 3000 ×50,??8
50 50



1 x2 整理得:f(x)=- +162x-21000=- (x-4050)2+307050. 50 50
所以,当 x=4050 时,f(x)最大,其最大值为 f(4050)=307050. ?????????11 分 即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307050 元.?12 分 17. (本题共 2 小题,第(Ⅰ)小题 7 分,第(Ⅱ)小题 7 分,满分 14 分) 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (Ⅰ)求平面 ABCD 与平面 A1BE 所成二面角的平面角的正弦值; (Ⅱ)请问: 在棱 C1D1 上是否存在一点 F, 使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. → → → 解:设正方体的棱长为 1,如图所示,以AB,AD,AA1为单位正交基底建 立空间直角坐标系. 1? (1)依题意,得 B(1,0,0),E? ?0,1,2?,A(0,0,0),D(0,1,0), 1? → → A1(0,0,1),所以BE=? ?-1,1,2?,BA1=(-1,0,1) 设 n1 =(x,y,z)是平面 A1BE 的一个法向量,??????4 分 -x+z=0, ? ?? → ?? → ? 则由 n1 · BA1=0, n1 · BE=0,得? 1 ?-x+y+2z=0, ?

??

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?? ? ?? 1 所以 x=z,y= z.取 z=2,得 n1 =(2,1,2).取平面 ABCD 的一个法向量为 n2 ? (0, 0,1) , 2

?? ?? ? 5 0?0?2 2 ? ,? sin ? n1 , n2 ?? 3 3 ?1 3 5 即所求二面角的平面角的正弦值为 。?????????????????????8 3
则 cos ? n1 , n2 ?? 分 (Ⅱ) 在棱 C1D1 上存在一点 F(F 为 C1D1 的中点),使 B1F∥平面 A1BE.证明如下: → 设 F 是棱 C1D1 上的点,则 F(t,1,1)(0≤t≤1) 又 B1(1,0,1),所以B1F=(t-1,1, 0),由(Ⅰ)知,平面 A1BE 的一个法向量为 n1 =(2,1,2).而 B1F?平面 A1BE, 1 → 于是 B1F∥平面 A1BE?B1F·n=(t-1,1,0)·(2,1,2)=0?2(t-1)+1=0?t= ?F 为 2 C1D1 的中点.这说明在棱 C1D1 上存在一点 F(F 为 C1D1 的中点),使 B1F∥平面 A1BE.???14 分 说明:如果都用普通方法正确解答,每小题 7 分。这里不再提供其他解法,特别是第一问, 可以用投影面积法、 作出棱之后用三垂线法等丰富方法求二面角, 请阅卷者自定把握评分标 准。 18. (本题共 3 小题,第(Ⅰ)小题 4 分,第(Ⅱ)小题 4 分,第(Ⅲ)小题 6 分,满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x ? ax ? ln x .
2

?? ?? ?

??

(Ⅰ)若 a ? 1 ,试求函数 f ? x ? 的极小值; (Ⅱ)求经过坐标原点 O 的曲线 y ? f ( x) 的切线方程; (Ⅲ)令 g ? x ? ?

f ? x? ex

,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数,求 a 的取值范围.
2

解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? lnx ( x ? 0)

? f '( x) ? 2 x ? 1 ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x

? 1? ?1 ? x ? ? 0, ? , f ' ? x ? ? 0, x ? ? , ?? ? , f ' ? x ? ? 0 ? 2? ?2 ?

? f ? x? 在 x ?

1 3 处取得极小值 ? ln 2 ;????????????????4 分 2 4 1 (Ⅱ)设切点为 M ? t , f ? t ? ? , f ' ? x ? ? 2 x ? ax ? ; x
切线的斜率 k ? 2t ? a ? ,又切线过原点,? k ?

1 t

f ?t ? t



f ?t ? t

1 ? 2t ? a ? ,即:t 2 ? at ? ln t ? 2t 2 ? at ? 1? t 2 ? 1 ? ln t ? 0 t

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1 t ? 1 满 足 方 程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 , 设 ? ? t ? ? t 2 ? 1 ? ln t , ? ' ? t ? ? 2t ? ? 0 t

? ? t ? 在 ? 0, +? ? 递增 ,且 ? ?1? =0 ,方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 有唯一解 t ? 1 。切点的横坐标
为 1; 切点为 (1,1 ? a) ?k ? a ? 1 8分 (Ⅲ) g ' ? x ? ? 所以所求切线方程为 y ? (a ? 1) x 。??????

f '? x? ? f ? x? ex

,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数,

则 ?x ? (0,1], g ' ? x ? ? 0, 即 : f ' ? x ? ? f ? x ? , 所以 x 2 ? 2 x ?

