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教案3——一元二次不等式的解法(教师)


教案 3 一、课前检测

一元二次不等式

开金额

1.. 若函数 y ? (1 ? 2m) x ? b 在 R 上是减函数,则 m 的取值范围是( B ).

1 (A) ( ,?? ) 2

1 (B) (?? , ) 2

1 (C) (? ,?? )

2

1 ( D) (?? ,? ) 2

2. 若 a,b 是非零向量,且 a ? b , a ? b ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是( A ) (A)一次函数且是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (B)一次函数但不是奇函数 (D)二次函数但不是偶函数

2 x 2 1? x 3. 关于 x 的不等式 (k ? 2k ? ) ? (k ? 2k ? ) 的解集为(A)

5 2

5 2

(A) ? x x ?

? ?

1? ? 2?

(B) ? x x ?

? ?

1? ? 2?

(C) x x ? 2

?

?

(D) x x ? 2

?

?

4. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 解析: 由于 f ?( x ) ?

1 , a ? R .求函数 f ( x ) 的单调区间。 x

ax ? 1 . x2

当 a ? 0 时,对于 x ? (0, ??) ,有 f ?( x) ? 0 在定义域上恒成立, 即 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数. 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 ? (0, ??) . a

当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (?

1 a

1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. a

二、知识梳理
1.二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式 ? 二 次
2

? b2 ? 4ac
函 数

??0

??0

??0

y ? ax ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
一元二次方程 ax
2

? bx

有两个相异实数根

有两个相等实数根

? c ? 0 ? a ? 0 ? 的根

x1,2 ?

?b ? ? ? x1 ? x2 ? 2a
1 2

x1 ? x2 ? ?

b 2a

没有实数根

一元二次不 等式的解集

? a ? 0?

ax2 ? bx ? c ? 0
ax2 ? bx ? c ? 0

?x x ? x 或x ? x ?
?x x
1

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

? a ? 0?

? x ? x2 ?

?

2. 一元二次不等式的解法.: (1)化成标准形式: 任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为 ax2+bx+c>0(或<0) (其中 a>0)的形式, (2)求对应方程 ax2+bx+c=0 的根: 能分解因式的分解因式,不能分解因式的用配方法或求根公式求根,然后根据“大于取两 边,小于夹中间”求解集. (3)当 ? ? 0 或 ? ? 0 时,结合函数对应的函数的图象求得解集

三、典型例题分析
题型 1:解一元二次不等式

例 1.解下列不等式: (1) x2 ? x ? 6 ? 0 ; (2) ? x2 ? 3x ? 10 ? 0 ; (3) 3x 2 ? 6 x ? 2 ? 0

答案: (1) {x| ?2 ? x ? 3 }; (2) {x| x ? 5 or x ? ?2 };(3) {x| 1 ? (4) 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0
2 解析:因为 ? ? 0 , 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ?

3 3 ? x ? 1? } 3 3

1 . 2

所以,原不等式的解集是 ? x x ?

? ?

1? ?. 2?

2 (5) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .

2 解析:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 .

因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解, 所以不等式 x
2

? 2x ? 3 ? 0 的解集是 ?

题型 2:含参数的一元二次不等式 例 2. 解下列关于 x 的不等式 2 (1) x +(a+1)x+a>0 解析:(x-1)(x-a)>0 ①当 a>1 时,解集为{ x|1<x 或 x>a } ②当 a<1 时,解集为{x|a<x 或 x>1} ③当 a=1 时,解集为{x|x≠1}

变式训练:x2-2x+1-a2≥0. 解析:(x-1)2-a2≥0,(x-1-a)(x-1+a)≥0.其对应的根为 1+a 与 1﹣a. ①当 a>0 时,1+a>1-a,∴原不等式的解集为{x|x≥1+a 或 x≤1-a}. ②当 a=0 时,1+a=1-a,∴原不等式的解集为全体实数 R. ③当 a<0 时,1-a>1+a,∴原不等式的解集为{x|x≥1-a 或 x≤1+a}.

(2) ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.
2

解析:①若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.

1 1 )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. a a 1 ③若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. (?) a
②若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ?

其解的情况应由

1 与 1 的大小关系决定,故 a

(1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ;

1 ? x ? 1; a 1 (3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? . a
(2)当 a ? 1 时,式 (?) ? 综上所述,当 a ? 0 时,解集为 { x x ?

1 或x ? 1 };当 a ? 0 时,解集为 { x x ? 1 };当 a

0 ? a ? 1 时 , 解 集 为 { x1 ? x ?
{x

1 };当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为 a

1 ? x ? 1 }. a

特别提示:对于含参数的一元二次不等式,若不等式对应的方程的根 x1,x2 中含有 参数,则须对 x1,x2 的大小来分类,即分 x1<x2,x1=x2,x1>x2 三种情况讨论;若二次项系 数 x2 项的系数 a 含有参数,则须对 a 的符号分类,即分 a>0,a=0,a<0.


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