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四川省内江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


四川省内江市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,5},B={2,3},则?u(A∪B)= () A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 2. (5 分)函数 y= A.(0,1) 的定义域为() D.<

br />2 3 x

B.

3. (5 分)下列四个函数 y=2x +1,y=x ,y=( ) ,y=2sinx 中,奇函数的个数是() A.4 B. 3 C. 2 D.1

4. (5 分)已知 sinα=﹣ ,cosα=﹣ A.第一象限 B.第二象限

,则角 α 终边所在的象限是() C.第三象限 D.第四象限

5. (5 分)一个扇形的弧长与面积的数值都是 4,这个扇形的中心角的弧度数为() A.4 B. 2 C. 3 D.1

6. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f=()

A.9

B. ﹣

C . ﹣9

D.

7. (5 分)当 0<x<1 时,则下列大小关系正确的是() A.x <3 <log3x
3 x

B.3 <x <log3x

x

3

C.log3x<x <3

3

x

D.log3x<3 <x

x

3

8. (5 分)若函数 f(x)=(x﹣1) (x﹣3)+(x﹣3) (x﹣4)+(x﹣4) (x﹣1) ,则函数 f(x) 的两个零点分别位于区间() A.(1,3)和(3,4)内 B.(﹣∞,1)和(1,3)内 C. (3,4) 和(4,+∞)内 D. (﹣∞,1)和(4,+∞)内 9. (5 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)=a
﹣x

+b 的图象是()

A.

B.

C.
2

D.
2

10. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣6x+1,g(x)=﹣x ﹣2x+7,设 H1(x)=max{f(x) ,g(x)}, H2(x)=min{f(x) ,g(x)}(其中 max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表示 p、q 中的较小值)记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A﹣B=() A.﹣17 B.17 C.﹣16 D.16

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)计算: ( ) ﹣lg5+|lg2﹣1|=.

12. (5 分)已知 α∈(π,

) ,cosα=﹣

,则 tanα=.

13. (5 分)已知指数函数 y=f(x)和幂函数 y=g(x)的图象都过 P( ,2) ,如果 f(x1)=g (x2)=4,那么 x1+x2=. 14. (5 分)若定义域为 R 的偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,且 f(1)=0,则不等式 f(log2x)>0 的解集为.

15. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象连续不断,若存在常数 t(t∈R) ,使得 f(x+t) +tf(x)=0 对任意的实数 x 成立,则称 f(x)是回旋函数,其回旋值为 t,给出下列四个命题: ①函数 f(x)=4 为回旋函数,其回旋值 t=﹣1; x ②若 y=a (a>0,且 a≠1)为回旋函数,则回旋值 t>1; ③若 f(x)=sinωx(ω≠0)为回旋函数,则其最小正周期不大于 2; ④对任意一个回旋值为 t(t≥0)的回旋函数 f(x) ,函数 f(x)均有零点. 其中正确的命题是(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|2<x<8},B={x|x≥6},求 A∩B,A∪B, (?uA)∩B. 17. (12 分)已知角 α 顶点在坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,终边经过点 P(﹣3,4) . (1)求 sinα,tanα 的值;

(2)若 f(x)=

,求 f(α)的值.

18. (12 分)已知奇函数 f(x)=

定义域为 R,其中 a,b 为常数.

(1)求 a,b 的值; 2 (2)若函数 g(x)=log2(bx ﹣3x+m) (m∈R)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. 19. (12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥 上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流 密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车 流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) . 20. (13 分)已知 f(x)=sinx,若将 f(x)的图象先沿 x 轴向左平移 个单位,再将所得图

象上所有点横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 4 倍,最后将所得图象上所有点横坐标缩短为 原来的一半,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图象. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)求函数 g(x)的单调区间; (3)设函数 h(x)=g(x)﹣k(∈)的零点个数为 m,试求 m 关于 k 的函数解析式. 21. (14 分)设函数 fk(x)=x +bx+c(k∈N ,b,c∈R) ,g(x)=logax(a>0,且 a≠1) (1)若 b+c=1,且 fk(1)=g( ) ,求 a 的值;
k *

(2)记函数 f2(x)在上的最大值为 M,最小值为 m,求 M﹣m≤4 时 b 的取值范围; (3)判断是否存在大于 1 的实数 a,使得对任意 x1∈,都有 x2∈满足等式 g(x1)+g(x2)=p, 且满足该等式的常数 p 的取值唯一?若存在,求出所有符合条件的 a 的值;若不存在,请说明 理由.

四川省内江市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,5},B={2,3},则?u(A∪B)= () A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵A={1,2,5},B={2,3}, ∴A∪B={1,2,3,5}, 则?u(A∪B)={4}, 故选:C. 点评: 本题 主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础. 2. (5 分)函数 y= A.(0,1) 的定义域为() D.

