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湖北省普通高中联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)


湖北省普通高中联考 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)由直线与圆相切时,圆心到切点连线与直线垂直,想到平面与球相切时,球心与 切点连线与平面垂直,用的是() A.归纳推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.其它推

理 2. (5 分)已知 a 是实数, A.﹣3﹣i B.3+i 是实数,则 z=(2+i) (a﹣i)的共轭复数是() C.1﹣3i D.﹣1+3i

3. (5 分)如图是某人按打中国联通客服热线 10010,准备借助人工台咨询本手机的收费情 况,他参照以下流程,拨完 10010 后,需按的键应该是()

A.1

B. 7

C. 8

D.0

4. (5 分)要从编号为 01~50 的 50 枚最新研制的某型号导弹中随机抽出 5 枚来进行发射试 验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定, 在选取的 5 枚导弹的编号可能是 () A.05,10,15,20,25 B. 03,13,23,33,43 C. 01,02,03,04,05 D.02,04,08,16,32 5. (5 分)下面的程序运行的功能是()

A.求 1+ + +…+ C. 求 1+1+ + +…+

的值 的值

B. 求 1+ + +…+ D.求 1+1+ + +…+

的值 的值

6. (5 分)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次.两人成绩的统计表如甲表、乙表所示, 则: ()

甲表: 环数 4 5 6 频数 1 1 1 乙表: 环数 5 6 9 频数 3 1 1

7 1

8 1

A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B. 甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 C. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差 7. (5 分)记曲线 y= 与 x 轴所围成的区域为 D,若直线 y=ax﹣a 把 D 的面积分为

1:2 的两部分,则 a 的值为() A.± B. C. ±
2

D.

8. (5 分)在区间上任取一个数 m,则“函数 f(x)=x ﹣4x﹣m+4(﹣1≤x<4)有两个零点” 的概率是() A. B. C. D.

9. (5 分)执行如图程序框图.若输入 n=20,则输出的 S 值是()

A.

B.
2 2

C.

D.

10. (5 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =1 和两点 A(1﹣m,0) ,B(1+m,0) ,m>0, 若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为() A.7 B. 6 C. 5 D.4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)某地区有 600 家商店,其中大型商店有 60 家,中型商店有 150 家.为了掌握各 商店的营业情况.要从中抽取一个容量为 40 的样本.若采用分层抽样的方法,抽取的中型 商店数是.

12. (5 分)若复数 z=

,则|z|=.

13. (5 分)下列是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据,由其散点图可知,用 水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是 =﹣0.7x+ ,则 =. 月 份x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

14. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值为

15. (5 分)△ ABC 中,A(1,1) ,B(5,﹣5) ,C(0,﹣1) .则 AB 边上的中线所在直线 与 AC 边上的高所在直线的交点坐标为. 16. (5 分)从集合 A={1,2,4,5,10}中任取两个不同的元素 a,b,则 (1)lga+lgb=1 的概率为 (2)b>2a 的概率为. 17. (5 分)已知 an=( ) ,把数列{an}的各项排列如图的三角形状,记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 (1)A(4,5)= (2)A(m,n)=.
n

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18. (12 分)在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日,评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方 图(如图) ,已知从左到右各长方形的高的比为 2:3:4:6:4:1,第三组的频数为 12,请 解答下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比?

(2)哪组上交的作品数量最多?共有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖率高?

19. (12 分)已知圆 C 的圆心在直线 y=x﹣1 上,且 A(2,0) ,B( , )在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; 2 (2)若圆 M:x +(y﹣2
2 2 2 2

) =r (r>0)与圆 C 相切.求直线 y=

x 截圆 M 所得弦长.