1 ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 x 1 设h ? x ? ? x 2 ? 2 x ? ? ln x ? a ? x ? 1? x

?1 ? x ? ? 2 x ? 2 x ? 1? 1 1 h '? x? ? 2x ? 2 ? 2 ? ? a ? ? ?2?a x x x2
2

若 a ? 2 ,则 h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 在 ? 0,1? 递减, h ? x ? ? h ?1? ? 0 即不等式 f ' ? x ? ? f ? x ? , ?x ? (0,1], 恒成立 若 a ? 2 ,? ? ? x ? ? 2 x ?

1 1 2 1 ? ? 2 ?? ' ? x ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 0 2 x x x x

? ? x ? 在 ? 0,1? 上递增, ? ? x ? ? ? ?1? ? ?2
?x0 ? ? 0,1? , 使得? ? x0 ? ? ?a x ? ? x0 ,1? , ? ? x ? ? ?a ,即 h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 在 ? x0 ,1? 上递增, h ? x ? ? h ?1? ? 0
这与 ?x ? ? 0,1? , x 2 ? 2 x ? 分 19. (本题共 3 小题,第(Ⅰ)小题 4 分,第(Ⅱ)小题 5 分,第(Ⅲ)小题 5 分,满分 14 分) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 x, y ? R 都 满 足 :

1 ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 矛盾 综上所述, a ? 2 ????14 x

f ( xy) ? xf ( y) ? yf ( x) .
(Ⅰ)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并写出证明过程;
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(Ⅱ) 求证: ?x, y ? R且y ? 0 : f ( ) ?
n

x y

yf ( x) ? xf ( y ) ; y2

(Ⅲ) 已知 f (2) ? 2 ,设 an = f (2 ) (n∈N*) ,求数列{ an }的通项公式. 解:(Ⅰ)f(x)是奇函数, 证明如下:? f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1) ,得 f(1)=0. 2 因为 f(1)=f[ (-1) ]=-f(-1)-f(-1)=0 所以 f(-1)=0 ?f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x). 因此,f(x)为奇函数???????????????????????????4 分 ( Ⅱ ) 证 明 :

1 1 1 ? f ( xy) ? xf ( y) ? yf ( x), f (1) ? 0 ? x ? 0时f (1) ? f ( x ? ) ? xf ( ) ? f ( x) ? 0 x x x 1 1 ? f ( ) ? ? 2 f ( x) x x
x 1 1 1 xf ( y) 1 yf ( x) ? xf ( y) ? ?x, y ? R且y ? 0 : f ( ) ? f ( x ? ) ? xf ( ) ? f ( x) ? ? 2 ? f ( x) ? y y y y y y y2
得证 分 ????????????????????9 令 x ? 2, y ? 2
n ?1

(Ⅲ) ? a1 ? f (2) ? 2, 且 f ( xy) ? xf ( y) ? yf ( x)

? f (2n ) ? f (2 ? 2n?1 ) ? 2 f (2n?1 ) ? 2n?1 f (2) ? 2 f (2n?1 ) ? 2n
即 an ? 2an ?1 ? 2 (n ? 2), ?
n

an an ?1 ?a ? ? n ?1 ? 1? ? n 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, n n ? 2 2 ?2 ?

?


an ? 1 ? (n ? 1) ? n ,即 an ? n ? 2n ????????????????????? 14 n 2

如果考生猜想并用数学归纳法证明,根据实际情况由阅卷老师把握给分细则。 20. (本题共 3 小题,第(Ⅰ)小题 4 分,第(Ⅱ)小题 5 分,第(Ⅲ)小题 5 分,满分 14 分) 已知数列{an}为等差数列,且满足 an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,? (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ln 2. an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n ?1

(Ⅲ)当 0 ? ? ? 1 时,设 bn ? ? (an ? ), cn ? (1 ? ? )an ,数列 ?

1 2

? 1 ? ? 的前 n 项和为 Tn , ? bn cn ?

第 10 页 共 12 页

求证: Tn ?

