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福建省福州市2013年高中毕业班5月质量检查数学(理)试题(Word版)


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2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷
(完卷时间 120 分钟;满分 150 分)

注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷内填写学校、班级、准 考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ

卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
s? 1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ? n?

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

锥体体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式 4 S ? 4?R 2 , V ? ?R3 3 其中 R 为球的半径

其中 S 为底面面积, h 为高 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是 正确的,把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.

i 是虚数单位,复数 z ? ( x ? 2i)(1 ? i) , x ? R .若 z 的虚部为 4 ,则 x 等于
A.2 B.-2 C.1 D.-1

2.

? 要得到函数 y ? tan(2 x ? ) 的图象,只须将 y ? tan2 x 的图象上的所有的点 3 ? ? A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 3 3 ? ? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6
根据某市环境保护局公布 2007-2012 这六年每年的空气质量优良的天数,绘制折线图如图.根据图中 信息可知,这六年的每年空气质量优良天数的 中位数是 天数 A. 300 350 340 B. 305 330 320 310 C. 315 300 290 D. 320 4.已知函数

3.

f ( x) ? x ?

a ,则“ a ? 4 ”是“函数 f ( x) 在 (2, ??) 上 x

2007 2008 2009 2010 2011 2012 年份

第 3 题图

为增函数”的 要而不充分条件

A.充分而不必要条件 B.必 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知命题“直线 l 与平面 ? 有公共点”是真命题,那么下列命题: ①直线 l 上的点都在平面 ? 内; ②直线 l 上有些点不在平面 ? 内; ③平面 ? 内任意一条直线都不与直线 l 平行. 其中真命题的个数是 A.3 B. 2 C.1 D.0

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6.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 , 48 成等差数列,则 ?an ? 的前 8 项和为 A.127 B.255 C.511 D.1023

7.设 (1 ? x)8 ? a0 ? a1x ? ?? a8 x8 , 则 a0, a1 ,?, a8 中奇数的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5

??? ? ?? ?? ? ? ? ? 8.已知点 P 是△ ABC 所在平面内的一点,边 AB 的中点为 D,若 2PD ? ( ? ? PA ?CB ,其中 ? ? R ,则 1 )
点 P 一定在 A.AB 边所在的直线上 C.AC 边所在的直线上 B.BC 边所在的直线上 D.△ ABC 的内部

x2 y 2 9.对于任意给定的实数 m ,直线 3x ? y ? m ? 0 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0 , b ? 0) 最多有一个交点,则 a b
双曲线的离心率等于 A. 2 B. 2 C. 3 D. 10

10.对于函数 f ( x ) 与 g ( x) 和区间 D, 如果存在 x0 ? D , f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1, 使 则称 x 0 是函数 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 D 上的“友 好点”.现给出两个函数: ① f ( x) ? x , g ( x) ? 2 x ? 2 ;
2

② f ( x) ?

x , g ( x) ? x ? 2 ;

③ f ( x) ? e ? x , g ( x ) ? ?

1 ; x

④ f ( x ) ? ln x , g ( x) ? x ,

则在区间 ? 0, ?? ? 上的存在唯一“友好点”的是 A.①② B.③④ C. ②③ D.①④

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
[来源:学科网 ZXXK]

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把 题卡的相应位置上. ) 11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示, 则该 三 的面积为 . 12. 已 知 函 数 f ( x ) ? ?

答案填在答 开始 棱锥的俯视图 输入 x 于 _? ___ .

?cosx ,x ? 0, , 则 ? 2 f ( x)dx 的 值 等 ?2 1, x ? 0, ?
?

13. 已知 程序框 图如 右图 所示 ,执 行该 程序 ,如 果输 入

x ? 10 ,输出
出以下所有满

y ? 4, 则在图中 “?” 处可填入的算法语句是
足条件的序号) . x ? x ?1; ① ② x ? x ? 2; ③ x ? x ? 3; ④ x ? x ? 4.

(写

x ? 0?





1 y = ( )x 2
输出 y

14. 在 区 间 [0,2] 上 任 取 两 个 数 a , b , 能 使 函 数

结束 第 13 题图

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f ( x) ? ax ? b ? 1 在区间 [?1,1] 内有零点的概率等于________.
15.设数列 {an } 是由集合 {3s ? 3t | 0 ? s ? t ,且 s , t ? Z} 中所有的数从小到大排列成的数列,即 a1 ? 4 ,

a2 ? 10 ,a3 ? 12 ,a4 ? 28 , 5=30, 6=36, 若 a2013 = 3m ? 3n (0 ? m ? n , m ,n ? Z} , m ? n a a ?, 且 则
的值等于____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 13 分) 已知平面向量 a ? (sin

?
3

x, 3) ,b= (1, cos

?
3

x ) ,定义函数 f (x) ? a ?b

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 图象上的两点 M 、 N 的横坐标分别为 1 和 3 , O 为坐标原点,求△ MON 的面积.