20. (13 分)设 x +2ax+b =0 是关于 x 的一元二次方程. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数个中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,求方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间上任取一个数,b 是从区间上任取 一个数,求方程有实根的概率. 21. (14 分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题: 已知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a1 +a2 ≥ ; 证明:构造函数 f(x)=(x﹣a1) +(x﹣a2) ,f(x)=2x ﹣2(a1+a2)x+a1 +a2 =2x ﹣ 2 2 2x+a1 +a2 , 因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0,所以△ =4﹣8(a1 +a2 )≤0,从而 a1 +a2 ≥ . (1)已知 a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述结论的推广式; (2)参考上述证法,对你的推广的结论进行证明; (3)若 + + =1,求 x+y+z 的最大值.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22. (14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+1) +y =1,圆 C2: (x﹣3) 2 2 +(y﹣4) =1 (1)若过点(﹣2,0)的直线 l 与圆 C1 交于 A,B 两点,且 ? = ,求直线 l 的方程;

2

2

(2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长,圆 C2 的周长, ①证明动圆圆心 C 在一条直线上运动; ②动圆 C 是否过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

湖北省普通高中联考 2014-2015 学年高二上学期期末数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题( 本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)由直线与圆相切时,圆心到切点连线与直线垂直,想到平面与球相切时,球心与 切点连线与平面垂直,用的是() A.归纳推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.其它推理 考点: 专题: 分析: 解答: 故选 C 点评: 类比推理. 常规题型. 从直线想到平面,从圆想到球,即从平面类比到空间. 解:从直线类比到平面,从圆类比到球,即从平面类比到空间.用的是类比推理. 本题主要考查学生的知识量和对知识的迁移类比的能力. 是实数,则 z=(2+i) (a﹣i)的共轭复数是() C.1﹣3i D.﹣1+3i

2. (5 分)已知 a 是实数, A.﹣3﹣i B.3+i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、虚数为实数的充要条件、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:∵a 是实数, = = 是实数,则 1+a=0,

解得 a=﹣1. ∴z=(2+i) (a﹣i)=﹣(2+i) (1+i)=﹣(1+3i)=﹣1﹣3i 的共轭复数是﹣1+3i. 故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则、虚数为实数的充要条件、共轭复数的定义,属于基础 题.

3. (5 分)如图是某人按打中国联通客服热线 10010,准备借助人工台咨询本手机的收费情 况,他参照以下流程,拨完 10010 后,需按的键应该是()

A.1

B. 7

C. 8

D. 0

考点: 流程图的作用. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: 根据流程图,因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况,所以按 0. 解答: 解:根据流程图,因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况,所以按 0. 故选:D. 点评: 本题考查流程图的作用,正确读图是关键. 4. (5 分)要从编号为 01~50 的 50 枚最新研制的某型号导弹中随机抽出 5 枚来进行发射试 验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定, 在选取的 5 枚导弹的编号可能是 () A.05,10,15,20,25 B. 03,13,23,33,43 C. 01,02,03,04,05 D.02,04,08,16,32 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义,则抽样间隔相同即可得到结论. 解答: 解:若采用系统抽样,则抽样间隔为 50÷5=10, 故只有 B 满足条件, 故选:B 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,比较基础. 5. (5 分)下面的程序运行的功能是()

A.求 1+ + +…+ C. 求 1+1+ + +…+

的值 的值

B. 求 1+ + +…+ D.求 1+1+ + +…+

的值 的值

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

分析: 模拟执行程序语句可知程序的功能是计算并输出 S 的值,i≤2014, S=1+1+ … .

解答: 解:模拟执行程序语句可得:i=1,S=1,控制循环的条件为 i≤2014, 按照算法最后得到的结果应该为计算并输出 S 的值. S=1+1+ … .

故选:D. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法, 正确分析循环语句的功能是解题的关键, 属于基 础题. 6. (5 分)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次.两人成绩的统计表如甲表、乙表所示, 则: () 甲表: 环数 4 5 6 7 8 频数 1 1 1 1 1 乙表: 环数 5 6 9 频数 3 1 1 A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B. 甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 C. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差 考点: 专题: 分析: 解答: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 概率与统计. 根据表中数据,求出甲、乙的平均数,中位数,方差与极差,即可得出结论. 解:根据表中数据,得; = = =6, =6;

甲的平均数是 乙的平均数是

甲的中位数是 6,乙的中位数是 5; 甲的方差是 乙的方差是 = =2, = =2.4;

甲的极差是 8﹣4=4,乙的极差是 9﹣5=4; 由以上数据分析,符合题意的选项是 C. 故选:C. 点评: 本题考查了平均数、中位数、方差与极差的计算问题,是基础题目.

7. (5 分)记曲线 y=

与 x 轴所围成的区域为 D,若直线 y=ax﹣a 把 D 的面积分为

1:2 的两部分,则 a 的值为() A.± B. C. ± D.

