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广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟(二)测试数学文试题


广东省茂名市实验中学 2013 届高三下学期模拟(二) 测试数学文试题
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {2 , 0} , B ? {1 , 2} ,则集合 A? B ( A ? B ) ? A. ? B. {2} B. ?i C. {0 , 1} D. {

0 , 1 , 2} D. ?1
频率 组距 0.09 0.07

2. i 为虚数单位,则复数 i ? (1 ? i) 的虚部为 A. i C. 1

3. 为了了解某学校 2000 名高中男生的身体发育 情况,抽查了该校 100 名高中男生的体重情况. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图,据 此估计该校高中男生体重在 70~78kg 的人数为 A.240 B.160 C.80 D.60 4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 A. xy ? 1 B.y) ? ? d (x

0.04 0.02 0.01 54 58 62 66 70 74 78 重量(kg)

第 3 题图

?1, x为有理数 ?0, x为无理数
x

C. 3 x ? 2 y ? 1 5. tan 2012?? A. (0,

D. 2 y ? sin 3 ?

3 ) 3

B. (

3 ,1) 3

C. (?1, ?

3 ) 3

D. (?

3 , 0) 3

6. 若对任意正数 x ,均有 a 2 ? 1 ? x ,则实数 a 的取值范围是 A.

? ?1,1?
? ?

B.

(?1,1)

C. ? ? 1 ? x , 1 ? x ?

D. (? 1 ? x , 1 ? x )

7.曲线 y ? ( ) x 在 x ? 0 点处的切线方程是 A. C.

1 2

x ? y ln 2 ? ln 2 ? 0 x ? y ?1 ? 0

B. D.

x ln 2 ? y ? 1 ? 0 x ? y ?1 ? 0

8.已知命题 p :“对任意 a , b ? N , 都有 lg(a ? b) ? lg a ? lg b ”;命题 q :“空间两条直
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?

线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”.则 A. 命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“ p ? q ”为假命题 C. 命题“ (?p ) ? q ”为真命题 D. 命题“ p ? (?q ) ”为真命题

9. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为 2 cm 的半 圆, 虚线是等腰三角形的两腰) 俯视图是一个半径为 2 cm , 的圆(包括圆心) ,则该零件的体积是 A.
1 cm

1 cm 2 cm 2 cm

8 cm3 第 9 题图 3 20 C. 4π D. cm3 π cm3 3 10. 线段 AB 是圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 0 的一条直径,离心率为 5 的双曲线C2 以 A, B
cm3
B. π 为焦点.若 P 是圆 C1 与双曲线 C2 的一个公共点,则 PA ? PB ? A. 2 2 B. 4 2 C. 4 3 D. 6 2

4 π 3

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题. 11. 按照右图的工序流程,从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序,导致废 品的产生有_____种不同的情形. 12. 已知递增的等比数列 ?an ? 中,

a2 ? a8 ? 3, a3 ? a7 ? 2, 则

a13 ? a10

.

第 11 题图

? 13. 无限循环小数可以化为有理数,如 0.1 ?

1 ? ? 13 ? ? 5 , 0.13 ? , 0.015 ? ,? , 9 99 333 m , n, m ? N ? ) . n

?? 请你归纳出 0.017 ?

(表示成最简分数

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 l : ? cos ? ? t (常数 t ? 0) )与曲线

C : ? ? 2sin ? 相切,则 t ?



D C P A

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是半圆的直径,
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第 15 题图

B

弦 AC 和弦 BD 相交于点 P ,且 AB ? 3DC ,则 . sin ?APD ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 为锐角,记角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 设向量

π m ? (cos A,sin A), n ? (cos A, ? sin A), 且 m 与 n 的夹角为 . 3
(1)求 m ? n 的值及角 A 的大小; (2)若 a ?

7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,其中 b, c 是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求事 件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”发生的概率. (1) 若随机数 b, c ? {1, 2,3, 4} ;
2

(2) 已 知 随 机 函 数 Rand() 产 生 的 随 机 数 的 范 围 为 x 0 ? x ? 1 , b, c 是 算 法 语 句

?

?

b ? 4 ? Rand() 和 c ? 4 ? Rand() 的执行结果.(注: 符号“ ? ”表示“乘号”)

18. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形,E , F 分别在棱 BB1 , DD1 上,且 AF ? EC1 . (1)求证: AE ? FC1 ; (2) AA1 ? 平面 ABCD , 若 四边形 AEC1 F 是边长为 6 的正方形, BE ? 1 ,DF ? 2 , 且 求线段 CC1 的长, 并证明: AC ? EC1.

