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福建省福州市2013年高中毕业班5月质量检查数学(理)试题(Word版)


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2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷
(完卷时间 120 分钟;满分 150 分)

注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、班级、准 考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ

卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
s? 1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ? n?

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

锥体体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式 4 S ? 4?R 2 , V ? ?R3 3 其中 R 为球的半径

其中 S 为底面面积, h 为高 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是 正确的,把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.

i 是虚数单位,复数 z ? ( x ? 2i)(1 ? i) , x ? R .若 z 的虚部为 4 ,则 x 等于
A.2 B.-2 C.1 D.-1

2.

? 要得到函数 y ? tan(2 x ? ) 的图象,只须将 y ? tan2 x 的图象上的所有的点 3 ? ? A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 3 3 ? ? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6
根据某市环境保护局公布 2007-2012 这六年每年的空气质量优良的天数,绘制折线图如图.根据图中 信息可知,这六年的每年空气质量优良天数的 中位数是 天数 A. 300 350 340 B. 305 330 320 310 C. 315 300 290 D. 320 4.已知函数

3.

f ( x) ? x ?

a ,则“ a ? 4 ”是“函数 f ( x) 在 (2, ??) 上 x

2007 2008 2009 2010 2011 2012 年份

第 3 题图

为增函数”的 要而不充分条件

A.充分而不必要条件 B.必 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知命题“直线 l 与平面 ? 有公共点”是真命题,那么下列命题: ①直线 l 上的点都在平面 ? 内; ②直线 l 上有些点不在平面 ? 内; ③平面 ? 内任意一条直线都不与直线 l 平行. 其中真命题的个数是 A.3 B. 2 C.1 D.0

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6.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 , 48 成等差数列,则 ?an ? 的前 8 项和为 A.127 B.255 C.511 D.1023

7.设 (1 ? x)8 ? a0 ? a1x ? ?? a8 x8 , 则 a0, a1 ,?, a8 中奇数的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5

??? ? ?? ?? ? ? ? ? 8.已知点 P 是△ ABC 所在平面内的一点,边 AB 的中点为 D,若 2PD ? ( ? ? PA ?CB ,其中 ? ? R ,则 1 )
点 P 一定在 A.AB 边所在的直线上 C.AC 边所在的直线上 B.BC 边所在的直线上 D.△ ABC 的内部

x2 y 2 9.对于任意给定的实数 m ,直线 3x ? y ? m ? 0 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0 , b ? 0) 最多有一个交点,则 a b
双曲线的离心率等于 A. 2 B. 2 C. 3 D. 10

10.对于函数 f ( x ) 与 g ( x) 和区间 D, 如果存在 x0 ? D , f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1, 使 则称 x 0 是函数 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 D 上的“友 好点”.现给出两个函数: ① f ( x) ? x , g ( x) ? 2 x ? 2 ;
2

② f ( x) ?

x , g ( x) ? x ? 2 ;

③ f ( x) ? e ? x , g ( x ) ? ?

1 ; x

④ f ( x ) ? ln x , g ( x) ? x ,

则在区间 ? 0, ?? ? 上的存在唯一“友好点”的是 A.①② B.③④ C. ②③ D.①④

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
[来源:学科网 ZXXK]

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把 题卡的相应位置上. ) 11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示, 则该 三 的面积为 . 12. 已 知 函 数 f ( x ) ? ?

答案填在答 开始 棱锥的俯视图 输入 x 于 _? ___ .

?cosx ,x ? 0, , 则 ? 2 f ( x)dx 的 值 等 ?2 1, x ? 0, ?
?

13. 已知 程序框 图如 右图 所示 ,执 行该 程序 ,如 果输 入

x ? 10 ,输出
出以下所有满

y ? 4, 则在图中 “?” 处可填入的算法语句是
足条件的序号) . x ? x ?1; ① ② x ? x ? 2; ③ x ? x ? 3; ④ x ? x ? 4.

(写

x ? 0?