B.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可直接得到不等式组 而选出正确选项 解答: 解:由题意,自变量满足 ,解得 0≤x<1,即函数 y= 的定 ,解出其解集即为所求的定义域,从

义域为 ∴角 α 终边所在的象限是第三象限. 故选:C. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,考查角 α 终边所在的象限的确定,属于基础题. 5. (5 分)一个扇形的弧长与面积的数值都是 4,这个扇形的中心角的弧度数为() A.4 B. 2 C. 3 D.1 考点: 弧度与角度的互化.

专题: 三角函数的求值. 分析: 利用弧长公式直接求解. 解答: 解:∵一个扇形的弧长与面积的数值都是 4, ∴ ,解得 R=2,

∴这个扇形的中心角的弧度数 α= = =2. 故选:B. 点评: 本题考查扇形图心角的求法,是基础题,解题时要注意弧长公式的合理运用.

6. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f=()

A.9

B. ﹣

C . ﹣9

D.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,

∴f( )=log2 =﹣2, f=3 = . 故选:D. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 7. (5 分)当 0<x<1 时,则下列大小关系正确的是() 3 x x 3 3 x A.x <3 <log3x B.3 <x <log3x C.log3x<x <3
﹣2

D.log3x<3 <x

x

3

考点: 不等关系与不等式;对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 因为 0<x<1,所以可选取中间数 0,1,利用对数函数、幂函数、指数函数的单调 性即可比较出其大小. 3 0 x 解答: 解:∵0<x<1,∴log3x<log31=0,0<x <1,1=3 <3 , ∴ ,

故选 C. 点评: 掌握对数函数、指数函数、幂函数的单调性是解题的前提.

8. (5 分)若函数 f(x)=(x﹣1) (x﹣3)+(x﹣3) (x﹣4)+(x﹣4) (x﹣1) ,则函数 f(x) 的两个零点分别位于区间() A.(1,3)和(3,4)内 B.(﹣∞,1)和(1,3)内 C. (3,4) 和(4,+∞)内 D. (﹣∞,1)和(4,+∞)内 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)=(x﹣1) (x﹣3)+(x﹣3) (x﹣4)+(x﹣4) (x﹣1)可求 f(1) 、f(3) 、 f(4) ;从而确定函数的零点的区间. 解答: 解:∵f(x)=(x﹣1) (x﹣3)+(x﹣3) (x﹣4)+(x﹣4) (x﹣1) , ∴f(1)=(﹣2)×(﹣3)=6>0, f(3)=(3﹣4) (3﹣1)=﹣2<0, f(4)=(4﹣1) (4﹣3)=3>0; 故 f(1)f(3)<0,f(3)f(4)<0; 故函数 f(x)的两个零点分别位于区间(1,3)和(3,4)内; 故选 A. 点评: 本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 9. (5 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)=a
﹣x

+b 的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象;指数函数的图像与性质.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)的图象可得:0<a<1,b<﹣1,进而结合指 数函数的图象和性质,可得答案 . 解答: 解:由已知中函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)的图象可得: 0<a<1,b<﹣1, ∴ >1,1+b<0 ∴g(x)=a +b=( ) +b ∴g(x)为增函数,且过定点(0,1+b) 故选:B 点评: 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质, 其中根据已知分析出 0<a<1, b<﹣1, 是解答的关键. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣6x+1,g(x)=﹣x ﹣2x+7,设 H1(x)=max{f(x) ,g(x)}, H2(x)=min{f(x) ,g(x)}(其中 max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表示 p、q 中的较小值)记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A ﹣B=() A.﹣17 B.17 C.﹣16 D.16 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 2 分析: 化简 f(x)﹣g(x)=2x ﹣4x﹣6=2(x﹣3) (x+1) ;从而分段写出 H1(x) ,H2(x) ; 从而求函数的最大值与最小值,从而求函数的最值. 2 解答: 解:由题意,f(x)﹣g(x)=2x ﹣4x﹣6=2(x﹣3) (x+1) ; 故 H1(x)=max{f(x) ,g(x)} = ,
2 2
﹣x

x

结合二次函数的性质可得, H1(x)在(﹣∞,3)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数; 2 从而可得 A=H1(3)=3 ﹣6×3+1=﹣8; H2(x)=min{f(x) ,g(x)} = ,

H2(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数,在(﹣1,+∞)上是减函数; 从而可得 B=H2(﹣1)=1+6+1=8; 故 A﹣B=﹣16. 故选 C.

点评: 本题考查了分段函数的最值的求法及应用,属于中档题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)计算: ( ) ﹣lg5+|lg2﹣1|= .