17.(本小题满分 13 分) 某校高三 2 班有 48 名学生进行了一场投篮测试,其中男生 28 人,女生 20 人.为了了解其投篮成绩,甲、 乙两人分别对全班的学生进行编号(1~48 号) ,并以不同的方法进行数据抽样,其中一人用的是系统抽样, 另一人用的是分层抽样.若此次投篮考试的成绩大于或等于 80 分视为优秀,小于 80 分视为不优秀,以下 是甲、乙两人分别抽取的样本数据: 编号 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 性别 男 女 男 男 女 男 男 男 男 女 男 女 甲抽取的样本数据 投篮成绩 90 60 75 80 85 80 95 80 80 60 75 55 编号 1 8 10 17 23 24 27 31 35 37 41 46 性别 男 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 女 乙抽取的样本数据 投篮成绩 95 85 85 80 60 90 80 80 65 35 60 75

(Ⅰ )从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩,记“抽到投篮成绩优秀”的人数为 X,求 X 的分布 . 列和数学期望; (Ⅱ 请你根据乙抽取的样本数据完成下列 2× 列联表, ) 2 判断是否有 95%以上的把握认为投篮成绩和性别 . 有关?

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优秀 男 女 合计

非优秀

合计

12

(Ⅲ )判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ )的结论判断哪种抽样方法更优?说明理由. 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k
2

0.15
源:Zxxk.Com]

[来

0.10 2.072 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc) 2 (参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18.(本小题满分 13 分) 面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, EA ? 底面

如图,已知多 ABCD , (Ⅰ)求多面 (Ⅱ)求直线 线 与 平 面 第 18 题图

FD // EA ,且 FD ?

1 EA ? 1 . 2

体 EABCDF 的体积;

EB 与平面 ECF 所成角的正弦值;
(Ⅲ )记线段 BC 的中点为 K,在平面 ABCD 内过点 K 作一条直 E C 平行,要求保留作图痕 迹,但不要求证明. F

19. (本小题满分 13 分) 已知 a ? b ? 0 ,曲线 C 上任意一点 P 分别与点 A(?a,0) 、 B(a,0) 连线的斜率的乘积为 ? (Ⅰ )求曲线 C 的方程; (Ⅱ )设直线 l : y ? kx ? h(k ? 0, h ? 0) 与 x 轴、 y 轴分别交于 M 、 N 两点,若曲线 C 与直线 l 没有公共 点,求证: | MN |? a ? b .

b2 . a2

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

ax . x?2

(Ⅰ )当 a ? 0 时,求曲线 y ? f (x) 在原点处的切线方程; (Ⅱ )当 a ? 0 时,讨论函数 f (x ) 在区间 (0,??) 上的单调性;

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(Ⅲ )证明不等式

1 1 1 ? ??? ? ln n ? 1 对任意 n ? N* 成立. 3 5 2n ? 1

14.本题有(1).(2).(3)三个选做题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所 做的前两题计分. 作答时, 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知线性变换 ? : ?

?5? ? x? ? 3x ? y, 对应的矩阵为 T ,向量 β ? ? ? . ?6? ? ? ? y? ? 2 x ? 2 y
?1

(Ⅰ )求矩阵 T 的逆矩阵 T



(Ⅱ ) 若向量 α 在 ? 作用下变为向量 β,求向量 α. (2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 6 cos? ? 8 sin ? .现以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建 立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若圆 C 上的动点 P 的直角坐标为 ( x, y ) ,求 x ? y 的最大值,并写出 x ? y 取得最大值时点 P 的直角 坐标. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知不等式 | x ? 2 | ? | x ? m |? 3 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} . (Ⅰ )求 m 的值; (Ⅱ )若 a ? 2b ? 3c ? m ,求 a ? 2b ? 3c 的取值范围.
2 2 2

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2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,共 50 分. 1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C 9.D 10.D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,共 20 分. 11. 1 12.3 13.② ④ ③ 14.

1 8

15. 122

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识, 考查运算求 解能力及数形结合思想、化归与转化思想等,满分 13 分. 解: )依题意得 f ( x) ? sin (Ⅰ

?
3

x ? 3 cos

?
3

x ………………………………1分

? 2 sin(

?
3

x?

?
3

) …………………………………………………………………3分

所以函数 f ( x ) 的值域为 [?2, 2] .………………………………………………………5 分 (Ⅱ )方法一 由(Ⅰ )知, f ( x) ? 2sin(

?

x? ) 3 3

?

? ?? ? ? f (1) ? 2sin ? ? ? ? 3 , f (3) ? ?2sin ? ? 3 ,………………………………6 分 3 ?3 3?
从而

M( 1 ,

.………………………………………………7 分 3 ) ,? ( 3 , N 3 )

∴ OM ? 1 ? 3 ? 2, ON ? 9 ?