9n ? 1 . 4n ? 3
2

解: (Ⅰ)设 an ? kn ? b, k ? R, b ? R, n ? N * ,则 kn ? k ? b ? (kn ? b) ? n(kn ? b) ? 1 , 化简得: (k ? k )n ? (2kb ? k ? b)n ? (b ? 1 ? k ? b) ? 0 对 n ? N * 恒成立,
2 2 2

故有: k ? k ? 0 ①且 2kb ? k ? b ? 0 ②且 b ? 1 ? k ? b ? 0 ③
2 2

由①得 k ? 0, k ? 1. 当 k ? 0 时 b ? 1 ? k ? b ? 0 ③不成立,所以 k ? 0 舍去;
2

当 k ? 1 时可解得 b ? 1; 所以数列{an}的通项公式为 an ? n ? 1, n ? N * ??????4 分 (Ⅱ)方法 1:本题需证 考 虑 到 函 数 f ( x) ?

1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ln 2. n?2 n?3 n?4 2n ? 2

1 在 区 间 ? n ? 1, 2n ? 2? 上 的 定 积 分 , 将 其 分 割 为 ? n ? 1, n ? 2? , x

? n ? 2, n ? 3? ,? n ? 3, n ? 4? ?? ? 2n ? 1, 2n ? 2? 等 n ? 1个小区间,并把这些曲边梯形求和
用底边为 1, 右侧端点的函数值作为高的小矩形面积之和来近似代替, 由于函数 f ( x) ?

1 在 x

区间 ? n ? 1, 2n ? 2? 上为减函数(图像略) ,所以用区间右侧端点的函数值作为高的小矩形面 积之和是小于曲边梯形面积,于是
2n?2 1 1 1 1 1 ? 1? ? 1? ? ? ? 1? ?? dx ? ln x n?2 n?3 n?4 2n ? 2 n?1 x

1?

2n?2 n ?1

? ln(2n ? 2) ? ln(n ? 1) ? ln 2.

所以原不等式成立。????????????????????????????9 分 方法 2:构造函数 g ( x) ? ln( x ? 1) ?

x x ? 0 ,所以函数 , x ? ? 0,1? 求导得 g '( x) ? ( x ? 1) 2 x ?1

g ( x) 在区间 ? 0,1? 上单调递增,由于 0 ?
即 ln(1 ? ) ?

1 1 ? 1 ,故 g ( ) ? g (0) ? 0 , n n

1 1 1 ?0? ? ln(n ? 1) ? ln n, 累加即得 n n ?1 n ?1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ln(2n ? 2) ? ln(n ? 1) ? ln 2. 故原不等式成立。 ??9 分 n?2 n?3 n?4 2n ? 2 1 2

(Ⅲ)∵ bn ? ? (an ? ) = ∴

? (2n ? 1)
2

, , cn ? (1 ? ? )an =(1-λ) (n+1),

1 4 16 16 16 = ≥ ≥ - , bncn λ(1-λ)(2n+1)(2n+2) (2n+1)(2n+2) 2n+1 2n+2 1 1? ?1 1? ? 1 - 1 ? Tn≥16? ?3-4?+?5-6?+?+?2n+1 2n+2?
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1 1 1 1 1 1 1 1 =16 + + +?+ + -2?4+6+?+2n+2? 3 4 5 ? ? 2n+1 2n+2 1 1 1 1 1 1 1 =16?n+2+n+3+?+2n+2-2?,设 tn= + +?+ ,倒序相加得 ? ? n+2 n+3 2n+2 1 1 1 1 1 1 2tn=?n+2+2n+2?+( + )+?+( + ) ? ? n+3 2n+1 2n+2 n+2 由于 (n ? 2) ? (2n ? 2) ? 3n ? 4,

1 1 ? ? ? ? 4, ? n ? 2 2n ? 2 ? 1 1 4 4 1 1 4 1 1 ?? ? ? , 同理n+3+2n+1 ? ? ? , ? n ? 2 2n ? 2 3n ? 4 3n ? 4 2n ? 2 n ? 2 3n ? 4
1 1 由于 (3n+4)?n+2+2n+2?= ? ? 4(n+1) 4 4 4 故 2tn≥ + +?+ = , 3n+4 3n+4 3n+4 3n+4 2(n+1) ?2(n+1)-1?= 8n . ∴tn> ,从而 Tn>16? 2? 3n+4 ? 3n+4 ? 3n+4 9n-1 (5n-4)(n-1) 8n 又∵ - = 3n+4 4n+3 (3n+4)(4n+3)

?(n ? 2) ? (2n ? 2)? ? ? ?

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