考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数与对数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= = +1﹣1 = . ﹣lg5+1﹣lg2

故答案为: . 点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题. 12. (5 分)已知 α∈(π,

) ,cosα=﹣

,则 tanα=



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 α 的范围,根据 cosα 的值,求出 sinα 的值,即可确定出 tanα 的值即可. 解答: 解:∵α∈(π, ∴sinα=﹣ 则 tanα= 故答案为: = . . ) ,cosα=﹣ ,

=﹣ ,

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练 掌握基本关系是解本题的关键.

13. (5 分)已知指数函数 y=f(x)和幂函数 y=g(x)的图象都过 P( ,2) ,如果 f(x1)=g (x2)=4,那么 x1+x2= .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域;指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 待定系数法;函数的性质及应用. 分析: 根据题意,用待定系数法求出 f(x)与 g(x)的函数解析式,再由 f(x1)=g(x2) =4,求出 x1、x2 的值即可. x 解答: 解:设指数函数 y=f(x)=a (a>0a≠1) , α 幂函数 y=g(x)=x (α) ,

∵图象都过 P( ,2) ,∴



解得 a=4,α=﹣1, ∴f(x)=4 ,g(x)=x ; 又 f(x1)=g(x2)=4, ∴ ,
x
﹣1

解得 x1=1,x2= ,

∴x1+x2= . 故答案为: . 点评: 本题考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题,也考查了由函数值求自变量的 应用问题,是基础题目. 14. (5 分)若定义域为 R 的偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,且 f(1)=0,则不等式 f(log2x)>0 的解集为(0, )∪(2,+∞) .

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化,然后解不等式即可. 解答: 解:∵偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上单调递减, ∴f(x)在 16. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|2<x<8},B={x|x≥6},求 A∩B,A∪B, (?uA)∩B. 考点: 交、并、补集的混合运算;并集及其运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵A={x|2<x<8},B={x|x≥6}, ∴A∩B={x|6≤x<8}, A∪B={x|x>2}, (?uA)∩B={x|x≥8 或 x≤2}∩{x|x≥6}={x|x≥8}. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础. 17. (12 分)已知角 α 顶点在坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,终边经过点 P(﹣3,4) . (1)求 sinα,tanα 的值;

(2)若 f(x)=

,求 f(α)的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由题意,利用任意角的三角函数定义求出 sinα 与 cosα 的 值,即可确定出 tanα 的值即可; (2)f(x)利用诱导公式化简,把 x=α 代入表示出 f(α) ,将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵角 α 顶点在坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,终边经过点 P(﹣3,4) , ∴sinα= = ,cosα=﹣ =﹣ ,

则 tanα= (2)f(x)=

=﹣ ; ,

则 f(α)=

=

=﹣ .

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及运用诱导公式化简求值,熟练掌握 基本关系及诱导公式是解本题的关键.

18. (12 分)已知奇函数 f(x)=

定义域为 R,其中 a,b 为常数 .

(1)求 a,b 的值; 2 (2)若函数 g(x)=log2(bx ﹣3x+m) (m∈R)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)为奇函数得 f(0)=0,f(﹣1)=﹣f(1) ,解出 a,b,再检验 f(x) 为奇函数即可; 2 2 (2)由(1)得 g(x)=log2(x ﹣3x+m) ,又知其定义域为 R,只要求 x ﹣3x+m>0,恒成 立即可,即△ <0 即可. 解答: 解: (1)∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴





解得

,此时 f(x)=

,经检验可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,

故 a=2,b=1. 2 (2)由(1)得 g(x)=log2(x ﹣3x+m) 2 ∵函数 g(x)=log2(x ﹣3x+m)的定义域为 R, 2 ∴x ﹣3x+m>0,恒成立即可, ∴△=9﹣4m<0, ∴m> , 故 m 取值范围为( ,+∞) .

点评: 本题考查函数的奇偶性的判断和运用,考查奇函数的性质,函数的恒成立的问题, 属于基础题. 19. (12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥 上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流 密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车 流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) . 考点: 函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: (Ⅰ)根据题意,函数 v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数 v(x)在 20≤x≤200 时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得; (Ⅱ)先在区间(0,20]上,函数 f(x)为增函数,得最大值为 f=1200,然后在区间上用基 本不等式求出函数 f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相应的 x 值,两个区间 内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值. 解答: 解: (Ⅰ) 由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b

再由已知得

,解得

故函数 v(x)的表达式为



(Ⅱ)依题并由(Ⅰ)可得 当 0≤x<20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60× 20=1200 当 20≤x≤200 时, 当且仅当 x=200﹣x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间在区间上取得最大值为 ,

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时. 答: (Ⅰ) 函数 v(x)的表达式 (Ⅱ) 当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时. 点评: 本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力, 属于中等题.

