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陕西省宁强县天津高级中学2010-2011学年全国数学竞赛试题


2010 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A)
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分)

B ? A1P ? B1 ? ? ,则 sin ? ? _____________. 8.方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解 ( x, y, z ) 的个数是_____________.

考试 时间:2010 年 10 月 17 日 9:40—12:10

一、 (本题满分 40 分) 如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O , K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) D , 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N ,直线 CD 与 AB 交于点 M . 求证:若 OK⊥MN ,则 A, B, D, C 四点共圆.

二、 (本题满分 40 分)
1 设 k 是给定的正整数, r ? k ? .记 f(1) r) ? f (r) ? r ?r ? , f(l) r ) ? f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 . ( ( ? ? 2 证明:存在正整数 m ,使得 f ( m ) (r ) 为一个整数.这里, ? x ? 表示不小于实数 x 的最小 ? ?

?1? 整数,例如 ? ? ? 1, ?1? ? 1 . ?? ?2?

三、 (本题满分 50 分) 给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 ,?, an 满足 ak ? 1 , k ? 1, 2,?, n ,记 a ? a ? ? ? ak Ak ? 1 2 , k ? 1, 2,? , n. k n n n ?1 求证: ? ak ? ? Ak ? . 2 k ?1 k ?1 四、 (本题满分 50 分) 一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中 的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点 的数字或颜色中至少有一个相同.问:这种密码锁共有多少种不同的密码设置.

2010 年全国高中数学联合竞赛
一试试题参考答案与评分标准

一、填空题 1. [?3, 3] . 3. 9800 . 2. ?

1 . 4 10 7. . 4
5. ? 1. 2..

3 ? a ? 12 2 4. 3 ? 3 3 . 12 6. . 17
8. 336675 .

3. 由对称性知,只需先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1, 2,?,99) 与双曲线右半支交于点 Ak , 与直线 x ? 100 交于点 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整 点的个数为

? (99 ? k ) ?99 ? 49,
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点, 则所求整点个数为 2 ? 49 ? 99+98=9800 . 4.

5.

6.

=

12 . 17

7.

8.

二、解答题 9.

10.

11.

2010 年全国高中数学联合竞赛

加试试题参考答案与评分标准

一、

二、

三、

四、


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