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高一数学必修五综合试题(解三角形,数列,不等式)



云中高 2015 级第 8 周数学作业 (必做)
命题人:王 俊
一.选择题(本大题满分 50 分 ,每题 5 分.在每 题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求.) 1. 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a 3 是 a1 与 a4 的等比中项, 则 a 2 ? ( A. ?4 B. ?6 C. ?8 o o 2. 在△ABC 中,B=45 ,C=60 ,c=1,则最短边的边长等于( A、 D. ?10 ) D、 )

6 3

B、

6 2


C、

1 2

3 2
1 1 1 ? ? a b c

3. 若 a ? b ? c ,则一定成立的不等式是( A. a c ? b c B. ab ? ac

C. a ? c ? b ? c

D.

?2x ? y ? 4 ? 4. 设 x , y 满足: ? x ? y ? ? 1 ,则 z?x?y( ?x? 2y ? 2 ?

)

A.有最小值 2,最大值 3 B.有最大值 3,无最小值 C.有最小值 2,无最大值 D.即无最小值,也无最大值 5.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 6. 正项等比数列 ? a n ? 满足 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则 ㏒ ㏒㏒ =( a2 2 . ?n ??? a a. . . a 2 ㏒ . . 2? 1 3 5. 2 1 A. n?2n?1? B. ? n ? 1?
2

)

C. ? n ? 1?

2

D. n

2

7. 某人向正东方向走了 x 千米,他右转 150 ? ,然后朝新方向走了 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米,那么 x 的值是( A. 3 ) B. 2 3 C. 3 或 2 3 D. 3 2 )

8. 已知△ABC 的角 A,B,C 所对的三边 a,b,c 成等比数列,则 sinB+cosB 的取值范围是(
1 3 3 B.[ ,1+ C. (1, 2 ] ] ] 2 2 2 f (0) ? 1 2 9.设 f1 ( x) ? ,则 a2013 等于( , f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)] ,且 an ? n f n (0) ? 2 1? x

A.(1,1+

D.[ )

1 , 2] 2

A. (?

10.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 (2, 0) 成中心对称,若 x, y 满足不等式
f ( x2 ? 2 x) ? ? f (2 y ? y 2 ) .则当 1 ? x ? 4 时, x ? 2 y 的取值范围是( A. [0,10] B. [0,12] C. [?1,11]

1 2012 ) 2

B. (?

1 2013 ) 2

C.

1 (? )2014 2
)

D. (?

1 2015 ) 2

D. [?1,12]

二、填空题(本大题 共 5 个小题,每题 5 分,共 25 分) 11. 等差数列 {an }中 a1 ? a4 ? a7 ? 39, a6 ? 9 则数列 ?an ? 的前 9 项的和 S9 等于_____________________. ,

x2? 3 a?? 的解集是 ?︱ x? ,则不等式 b ?x 1 0 x a??的解集为______________________. 12. 不等式 x?x b 0
2 2

?

-1-

13.若 x, y ? R ? ,且 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,则 x ? y 的最小值为_____________________. 14. 在 ?ABC 中, B ? 3 A ,则

b 的取值范围为______________________. a
*

15. 在数列 {a n } 中,如果对任意 n ? N 都有

an ? 2 ? an ?1 ? k ( k 为常数) ,则称 {an } 为等差比数列, k 称为公 an ?1 ? an

差比. 现给出下列命题:⑴等差比数列的公差比一定不为 0; ⑵等差数列一定是等差比数列; ⑶若 an ? ?3 ? 2 ,则数列 {an } 是等差比数列;
n

⑷若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比.

其中正确的命题的序号为________________________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16. (本题满分 13 分)在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? ABC 的面积。

cos C 3a ? c ? , cos B b

17. (本题满分 13 分)已知等差数列{an}中,a1=1,公差 d>0,且 a2、a5、a14 分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、 第四项。 (1)求数列{an}、{bn}的通项 an、bn ; (2)设数列{cn}对任意的 n∈N*,均有

c c1 c2 ? +…+ n =an+1 成立,求 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? c2012 ? c2013 的值。 b1 b2 bn

-2 -

18. (本题满分 13 分) 已知不等式 x ? 5x ? 4 ? 0 的解集为 N , 关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 的解集为 M ;
2 2

(1)若 N ? M ,求 a 的取值范围; (2)若 M ? N 求 a 的取值范围;

19. (本题满分 12 分)本地一公司计划 2008 年在省、市两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用 不超过 9 万元,省、市电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定省、市两个电视台为该公 司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在省、市两个电视台 的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

-3-

20. (本题满分 12 分)设 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,若 a ? b ? c ? 0,? f (0) ? 0,? f (1) ? 0 , (1)求证: a ? 0且 ? 2 ?

b ? ?1 ; (2)求证:方程 f ( x) ? 0 在(0,1)内有两个实根. a

(3)设方 f ( x) ? 0 的两个实根为 x1 , x2 ,求 x1 ? x2 的范围。

21. (本题满分 12 分)已知数列 {an },{bn } 满足: a1 ?

b 1 , an ? bn ? 1, bn ?1 ? n 2 。 4 1 ? an

(1)求证:数列 {

1 } 等差数列; bn ? 1

(2)设 S n ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1 ,若 4a ? Sn

? b1 ? b2 ? b3 ?? bn 对 n ? N * 恒成立,求实数 a 的取值范围。

-4-

参考答案
一、选择题:BACCD DCCCB 二、填空题:11. 99 12. (? , ? )

1 3

1 2

13.18

14. (1,3)

15.①③④

16、 (1)由正弦定理及 解:

cos C 3a ? c cs C 3n sA ? C o s i n i i B ? ? , 有 , s cs 即n o cos B b cs B o s n i B

Cn ?cs An cs 3i o s o s i B

?C

B



所以 sin(B ? C ) ? 3sin A cos B ,又因为 A ? B ? C ? π , sin( B ? C ) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cos B ,因为

sin A ? 0 ,所以 cos B ?