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出曲线的方程,利用直线过圆心确定直线的倾斜角即可得到结论. 解答: 解:由 y= 得(x﹣1) +y =1, (y≥0) ,
2 2

则区域 D 表示(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆, 而 y=ax﹣a=a(x﹣1) ,过定点(1,0) ,即过圆心, 若直线 y=ax﹣a 把 D 的面积分为 1:2 的两部分,则直线的倾斜角为 60°或 120°, ∴当 a=tan60°或 a=tan120°, 即 a=± 时,直线 y=ax﹣a 把 D 的面积分为 1:2 的两部分, 故选:A.

点评 : 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用, 根据直线过圆心的性质是解决本题的关 键. 8. (5 分)在区间上任取一个数 m,则“函数 f(x)=x ﹣4x﹣m+4(﹣1≤x<4)有两个零点” 的概率是() A. B. C. D.
2

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 2 2 分析: 设 g(x)=(x﹣2) (﹣1≤x<4) ,函数 f(x)=x ﹣4x﹣m+4(﹣1≤x<4)有两 个零点,可得 y=g(x)的图象与直线 y=m 有两个交点,求出 m 的范围,即可得出概率. 2 2 2 解答: 解:f(x)=x ﹣4x﹣m+4=(x﹣2) ﹣m,设 g(x)=(x﹣2) (﹣1≤x<4) , 2 ∵函数 f(x)=x ﹣4x﹣m+4(﹣1≤x<4)有两个零点, ∴y=g(x)的图象与直线 y=m 有两个交点, ∴m∈(0,4) ,

∴在区间上任取一个数 m,“函数 f(x)=x ﹣4x﹣m+4(﹣1≤x<4)有两个零点”的概率是 = . 故选:B. 点评: 本题是一个几何概型, 对于这样的问题, 一般要通过把试验发生包含的事件同集合 结合起来,根据集合对应的图形得到结果. 9. (5 分)执行如图程序框图.若输入 n=20,则输出的 S 值是 ()

2

A.

B.

C.

D.

考点: 循环结构. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,可知该算法的功能是计算并输出数列{ 项和,由裂项法即可求值. 解答: 解:模拟执行程序框图,可知该算法的功能是计算并输出数列{ 求 10 项和. S= + + +…+ }的 }的求 10

= = =

+ (1 .

+

+…+ ﹣ +… ﹣ )

故选:A. 点评: 本题主要考察了循环结构和裂项法求数列的前 n 项和,属于基础题. 10. (5 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =1 和两点 A(1﹣m,0) ,B(1+m,0) ,m>0, 若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为() A.7 B. 6 C. 5 D.4
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据圆心 C 到 O (0, 0) 的距离为 5, 可得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6. 再 由∠APB=90°,可得 PO= AB=m,可得 m≤6,从而得到答案 解答: 解:圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =1 的圆心 C(3,4) ,半径为 1, ∵圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5, ∴圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6. 再由∠APB=90°,以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点,可得 PO= AB=m,故有 m≤6, 故选:B. 点评: 本题主要直线和圆的位置关系,求得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6,是 解题的关键,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)某地区有 600 家商店,其中大型商店有 60 家,中型商店有 150 家.为了掌握各 商店的营业情况.要从中抽取一个容量为 40 的样本.若采用分层抽样的方法,抽取的中型 商店数是 10. 考点: 专题: 分析: 解答: 则 分层抽样方法. 概率与统计. 根据分层抽样的定义建立比例关系即可. 解:设抽取的中型商店数为 x, ,解得 x=10,
2 2

故答案为:10 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键. 12. (5 分)若复数 z= ,则|z|= .

考点: 复数求模. 专题: 计算题. 分析: 先将复数 z 进行化简,再求出 z 的模即可. 解答: 解:z= = =﹣1+2i,

∴|z|= = , 故答案为: . 点评: 本题考查了化简复数问题,考查了求复数的模,是一道基础题. 13. (5 分)下列是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据,由其散点图可知,用 水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是 =﹣0.7x+ ,则 =5.25.

月 份x 用水量 y

1 4.5

2 4

3 3

4 2.5

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;应用题. 分析: 根据所给的数据,做出 x,y 的平均数,即得到样本中心点,根据所给的线性回归 方程,把样本中心点代入,只有 a 一个变量,解方程得到结果. 解答: 解:∵ =3.5 ∴ = ﹣ =3.5+0.7×2.5=5.25.