1 y = ( )x 2
输出 y

14. 在 区 间 [0,2] 上 任 取 两 个 数 a , b , 能 使 函 数

结束 第 13 题图

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f ( x) ? ax ? b ? 1 在区间 [?1,1] 内有零点的概率等于________.
15.设数列 {an } 是由集合 {3s ? 3t | 0 ? s ? t ,且 s , t ? Z} 中所有的数从小到大排列成的数列,即 a1 ? 4 ,

a2 ? 10 ,a3 ? 12 ,a4 ? 28 , 5=30, 6=36, 若 a2013 = 3m ? 3n (0 ? m ? n , m ,n ? Z} , m ? n a a ?, 且 则
的值等于____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 13 分) 已知平面向量 a ? (sin

?
3

x, 3) ,b= (1, cos

?
3

x ) ,定义函数 f (x) ? a ?b

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 图象上的两点 M 、 N 的横坐标分别为 1 和 3 , O 为坐标原点,求△ MON 的面积.

17.(本小题满分 13 分) 某校高三 2 班有 48 名学生进行了一场投篮测试,其中男生 28 人,女生 20 人.为了了解其投篮成绩,甲、 乙两人分别对全班的学生进行编号(1~48 号) ,并以不同的方法进行数据抽样,其中一人用的是系统抽样, 另一人用的是分层抽样.若此次投篮考试的成绩大于或等于 80 分视为优秀,小于 80 分视为不优秀,以下 是甲、乙两人分别抽取的样本数据: 编号 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 性别 男 女 男 男 女 男 男 男 男 女 男 女 甲抽取的样本数据 投篮成绩 90 60 75 80 85 80 95 80 80 60 75 55 编号 1 8 10 17 23 24 27 31 35 37 41 46 性别 男 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 女 乙抽取的样本数据 投篮成绩 95 85 85 80 60 90 80 80 65 35 60 75

(Ⅰ )从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩,记“抽到投篮成绩优秀”的人数为 X,求 X 的分布 . 列和数学期望; (Ⅱ 请你根据乙抽取的样本数据完成下列 2× 列联表, ) 2 判断是否有 95%以上的把握认为投篮成绩和性别 . 有关?

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优秀 男 女 合计

非优秀

合计

12

(Ⅲ )判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ )的结论判断哪种抽样方法更优?说明理由. 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k
2

0.15
源:Zxxk.Com]

[来

0.10 2.072 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc) 2 (参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18.(本小题满分 13 分) 面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, EA ? 底面

如图,已知多 ABCD , (Ⅰ)求多面 (Ⅱ)求直线 线 与 平 面 第 18 题图

FD // EA ,且 FD ?

1 EA ? 1 . 2

体 EABCDF 的体积;

EB 与平面 ECF 所成角的正弦值;
(Ⅲ )记线段 BC 的中点为 K,在平面 ABCD 内过点 K 作一条直 E C 平行,要求保留作图痕 迹,但不要求证明. F

19. (本小题满分 13 分) 已知 a ? b ? 0 ,曲线 C 上任意一点 P 分别与点 A(?a,0) 、 B(a,0) 连线的斜率的乘积为 ? (Ⅰ )求曲线 C 的方程; (Ⅱ )设直线 l : y ? kx ? h(k ? 0, h ? 0) 与 x 轴、 y 轴分别交于 M 、 N 两点,若曲线 C 与直线 l 没有公共 点,求证: | MN |? a ? b .

b2 . a2

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

ax . x?2

(Ⅰ )当 a ? 0 时,求曲线 y ? f (x) 在原点处的切线方程; (Ⅱ )当 a ? 0 时,讨论函数 f (x ) 在区间 (0,??) 上的单调性;

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(Ⅲ )证明不等式

1 1 1 ? ??? ? ln n ? 1 对任意 n ? N* 成立. 3 5 2n ? 1

14.本题有(1).(2).(3)三个选做题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所 做的前两题计分. 作答时, 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知线性变换 ? : ?