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C1 D1 B1 F A1 C D A E B

第 18 题图

19. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? 的最小值为 ?4, 且关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 的解集为

? x ?1 ? x ? 3, x ? R? ,
(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 g ( x) ?

f ? x? ? 4 ln x 的零点个数. x

20. (本小题满分 14 分) 如图, M , N 是抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 上的两动点( M , N 异于原点 O ) ,且 ?OMN 的角 平分线垂直于 y 轴,直线 MN 与 x 轴, y 轴分别相交于 A, B . (1) 求实数 ? , ? 的值,使得 OB ? ? OM ? ? ON ; (2)若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C2 经过

??? ?

???? ?

????

C1

y N

A, M . 求椭圆 C2 焦距的最大值及此时 C2 的方
程.

B M
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C2 O x

A

第 20 题图

21. (本小题满分 14 分) 定义数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 2 ,且对任意正整数 n ,有

an ? 2 ? ? 2 ? (?1) n ? an ? (?1) n ?1 ? 1 . ? ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式与前 n 项和 S n ; (2)问是否存在正整数 m, n ,使得 S 2 n ? mS 2 n ?1 ?若存在,则求出所有的正整数对

(m, n) ;若不存在,则加以证明.

数学(文科)参考答案及评分标准
说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
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3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算。共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 10 D

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中第 14、15 两小题是选作题,考生只能选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分. 11. 4, 3 (第一空 3 分,第二空 2 分) 12. 2 13.

17 990

14.1

15.

2 2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 为锐角,记角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 设向量

π m ? (cos A,sin A), n ? (cos A, ? sin A), 且 m 与 n 的夹角为 . 3
(1)求 m ? n 的值及角 A 的大小; (2)若 a ?

7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

【说明】本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念, 以及用正弦或余弦定理解三角形, 三角形的面积公式,考查了简单的数学运算能力.

解: (1)? m ?

cos 2 A ? sin 2 A ? 1, n ? cos 2 A ? (? sin A) 2 ? 1,
π 1 ··········· ·········· ···· 3 ·········· ··········· ···· ? . ··········· ··········· ···· 分 3 2

? m ? n= m ? n ? cos

? m ? n= cos 2 A ? sin 2 A ? cos 2 A ,

1 ··········· ·········· ··········· 5 ·········· ··········· ··········· ? cos 2 A ? . ································· 分 2 π ? 0 ? A ? , 0 ? 2 A ? π, 2 π π ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ ? 2 A ? , A ? . ······························7 分 3 6 π (2)(法一) ? a ? 7, c ? 3 , A ? , 及 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 6
··········· · ·········· ·· ? 7 ? b 2 ? 3 ? 3b , 即 b ? ?1 (舍去)或 b ? 4. ············ 10 分
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1 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· bc sin A ? 3. ························ 12 分 2 π a c (法二) ? a ? 7, c ? 3 , A ? , 及 , ? 6 sin A sin C
故S ?

? sin C ?

c sin A 3 . ··········· ··········· · 7 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· ? a 2 7

?a ? c ,
?0 ? C ?

5 π 2 , cos C ? 1 ? sin A ? 2 2 7

π 1 3 2 ? sin B ? sin(π ? A ? C ) ? sin( ? C ) ? cos C ? sin C ? 6 2 2 7 a sin B ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· ?b ? ? 4 . ··························10 分 sin A 1 故 S ? bc sin A ? 3. ························ 分 ······················· 12 ·········· ··········· ·· 2
17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,其中 b, c 是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求事 件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”发生的概率. (1) 若随机数 b, c ? {1, 2,3, 4} ;
2

(2) 已 知 随 机 函 数 Rand() 产 生 的 随 机 数 的 范 围 为 x 0 ? x ? 1 , b, c 是 算 法 语 句

?

?

b ? 4 ? Rand() 和 c ? 4 ? Rand() 的执行结果.(注: 符号“ ? ”表示“乘号”)
【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义,古典概型,几何概型,线性规划等基 础知识,考查学生转换问题的能力,数据处理能力. 解:由 f ( x) ? x ? bx ? c 知,事件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”,即 ?
2

?b ? c ? 4 ·· · . ··1 分 ? c?3

(1) 因为随机数 b, c ? {1, 2,3, 4} ,所以共等可能地产生 16 个数对 (b, c) , 列举如下:

(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (2,1), (2, 2), (2,3), (2, 4), (3,1), (3, 2), (3,3), (3, 4) , (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4).
事件 A : ? ··························4 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····

?b ? c ? 4 包含了其中 6 个数对 (b, c) ,即: ? c?3
·····················6 分 ··········· ·········· ·········· ··········

(1,1), (1, 2), (1,3), (2,1), (2, 2), (3,1).
所以 P ( A) ?