1 2 2 2 ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? 。 3 3
2 2

2 ac ? 32 ,又 a ? c , 3 4 2 1 1 2 2 所以有 a ? 32,即a ? 24 ,所以 ? ABC 的面积为 S ? ac sin B ? a sin B ? 8 2 3 2 2
(2)在 ? ABC 中,由余弦定理可得 a ? c ? 17、解:(Ⅰ)由题意,有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2. ……2 分 而 a1=1,d>0.∴d=2,∴an=2n-1. ……3 分 公比 q=

a5 =3,a2 =b2=3. ∴bn=b2·qn-2 =3·3 n-2 =3 n-1. a2

……2 分

(Ⅱ)当 n=1 时,

c c c c c1 c c c =a2 ,∴c1=1×3=3.当 n≥2 时,∵ 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? an , …① 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? a n ?1 . …② b1 b1 b2 bn ?1 b1 b2 bn?1 bn

②—①,得

n ? 1; ?3 cn ? an ?1 ? an ? 2, ∴cn=2bn= 2·n?1 (n ? 2) ,∴cn= ? 3 n ?1 bn ?2·3 , n ? 2.
3(1-32012 ) ? 32015. 1? 3
……2 分

……4 分

∴c1+c2+c3+…+c2005=3+2(31+32 +33+…+32012 ) =3+2· 18、

y
500 400

300

l

200 100

M

19.解:设公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为 x 分钟

? x ? y ≤ 300, ? 和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得 ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ? 目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .

0

100

200 300

x

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
如图:
-5-

作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. .2 ? 点0 的坐标为 (100, x ?1 0 y ? ,0 0 M 200) . ? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元) 联 立

? x ? y ? 300, 解 得 ? ?5 x ? 2 y ? 900.

答:该公司在省电视台做 100 分钟广告,在市电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元. 20、 [解答](1)∵ f (0) ? 0, f (1) ? 0, 所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0. ;由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b 得 a ? c ? 0 ; 由条件 a+b+c=0 消去 c,得 a ? b ? 0,2a ? b ? 0. 故 ?2 ?

b ? ?1. a

(2)抛物线 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的对称轴为 x ? ?

b b 1 b 2 ?1 2? ,由 ?2 ? ? ?1 得 ? ? ? . 即对称轴 x ? ? , ? ;而 3a a 3 3a 3 ?3 3?

? ? 4b2 ? 12ac ? 4 ?( ?a ? c) 2 ?3ac ? ? 4( a 2 ?c 2 ?ac) ?0, 且 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以方程 f(x)=0 在区间(0,1)内 ? ?
有两个不等的实根.(3) x1 ? x2
2

?

4 b 3 2 1 3 2 b ( ? ) ? ,又因为 ?2 ? ? ?1. 所以 ? x1 ? x2 ? 。 9 a 2 3 a 3 3

21、 【解析】(1)? an ? bn ? 1, bn ?1 ?

bn 1 1 1 1 ? ,? bn ?1 ? (*),又 a1 ? ,由 bn ?1 ? 两边同减去 1, 2 1 ? an 1 ? an 2 ? bn 2 ? bn 4

得 bn ?1 ? 1 ?

b ?1 b ?2 1 1 1 1 1 ?1 ? ? n ?? n ? ? 1 ,又 ; 对上式取倒数,得 ? ? ?4 3 2 ? bn bn ? 2 bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1 b1 ? 1 ?1 4 1 1 1 } 是以 ? 4 为首项, ?1为公差的等差数列, ? ? ?4 ? (n ? 1) ? ?n ? 3 ,即 bn ? 1 ? ? , bn ? 1 bn ? 1 n?3

则数列 {

?bn ?

n?2 n?3
1 1 1 n?2 1 ? ? ,而 an ? an ?1 ? ? (n ? 3)( n ? 4) n ? 3 n ? 4 n?3 n?3

(3)由(2)知 an ? 1 ? bn ? 1 ?

又 S n ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1 ,则有 又因 4a ? Sn

1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? 4 5 5 6 n?3 n?4 4 n?4

? b1 ? b2 ? b3 ?? bn 对 n ? N * 恒成立,则有 a (

n 3 a n?4 )? 即 ? 2 对 n ? N * 恒成立。 n?4 n ? 3 3 n ? 3n

设函数 g (n) ?

n?4 5 , 则 所以 g (n) 是单调递减,则当 n ? 1 时, g (n) 取得最大值为 , 2 n ? 3n 4 g (n ? 1) ? g (n) ? 0
[来源:Z§xx§k.Com]

即a?

15 15 所以实数 a 的取值范围为 ( ,??) 。 4 4

-6-

-7-


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