故答案为:5.25 点评: 本题考查线性回归方程,考查样本中心点的性质,考查线性回归方程系数的求法, 是一个基础题,本题运算量不大,是这一部分的简单题目. 14. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值为﹣3

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,s 的值,当 i=2016 时,不满足条 件 i<2015,退出循环,输出 S 的值为﹣3. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 i=0,S=2 满足条件 i<2015,i=2,S= 满足条件 i<2015,i=4,S=﹣ 满足条件 i<2015,i=6,S=﹣3 满足条件 i<2015,i=8,S=2 满足条件 i<2015,i=10,S= … 观察规律可知 S 的取值以 4 为周期,由 2014=503*4+2 满足条件 i<2015,i=2014,S=﹣

满足条件 i<2015,i=2016,S=﹣3 不满足条件 i<2015,退出循环,输出 S 的值为﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,正确写出每次循环得到的 i,s 的值是解题的关 键,属于基础题. 15. (5 分)△ ABC 中,A(1,1) ,B(5,﹣5) ,C(0,﹣1) .则 AB 边上的中线所在直线 与 AC 边上的高所在直线的交点坐标为(﹣9,2) . 考点: 直线的一般 式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用中点坐标公式可得:线段 AB 的中点为(3,﹣2) ,再利用点斜式可得 AB 边 上的中线所在直线方程为 y+1= 即可得出 AC 边上的高所在直线的方程为 .利用斜率计算公式可得 kAC= ,联立解出即可. =2,

解答: 解:线段 AB 的中点为(3,﹣2) ,∴AB 边上的中线所在直线方程为 y+1= ∵kAC= ,化为 x+3y+3=0. =2, ∴AC 边上的高所在直线的方程为 , 化为 x+2y+5=0.

联立

,解得



∴AB 边上的中线所在直线与 AC 边上的高所在直线的交点坐标为(﹣9,2) . 故答案为: (﹣9,2) . 点评: 本题考查了中点坐标公式、 相互垂直的直线斜率之间的关系、 点斜式、 直线的交点, 考查了计算能力,属于基础题. 16. (5 分)从集合 A={1,2,4,5,10}中任取两个不同的元素 a,b,则 (1)lga+lgb=1 的概率为 (2)b>2a 的概率为 .

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;对数的运算性质. 专题: 概率与统计. 分析: 所有的取法共有 20 种方法,用列举法求得其中,分别求出满足条件的取法,由此 求得所求事件的概率. 解答: 解:从集合 A={1,2,4,5,10}中任取两个不同的元素 a,b,所有的基本事件为 (1,2) , (1,4) , (1,5) , (1,10) , (2,1) , (2.4) , (2,5) , (2,10) , (4,1) , (4,2) , (4,5) , (4,10) , (5,1) , (5,2) , (5,4) , (5,10) ,

(10,1) , (10,2) , (10,4) , (10,5) , 共 20 种, (1)∵lga+lgb=1, ∴ab=10, ∴满足 lga+lgb=1 的有(1,10) , (10,1) , (2,5) , (5,2)共 4 种, ∴lga+lgb=1 的概率为 =

(2)b>2a 的基本事件有(1,4) , (1,5) , (1,10) , (2,5) , (2,10) , (4,10) ,共 6 种, ∴b>2a 的概率为 故答案为: , 点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,属于基础题.
n

=

17. (5 分)已知 an=( ) ,把数列{an}的各项排列如图的三角形状,记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 (1)A(4,5)=( ) (2)A(m,n)=
14



考点: 归纳推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 通过观察给出图形的特点,得到图形中的每一行所占数列{an}的项的个数构成以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,然后运用等差数列前 n 项和公式,则问题得到解决. 解答: 解:由三角形状图可知,图中的第一行、第二行、第三行、…分别占了数列{an}的 1 项、3 项、5 项、…, 每一行的项数构成了以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, 设 A(m,n)是数列{an}的第 k 项,则 (1)A(4,5)是数列{an}的第 1+3+5+5=14 项,所以 A(4,5)=( ) , (2)A(m,n)是数列{an}的第 1+3+5+…+(2m﹣3)+n=(m﹣1) +n 项,故 A(m,n) = 故答案为: ( ) ,
14 2 14



点评: 本题考查了等差数列的定义 及通项公式,考查了学生的读图能力,考查了数学转 化思想方法,解答此题的关键是求解 A(m,n)是数列{an}的第 1+3+5+…+(2m﹣3)+n= 2 (m﹣1) +n 项,此题是中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18. (12 分)在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日,评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方 图(如图) ,已知从左到右各长方形的高的比为 2:3:4:6:4:1,第三组的频数为 12,请 解答下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数量最多?共有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪组获奖率高?