20. (13 分)已知 f(x)=sinx,若将 f(x)的图象先沿 x 轴向左平移

个单位,再将所得图

象上所有点横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 4 倍,最后将所得图象上所有点横坐标缩短为 原来的一半,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图象. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)求函数 g(x)的单调区间; (3)设函数 h(x)=g(x)﹣k(∈)的零点个数为 m,试求 m 关于 k 的函数解析式. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 数形结合;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先对函数的图象进行平移变换,进一步对函数图象进行伸缩变换,最后求出 结果. (2)由﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,可解得函数的单调增区间,由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,

解得函数的单调减区间. (3)由题意可得函数 y=f(x)的图象和直线 y=k 在区间上的零点的个数为 m,结合函数 f(x) 的图象可得结论. 解答: 解: (1)把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动 图象的解析式是 y=sin(x+ ) , 个单位长度,所得

再将所得图象上所有点横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 4 倍,所得图象的解析式是 y=4sin (x+ ) ,

最后将所得图象上所有 点横坐标缩短为原来的一半, 纵坐标不变, 所得图象的解析式是 g (x) =4sin(2x+ ) , ) . +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z

故函数 g(x)的解析式为:g(x)=4sin(2x+ (2)由﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,可解得:﹣

∴函数 y=4sin(2x+ 由 +2kπ≤2x+ ≤

)的单调增区间为,k∈Z. +2kπ,得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.

∴函数 y=3sin(2x+

)+1 的单调减区间为,k∈Z.

(3)∵函数 h(x)=g(x)﹣k(k∈)的零点的个数为 m, 即函数 y=g(x)的图象和直线 y=k 在区间上的零点的个数为 m,结合函数 f(x)的图象可得: 当 k>4,或 k<﹣4 时,m=0; 当 k=4,或 k=﹣4 时,m=1; 当﹣4<k<﹣2,或﹣2<k<4 时,m=2; 当 k=﹣2 时,m=3.

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换,正弦函数的单调性,方程根的存在性及个数判 断,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题. 21. (14 分)设函数 fk(x)=x +bx+c(k∈N ,b,c∈R) ,g(x)=logax(a>0,且 a≠1) (1)若 b+c=1,且 fk(1)=g( ) ,求 a 的值; (2)记函数 f2(x)在上的最大值为 M,最小值为 m,求 M﹣m≤4 时 b 的取值范围; (3)判断是否存在大于 1 的实数 a,使得对任意 x1∈,都有 x2∈满足等式 g(x1)+g(x2)=p, 且满足该等式的常数 p 的取值唯一?若存在,求出所有符合条件的 a 的值;若不存在, 请说 明理由. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意可得 1+b+c=loga =2,从而解得; (2)化简 f2(x)=x +bx+c,由二次函数的性质知,讨论对称轴以确定函数的最值,从而结合 M﹣m≤4 求 b 的取值范围; (3)化简 g(x1)+g(x2)=p 为 g(x1)=p﹣g(x2) ,从而可得?,从而由集合的包含关系得 ,从而解得.
2 k *

解答: 解: (1)∵b+c=1,且 f(1)=g( ) , ∴1+b+c=loga =2, ∴a= ; (2)f2(x)=x +bx+c, 当对称轴 x=﹣ ≤﹣1,即 b≥2 时, M=f(1)=1+b+c,m=f(﹣1)=1﹣b+c, M﹣m=2b≤4, 解得 b≤2,
2

∴b=2. 当对称轴﹣1<﹣ ≤0,即 0≤b<2 时, M=f(1)=1+b+c,m=f(﹣ )=c﹣ M﹣m=b+1+ 解得﹣6≤b≤2, ∴0≤b<2. 当对称轴 0<﹣ <1,即﹣2≤b<0 时, M=f(﹣1)=1﹣b+c,m=f(﹣ )=c﹣ M﹣m=1﹣b+ 解得﹣2≤b≤6, ∴﹣2<b<0. 当对称轴﹣ ≥1,即 b≤﹣2 时, M=f(﹣1)=1﹣b+c,m=f(1)=1+b+c, M﹣m=﹣2b≤4, 解得 b≥﹣2, ∴b=﹣2. 综上所述:b 的取值范围是. (3)∵g(x1)+g(x2)=p, ∴g(x1)=p﹣g(x2) , 又∵任意实数 x1∈,都有 x2∈, ∴?, 即?, ∴ , ≤4, , ≤4, ,

又∵满足该等式的常数 p 的取值唯一, ∴1+loga2=2, 解得,a=2. 点评: 本题考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用,同时考查了集合的关系应 用,属于中档题.


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