?5? ? x? ? 3x ? y, 对应的矩阵为 T ,向量 β ? ? ? . ?6? ? ? ? y? ? 2 x ? 2 y
?1

(Ⅰ )求矩阵 T 的逆矩阵 T



(Ⅱ ) 若向量 α 在 ? 作用下变为向量 β,求向量 α. (2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 6 cos? ? 8 sin ? .现以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建 立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若圆 C 上的动点 P 的直角坐标为 ( x, y ) ,求 x ? y 的最大值,并写出 x ? y 取得最大值时点 P 的直角 坐标. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知不等式 | x ? 2 | ? | x ? m |? 3 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} . (Ⅰ )求 m 的值; (Ⅱ )若 a ? 2b ? 3c ? m ,求 a ? 2b ? 3c 的取值范围.
2 2 2

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2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,共 50 分. 1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C 9.D 10.D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,共 20 分. 11. 1 12.3 13.② ④ ③ 14.

1 8

15. 122

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识, 考查运算求 解能力及数形结合思想、化归与转化思想等,满分 13 分. 解: )依题意得 f ( x) ? sin (Ⅰ

?
3

x ? 3 cos

?
3

x ………………………………1分

? 2 sin(

?
3

x?

?
3

) …………………………………………………………………3分

所以函数 f ( x ) 的值域为 [?2, 2] .………………………………………………………5 分 (Ⅱ )方法一 由(Ⅰ )知, f ( x) ? 2sin(

?

x? ) 3 3

?

? ?? ? ? f (1) ? 2sin ? ? ? ? 3 , f (3) ? ?2sin ? ? 3 ,………………………………6 分 3 ?3 3?
从而

M( 1 ,

.………………………………………………7 分 3 ) ,? ( 3 , N 3 )

∴ OM ? 1 ? 3 ? 2, ON ? 9 ? 3 ? 2 3 ,

MN ? (3 ? 1)2 ? ( ? 3 ? 3)2 ? 4, ……………………………………………9 分
根据余弦定理得

OM ? ON ? MN 4 ? 12 ? 16 cos ?MON ? ? ? 0. 2 OM ON 2? 2? 2 3
2 2 2

∴?MON ? 90 ,…………………………………………………………………10 分
?

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△ MON 的面积为 S ?

1 1 OM ON ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 .…………13 分 2 2

方法二 同方法一得: M (1, 3), N (3, ? 3) .…………………………………………7 分 则 OM ? (1, 3), ON ? (3, ? 3) . ………………………………………………8 分

???? ?

????

???? ???? ? OM ? ON ? 1? 3 ? 3 ? (? 3) ? 0 .……………………………………………10 分
所以 ?MON ? 90 ,
?

[来源:Zxxk.Com]

???? ???? ? 即OM ? ON

△ MON 的面积为 S ?

1 1 OM ON ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 .……………13 分 2 2

方法三 同方法一得: M (1, 3), N (3, ? 3) .…………………………………………7 分 直线 OM 的方程为 y ?

3x ,即 3x ? y ? 0 . …………… …………………8 分
3 3 ? 2 3 ? 2 3 . ……………………10 分

点 N 到直线 OM 的距离为 d ?

又因为 OM ? 1 ? 3 ? 2, ,………………………………………………………11 分 所以△ MON 的面积为 S ?

1 1 OM ? d ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 .……… …………13 分 2 2

17.本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识,考查数据处理能力、运算 求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等,满分 13 分. 解: )由甲抽取的样本数据可知,投篮成绩优秀的有 7 人,投篮成绩不优秀的有 5 人. (Ⅰ X 的所有可能取值为 0,1, 2 .……………………………………………………1 分 所以 P ( X ? 0) ?
2 C5 C1 C1 35 C2 21 7 5 ? ? , P ( X ? 1) ? 7 2 5 ? , P( X ? 2) ? 27 ? .…4 分 2 C12 33 C12 66 C12 66 22

故 X 的分布列为 X

P

0 5 33

1 2 35 7 66 22 …………………………………………5 分

5 35 7 7 ……6 分 ? 1? ? 2 ? ? . 33 66 22 6 (Ⅱ )设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得 2? 2 列联表如下:
∴E( X ) ? 0 ? 优秀 男
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