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (1)利用高之比等于频率之比,根据第三组的频率建立等量关系,求出样本容量 即可. (2)矩形高最高的就是上交作品数最多的,根据第四组的频率建立等量关系,即可求得频 数. (3) 先求出第四组和第六组的作品数, 再根据第四组和第六组的作品获奖数求出获奖概率, 比较大小即可. 解答: 解: ( 1)因为 所以本次活动共有 60 件作品参加评比. (4 分) (2)因为 所以第四组上交的作品数量最多,共有 18 件. (8 分) (3)因为 所以 ,所以第六组获奖率高.

点评: 本题考查频数, 频率及频率分布直方图, 考查运用统计知识解决简单实际问题的能 力,数据处理能力和运用意识.在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于 1, 每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量. 频率分布直方图中, 小矩形的高等于每一 组的频率/组距,它们与频数成正比,小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的 回答,要选择适当的数据特征进行考查,根据数据特征分析得出实际问题的结论.

19. (12 分)已知圆 C 的圆心在直线 y=x﹣1 上,且 A(2,0) ,B( , )在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; 2 (2)若圆 M:x +(y﹣2
2 2

) =r (r>0)与圆 C 相切.求直线 y=

x 截圆 M 所得弦长.

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)设出圆的一般方程,利用待定系数法即可求圆 C 的方程; (2)根据圆与圆相切的条件,结合直线和圆心相交的弦长公式即可得到结论. 2 2 解答: 解: (1)设圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, ∵圆心在直线 y=x﹣1 上,且 A(2,0) ,B( , )在圆 C 上,



,解得



即圆 C 的方程为 x +y ﹣2x=0; 2 2 2 (2)∵圆 M:x +(y﹣2 ) =r (r>0)与圆 C 相切. ∴ 圆心 M 坐标为(0,2 ) , 2 2 圆 C 的标准方程为(x﹣1) +y =1, 圆心 C 坐标为(1,0) ,半径 R=1, 当两圆外切时,|CM|=3=1+r,解得 r=2, 当两圆内切时,|CM|=3=r﹣1,解得 r=4, ∵M 当直线 y= x 的距离 d= x 截圆 M 所得弦长 l= x 截圆 M 所得弦长 l= , , .

2

2

∴当 r=2 时,直线 y= ∴当 r=4 时,直线 y=

点评: 本题主要考查圆的方程的求解, 以及直线弦长公式的应用, 利用两圆相切的等价条 件求出圆的半径是解决本题的关键. 20. (13 分)设 x +2ax+b =0 是关于 x 的一元二次方程. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数个中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,求方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间上任取一个数,b 是从区间上任取一个数,求方程有实根的概率. 考点: 几何概型;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题. 2 2 2 2 分析: 由题意可得方程有实根的充要条件为:△ =(2a) ﹣4b ≥0,即 a ≥b . (1)基本事件共有 12 个,其中(0,0) , (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3, 0) , (3,1) , (3,2) ,代入几何概率的求解公式可求
2 2

(2 )试验的全部结果构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},满足题意的区域为:{(a, b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},分别求解区域的面积,可求 解答: 解:方程有实根的充要条件为:△ =(2a) ﹣4b ≥0,即 a ≥b . (1)基本事件共有 12 个,其中(0,0) , (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3, 0) , (3,1) , (3,2)满足条件,则 .
2 2 2 2

(2 )试验的全部结果构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}, 满足题意的区域为:{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 所以,所求概率为 .…(12 分)