6 3 3 ··········· ··· ·········· ··· ? ,即事件 A 发生的概率为 . ··············7 分 16 8 8
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(2) 由题意, b, c 均是区间 [0, 4] 中的随机数,产生的点 (b, c) 均匀地分布在边长 为 4 的正方形区域 ? 中(如图) ,其面积 S (?) ? 16 . ··········8 分 ·········· ·········

事件 A : ?

?b ? c ? 4 所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分) , ? c?3
1 15 ·················· 10 ·········· ········ ? (1 ? 4) ? 3 ? . ··················· 分 2 2
c
4
(1,3)

其面积为: S ( A) ?

15 S ( A) 2 15 ? ? 所以 P ( A) ? , S (?) 16 32

3

O

4

b

即事件 A 的发生概率为

15 . 32

··········· ··········· ·· 分 ······················· 12 ·········· ··········· ··

18. (本小题满分 14 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形, E , F 分别在棱 BB1 ,

DD1 上,且 AF ? EC1 .
(1)求证: AE ? FC1 ; (2) AA1 ? 平面 ABCD , 若 四边形 AEC1 F 是边长为 6 的正方形, BE ? 1 ,DF ? 2 , 且 求线段 CC1 的长, 并证明: AC ? EC1.
C1 D1 B1 F A1 C D A E

C1 D1 B1 F A1 D
B

O1 C O E B

A

第 18 题图 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查线线、线面平行的性质和判定,线线 垂直的性质和判定,考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的 意识以及推理论证能力. 证明: (1)? 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形,
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··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· ? AA1 ? DD1 , AB ? CD. ························· 1 分

? DD1 , CD ? 平面 CDD1C1 , AA1 , AB ? 平面 CDD1C1 ,
··········· ··· ·········· ···· ? AA1 ? 平面 CDD1C1 , AB ? 平面 CDD1C1 , ·············· 3 分

? AA1 , AB ? 平面 ABB1 A1 , AA1 ? AB ? A ,
··········· ·········· · ·········· ··········· ? 平面 ABB1 A1 ? 平面 CDD1C1. ······················4 分

? AF ? EC1 ,
··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· ? A, E , C1 , F 四点共面. ··························5 分

? 平面 AEC1 F ? 平面 ABB1 A1 ? AE ,平面 AEC1 F ? 平面 CDD1C1 ? FC1 ,
··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· ? AE ? FC1. ································7 分 (2) 设 AC ? BD ? O, AC1 ? EF ? O1 ,

? 四边形 ABCD ,四边形 AEC1 F 都是平行四边形,

? O 为 AC , BD 的中点, O1 为 AC1 , EF 的中点. ···········8 分 ··········· ··········
连结 OO1 , 由(1)知 BE ? DF ,从而 OO1 ?

1 1 CC1 ? ( BE ? DF ) . 2 2

? BE ? 1 , DF ? 2 ,
································ 10 ·········· ··········· ··········· ? CC1 ? 3. ································· 分

? AA1 ? 平面 ABCD ,四边形 AEC1 F 是正方形, ? ?ACC1 , ?ABE , ?ADF 均为直角三角形,得

AC 2 ? AC12 ? CC12 ? 2 AE 2 ? CC12 ? 12 ? 9 ? 3 ,

AB 2 ? AE 2 ? BE 2 ? 6 ? 1 ? 5,
BC 2 ? AD 2 ? AF 2 ? DF 2 ? 6 ? 4 ? 2.
··············· 12 ·········· ····· ? AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ? 5 ,即 AC ? BC . ················ 分

? BB1 ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD, ? AC ? BB1 .
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? BC , BB1 ? 平面 BB1C1C ,
··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· ? AC ? 平面 BB1C1C. ·························· 13 分

? EC1 ? 平面 BB1C1C , ? AC ? EC1.
14 分

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 19. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? 的最小值为 ?4, 且关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 的解集为

? x ?1 ? x ? 3, x ? R? ,
(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 g ( x) ?

f ? x? ? 4 ln x 的零点个数. x

【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系,函数零点的概念,导数运算 法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想,考查考生的计算推理能力及分析问 题、解决问题的能力. 解: (1)? f ? x ? 是二次函数, 且关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 的解集为

? x ?1 ? x ? 3, x ? R? ,
? f ? x ? ? a ( x ? 1)( x ? 3) ? ax 2 ? 2ax ? 3a , 且 a ? 0 . 4


··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ·······

? a ? 0, f ? x ? ? a ?( x ? 1) 2 ? 4 ? ? ?4 ,且 f ?1? ? ?4a , ? ?