非优秀 1 4 5

合计 7 5 12 …………7 分

6 1 7

女 合计

12(6 ? 4 ? 1 ? 1) 2 K 的观测值 k ? ? 5.182 ? 3.841,……………………………9 分 7 ?5?5?7
2

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所以有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. ……………………10 分 (Ⅲ )甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. ……………………11 分 由(Ⅱ )的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异,因此采 用分层抽样方法比系统抽样方法更优. ……………………13 分 18.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面位置关系等基础知识;考查空间想象能力,推 理论证能力和运算求解能力.满分 13 分. (Ⅰ )如图,连接 ED, ∵EA ? 底面 ABCD 且 FD // EA ,∴FD ? 底面 ABCD , ∴FD ? AD , ∵DC ? AD,FD ? CD ? D , ∴ AD ? 面 FDC , ----------------1 分

1 1 1 2 AD ? S ?FDC ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? , --------2 分 3 3 2 3 1 8 1 VE ? ABCD ? EA? S? ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , -------------3 分 3 3 3 ∴ 多面体 EABCDF 的体积 10 V多面体 ? VE ? FCD ? VE ? ABCD ? .--------------5 分 3 (Ⅱ 以点 A 为原点, 所在的直线为 x 轴, 所在的直线为 y ) AB AD
∴VE ? FCD ? 间 直 角 坐 标 系 , 如 图 . 由 已 知 可 得

轴,建立空

A(0,0,0),E(0,0 ,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),
所以 EC ? (2, ,? 2), EB ? (2,0,?2),, EF ? (0,2,?1) ------7 分 2 设平面 ECF 的法向量为 n

? (x , y , z ) ,
?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ?2 y ? z ? 0,
------9 分

则?

?n ? EC ? 0 ? ?n ? EF ? 0 ?

得: ?

取 y=1,得平面 ECF 的一个法向量为 n ? (1,1, 2) 设直线 EB 与平面 ECF 所成角为 ? ,

??? ? ??? ? ?2 3 n ? EB ??? | ?| ? 所以 sin ? ?| cos n, EB | ?| |? . ----11 分 6 | n | ? | EB | 4 3 (Ⅲ)取线段 CD 的中点 Q ;连接 KQ ,直线 KQ 即为所
求. ---------------12 分 图上有正确的作图 痕迹????????????13 分 19.本题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想和化归 与转化思想等,满分 13 分. 解: )设曲线 C 上任意一点 P 的坐标为 ( x, y ) . (Ⅰ 依题意 k PA ? k PB

y y b2 ? ? ? ? 2 ,且 x ? ?a ,………………3分 x?a x?a a

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x2 y 2 x2 y 2 整理得 2 ? 2 ? 1 .所以,曲线 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1 , x ? ?a .………5 分 a b a b
? x2 y2 ? (Ⅱ )由 ? a 2 ? b 2 ? 1, 得 (b2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 hkx ? a 2 (h2 ? b2 ) ? 0 , ? y ? kx ? h, ?

?? ? 4a 4 h 2 k 2 ? 4 ? b 2 ? a 2 k 2 ? a 2 (h 2 ? b 2 ) ? 0, 即b 2 ? a 2 k 2 ? h 2 ,
由已知条件可知 M (- ,0) , N (0, h) ,所以

……7 分

h k

h2 b2 ? a 2k 2 b2 2 2 2 2 2 2 | MN | ? 2 ? h ? ? b ? a k ? a ? b ? 2 ? a 2 k 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab , 2 k k k
2

从而 | MN |2 ? (a ? b)2 ,

即 | MN |? a ? b .

………………13 分

20. (本小题满分 14 分) 本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与 转化思想、分类与整合思想.满分 14 分. 解: f ?( x) ?