点评: 本题主要考查了古典概率的求解及与面积有关的几何概率的求解, 属于基本方法的 简单应用 21. (14 分)先阅读下列不 等式的证法,再解决后面的问题: 已知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a1 +a2 ≥ ; 证明:构造函数 f(x)=(x﹣a1) +(x﹣a2) ,f(x)=2x ﹣2(a1+a2)x+a1 +a2 =2x ﹣ 2 2 2x+a1 +a2 , 因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0,所以△ =4﹣8(a1 +a2 )≤0,从而 a1 +a2 ≥ . (1)已知 a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述结论的推广式; (2)参考上述证法,对你的推广的结论进行证明; (3)若 + + =1,求 x+y+z 的最大值.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

考点: 归纳推理;不等式的证明. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: (1)由已知中已知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证 a1 +a2 ≥ 及整个式子的证明过程, 我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式,若 a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,则 a1 +a2 +…+an ≥ ; (2)观察已知中的证明过程,我们可以类比对此公式进行证明; (3)由(2)知,a1+a2+a3=1,a1 +a2 +a3 ≥ ,令 a1= 则 1﹣x+2﹣y+3﹣z≥ ,即可求出 x+y+z 的最大值. 解答: 解: (1)若 a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1, 求证:a1 +a2 +…+an ≥ (2)证明:构造函数 2 2 2 f(x)=(x﹣a1) +(x﹣a2) +…+(x﹣an) 2 2 2 2 =nx ﹣2(a1+a2+…+an)x+a1 +a2 +…+an
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+=,a2=

,a3=



=nx ﹣2x+a1 +a2 +…+an 2 2 2 因为对一切 x∈R,都有 f(x)≥0,所以△ =4﹣4n(a1 +a2 +…+an )≤0 从而证得:a1 +a2 +…+an ≥ ; (3)由(2)知,a1+a2+a3=1,a1 +a2 +a3 ≥ , 令 a1= ∴x+y+z≤ ,a2= , ,z= 时,x+y+z 的最大值为 . ,a3= ,则 1﹣x+2﹣y+3﹣z≥ ,
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

当且仅当 x= ,y=

点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . (3)对归纳得到的一般性结论进行证 明. 22. (14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+1) +y =1,圆 C2: (x﹣3) 2 2 +(y﹣4) =1 (1)若过点(﹣2,0)的直线 l 与圆 C1 交于 A,B 两点,且 ? = ,求直线 l 的方程;
2 2

(2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长,圆 C2 的周长, ①证明动圆圆心 C 在一条直线上运动; ②动圆 C 是否过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

考点: 直线和圆的方程的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 综合题;平面向量及应用;直线与圆. 分析: (1) 设出直线 l 的方程, 代入圆 C1 的方程, 得出 A、 B 两点的坐标关系, 计算 ?

的值,从而求出 l 的方程; (2)①设出圆心 C 的坐标,由题意得 CC1=CC2,列出方程,得出动圆圆心 C 的轨迹方程; ②动圆 C 过定点,设出 C(m,3﹣m) ,写出动圆 C 的方程,与直线 C1C2 的方程组成方程 组,求出定点的坐标. 2 2 解答: 解: (1)设直线 l 的方程为 y=k(x+2) ,代入(x+1) +y =1,得 2 2 2 2 (1+k )x +(4k +2)x+4k =0; 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1x2= ;

∵点(﹣2,0)在 C1 上,不妨设 A(﹣2,0) , 则 ?
2

=x1x2+y1y2=x1x2=

= ;

解得 k =2 k=± ; ∴l 的方程为 y=± (x+2) ; (2)①设圆心 C(x,y) ,由题意,得 CC1=CC2; 即 = ;

化简得 x+y﹣3=0; 即动圆圆心 C 在定直线 x+y﹣3=0 上运动; ②圆 C 过定点,设 C(m,3﹣m) ,则动圆 C 的半径为 =
2


2 2 2

∴动圆 C 的方程为(x﹣m) +(y﹣3+m) =1+(m+1) +(3﹣m) , 2 2 整理,得 x +y ﹣6y﹣2﹣2m(x﹣y+1)=0; 与直线 C1C2 的方程组成方程组 ,

解得

,或



∴定点的坐标为(1﹣ (1+ ,2+ ) .

,2﹣

) ,

点评: 本题考查了平面向量数量积的应用问题, 也考查了直线与平面的综合应用问题, 考 查了求点的轨迹的应用问题,是综合性题目.


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