? f ( x) min ? ?4a ? ?4, a ? 1.

6



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 故函数 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3.
2

(2) ? g ( x) ?

x2 ? 2x ? 3 3 ? 4 ln x ? x ? ? 4 ln x ? 2 ( x ? 0) , x x
3 4 ( x ? 1)( x ? 3) . 8 ? ? x2 x x2


? g ?( x) ? 1 ?

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ·······

x, g ?( x), g ( x ) 的取值变化情况如下:
第 10 页 共 15 页

x
g ?( x)
g ( x)
11

(0, 1)

1

(1, 3)

3
0
极小值

(3, ??)

?
单调增加

0
极大值

?
单调减少

?
单调增加



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 当 0 ? x ? 3 时, g ? x ? ? g ?1? ? ?4 ? 0 ;12 分

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 又 g e5 ? e5 ?

? ?

3 ? 20 ? 2 ? 25 ? 1 ? 22 ? 9 ? 0 .13 e5



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 故函数 g ( x) 只有 1 个零点,且零点 x0 ? (3, e5 ). 14 分

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 20. (本小题满分 14 分) 如图, M , N 是抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 上的两动点( M , N 异于原点 O ) ,且 ?OMN 的角 平分线垂直于 y 轴,直线 MN 与 x 轴, y 轴分别相交于 A, B . (1) 求实数 ? , ? 的值,使得 OB ? ? OM ? ? ON ; (2)若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C2 经过 A, M . 求椭圆 C2 焦距的最大值及此时

??? ?

???? ?

????

C2 的方程.
C1 y N

B M
【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、 两直线平行的位置关系,椭圆的基本性质, 考查学生运算能力、推理论证以及分析问 题、解决问题的能力,考查数形结合思想、 化归与转化思想.

C2 O x

A

第 20 题图

解: (1) 设 M ( x1 ,

x12 x2 ), N ( x2 , 2 ), x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 . 4 4
第 11 页 共 15 页

由 ?OMN 的角平分线垂直于 y 轴知,直线 OM 与直线 MN 的倾斜角互补,

x12 x2 2 x12 ? 4 ? 0, 化简得 x ? ?2 x .3 从而斜率之和等于 0 ,即 4 ? 4 2 1 x1 x2 ? x1



··········· ··········· ·········· ··········· ··········· ·········· ··········· ·········· ·········· ··········· ··········· ··········

x12 x12 x 2 由点 M ( x1 , ), N (?2 x1 , x1 ) 知直线 MN 的方程为 y ? ? ? 1 ( x ? x1 ) . 4 4 4
分别在其中令 y ? 0 及 x ? 0 得 A(2 x1 , 0), B (0,

x12 ) .5 2



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ·······

?0 ? ? x1 ? ? (?2 x1 ) ??? ? ???? ? ???? ? 将 B, M , N 的坐标代入 OB ? ? OM ? ? ON 中得 ? x 2 , x2 1 ? ? ? 1 ? ? ? x12 ? ? 2 4
即?

?? ? 2 ? ,7 ?? ? 4 ? ? 2
2 1 ,? ? .8 3 3



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 所以 ? ? 分

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· (2) 设椭圆 C2 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2


x12 4 x12 x12 x14 将 A(2 x1 , 0) , M ( x1 , ) 代入,得 2 ? 1, 2 ? ? 1 ,9 4 a a 16b 2

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 解得 a ? 4 x1 , b ?
2 2 2

x14 , 由 a 2 ? b 2 得 0 ? x12 ? 48 . 10 12



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 椭圆 C2 的焦距

3 3 x12 ? (48 ? x12 ) 2 2 2c ? 2 a ? b ? x1 (48 ? x1 ) ? ? ?8 3 3 3 2
2 2

第 12 页 共 15 页

(或

3 3 3 x12 (48 ? x12 ) ? ?( x12 ? 24) 2 ? 242 ? ? 24 ? 8 3 )12 3 3 3



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 当且仅当 x12 ? 48 ? x12 , x12 ? 24 ? 48 时,上式取等号, 故 (2c) max ? 8 3 ,13 分