1 2a x 2 ? (4 ? 2a) x ? (4 ? 2a) . ? ? 1 ? x ( x ? 2) 2 ( x ? 1)(x ? 2) 2

(Ⅰ )当 a ? 0 时, f (0) ? 0 ,切线的斜率 k ? f ?(0) ? 1 , 所以切线方程为 y ? x ,即 x ? y ? 0 . ……3 分

(Ⅱ )当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以只要考查 g ( x) ? x 2 ? (4 ? 2a) x ? (4 ? 2a) 的符号. 由 ? ? (4 ? 2a) 2 ? 4(4 ? 2a) ? 0 ,得 0 ? a ? 2 , 当 0 ? a ? 2 时, g ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , f (x) 在区间 (0,??) 上单调递增; 当 a ? 2 时,由 g ( x) ? 0 解得 x ? a ? 2 ? a 2 ? 2a . ……6 分 当 x 变化时, f ?(x ) 与 f (x ) 的变化情况如下表:

函数 f (x ) 在区间 (0, a ? 2 ? a 2 ? 2a ) 单调递减,在区间 (a ? 2 ? a 2 ? 2a ,??) 上单调递增. ……9 分 (Ⅲ )由(Ⅱ )知,当 a ? 2 时, f (x) 在区间 (0,??) 上单调递增; 所以 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

2x ? f (0) ? 0 , x?2

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2x ? ln(1 ? x) 对任意 x ? (0,??) 成立. ……11 分 x?2 1 取 x ? , k ? 1,2,3,?, n , k 1 2 2 1 ? ln( k ? 1) ? ln k , k ? 1,2,3,?, n .……13 分 得 k ? ln(1 ? ) ,即 1 2k ? 1 k ?2 k
即 将上述 n 个不等式求和,得到:
n 2 ? ?[ln(k ? 1) ? ln k ] , ? 2k ? 1 k ?1 k ?1 n

即不等式

1 1 1 ? ??? ? ln n ? 1 对任意 n ? N* 成立. 3 5 2n ? 1

……14 分

21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力.满分 7 分. 解: )依题意 T ? ? (Ⅰ

3 1 ?3 1 ? ? ,所以 det T ? 2 2 ? 4 , ?2 2? 1? ? 1 ? ? ? ?1 4 . 所以 T ? ? 2 ----------3 分 1 3 ? ?? ? ? 2 4 ? 1? ? 1 ? 2 ? 4 ?? 5 ? ? 1 ? ? ??? ?. (Ⅱ )由 T? ? ? ,得 ? ? T ?1? ? ? 1 3 ?? 6 ? ? 2 ? ?? ?? ? ? ? ? 2 4 ?

----------7 分

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,满分 7 分.
2 解: (Ⅰ)由 ? ? 6 cos? ? 8 sin ? ,得 ? ? 6? cos? ? 8? sin? ,

所以圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 ,
2 2

即 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 5 .??????????????????3 分
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得圆 C 的参数方程为 ? 所以 x ? y ? 7 ? 5 2 sin(? ? 因此当 ? ?

? x ? 3 ? 5 cos? , ( ? 为参数). ? y ? 4 ? 5 sin ?

?
4

) , ?????????5 分

?
4

? 2k? , k ? Z 时, x ? y 取得最大值为 7 ? 5 2 , 5 5 2 ,4 ? 2 ) .??? ??7 分 2 2

且当 x ? y 取得最大值时点 P 的直角坐标为 (3 ?

(3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,满分 7 分. 解: )依题意,当 x ? 1 时不等式成立,所以 3? | 1 ? m |? 3 ,解得 m ? 1 , (Ⅰ

[来源:学。科。网]

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经检验, m ? 1 符合题意.
2 2 2

---------------------3 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 a ? 2b ? 3c ? 1 .根据柯西不等式,
2 2 得 (a ? 2b ? 3c) ? (1 ?

2 ? 3 )[ a 2 ? ( 2b) 2 ? ( 3c) 2 ] ? 6 ,-----------------5 分

2

2

所以 ? 6 ? a ? 2b ? 3c ? 6 , 当且仅当 a ? b ? c ?

6 6 时,取得最大值 6 , a ? b ? c ? ? 时,取得最小值 ? 6 , 6 6
-------------7 分

因此 a ? 2b ? 3c 的取值范围是 [? 6 , 6 ] .

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