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ·······

x2 y 2 此时椭圆 C2 的方程为 ? ? 1. 14 96 48



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ·······

21. (本小题满分 14 分) 定义数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 2 ,且对任意正整数 n ,有

an ? 2 ? ? 2 ? (?1) n ? an ? (?1) n ?1 ? 1 .记数列 ?an ? 前 n 项和为 S n . ? ?
(1) 求数列 ?an ? 的通项公式与前 n 项和 S n ; (2)问是否存在正整数 m, n ,使得 S 2 n ? mS 2 n ?1 ?若存在,则求出所有的正整数对

(m, n) ;若不存在,则加以证明.
【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式,数列的分组求和等知识,考查 了学生变形的能力,推理能力,探究问题的能力,分类讨论的数学思想、化归 与转化的思想以及创新意识. 解: (1)对任意正整数 k , a2 k ?1 ? ? 2 ? (?1) 2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ( ?1) 2 k ? 1 ? a2 k ?1 ? 2 , ? ?

a2 k ? 2 ? ? 2 ? (?1) 2 k ? a2 k ? (?1) 2 k ?1 ? 1 ? 3a2 k .1 ? ?
所以数列 ?a2 k ?1? 是首项 a1 ? 1 ,公差为 2 等差数列;数列 ?a2k ? 是首项



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ·······

a2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列. 2



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 对任意正整数 k , a2 k ?1 ? 2k ? 1 , a2 k ? 2 ? 3k ?1 .3 分

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ·······
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所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?

n ? 2k ? 1 ?2k ? 1, ? , k ? N? . k ?1 ? 2 ? 3 , n ? 2k ?

n ? 2k ? 1 ?n, ? 或 an ? ? , k ? N? . 4 n ?1 ? 2 ? 3 2 , n ? 2k ?



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 对任意正整数 k , S 2 k ? (a1 ? a3 ? ? ? a2 k ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 k )

?

k (1 ? 2k ? 1) 2(1 ? 3k ) ? ? 3k ? k 2 ? 1 .5 2 1? 3



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ·······

S 2 k ?1 ? S 2 k ? a2 k ? k 2 ? 3k ? 1 ? 2 ? 3k ?1 ? 3k ?1 ? k 2 ? 1 6



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 所以数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? ?

?3k ?1 ? k 2 ? 1, n ? 2k ? 1 ? , k ? N? . k 2 ?3 ? k ? 1, n ? 2k ?

? ? n2 1 n 2 ? 2n ? 3 3 ? , n ? 2k ? 1 ? ? 4 , k ? N? 7 或 Sn ? ? n 2 ?3 2 ? n ? 1, n ? 2k ? ? 4



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· (2) S 2 n ? mS 2 n ?1 ? 3n ? n 2 ? 1 ? m(3n ?1 ? n 2 ? 1)

? 3n ?1 (3 ? m) ? (m ? 1)(n 2 ? 1) ,
从而 m ? 3 ,由 m ? N? 知 m ? 1, 2,3. 8 分

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· ①当 m ? 1 时, 3
n ?1

(3 ? m) ? 0 ? (m ? 1)(n 2 ? 1) ,即 S 2 n ? mS 2 n ?1 ;9



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· ②当 m ? 3 时, 2(n ? 1) ? 0, n ? 1 ,即 S 2 ? 3S1 ;10
2



··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· ③当 m ? 2 时, 3
k

n ?1

? n 2 ? 1 ? (n ? 1)(n ? 1) ,则存在 k1 , k2 ? N, k1 ? k2 ,
k

使得 n ? 1 ? 3 1 , n ? 1 ? 3 2 , k1 ? k2 ? n ? 1,
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从而 3 2 ? 3 1 ? 3 1 (3 2
k k k

k ? k1

? 1) ? 2 ,得 3k1 ? 1,3k2 ? k1 ? 1 ? 2 ,


k1 ? 0, k2 ? k1 ? 1 ,得 n ? 2 ,即 S 4 ? 2 S3 . 13

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······· 综上可知,符合条件的正整数对 (m, n) 只有两对: (2, 2) 与 (3,1). 14 分

··········· ··········· ·········· ··········· ······· ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ·······

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