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特殊的高次方程的解法1


特殊的一元高次方程的解法 1
教学目标 知识与技能:理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法; 过程与方法: 学会把一个代数式看作一个整体, 掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的 解法, 经历知识的产生过程,感受自主探究的快乐. 教学重点及难点 重点:掌握二项方程的求解方法. 难点:把“整体”转化为“新”元的二项方程. 教学过程设计 一、 情景引入 1.复习提问 复

习:请同学们观察下列方程 (1) 2x+1=0; (4) (2) x ? 5x ? 6 ? 0 ;
2

(3) 2 x ? 4 x ? 3 ? 0 ;
2

3 =3; x?2
3

(5)

x3 ? 8 ? 0 ;
4 3 2

(6)

1 5 x ? 16 ? 0 ; 2

4 2 (7) 5 x ? 18 ? 0 ; (8) t ? 3t ? t ? 2t ? 3 ? 0 ;(9) y ? 3 y ? 10 ? 0 .

提问:(1)哪些是整式方程?一元一次方程?一元二次方程? (2)后 5 个方程与前 3 个方程有何异同? (3)方程(5)、(6)、(7)有什么共同特点? 二、学习新课 1.概念辨析 (1) 一元高次方程 通过上述练习,师生共同得出一元高次方程的特点:(1)整式方程;(2)只含一个未知数; (3)含未知数的项最高次数大于 2 次.从而提出一元高次方程的概念,并标题,提出本节课 的主要内容,学习简单高次方程及其解法. (2)二项方程:如果一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项,另一边是 零,那么这样的方程就叫做二项方程. (3)一般形式: 关于 x 的一元 n 次二项方程的一般形式为

axn ? b ? 0(a ? 0, b ? 0, n是正整数)
注 ① ax =0(a≠0)是非常特殊的 n 次方程,它的根是 0. ②这里所涉及的二项方程的次数不超过 6 次. 2.例题分析 解下列简单的高次方程:
n

1 5 (1) x ? 8 (2) x ? 16 (3) x ? 16 ? 0 (4) 5 x ? 118 ? 0
3 4

3

2

分析 解一元 n 次(n>2)次二项方程,可转化为求一个已知数的 n 次方根.如果在实数范围 内这个数的 n 次方根存在,那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.

思考:解二项方程

axn ? b ? 0(a ? 0, b ? 0, n是正整数) axn ? b ? 0(a ? 0, b ? 0, n是正整数)

(学生自主归纳,教师总结) 结论:对于二项方程

当 n 为奇数时,方程有且只有一个实数根. 当 n 为偶数时,如果 ab<0,那么方程有两个实数根,且这那么方程没有实数根.两个根互为 相反数;如果 ab>0,那么方程没有实数根. 特殊的高次方程的解法 2 教学目标 知识与技能:理解双二次方程的意义,了解高次方程求解的基本方法是降次,会用换元法把 双二次方程转化为一元二次方程; 过程与方法:学会判断双二次方程的根的个数; 情感态度与价值观:通过学习增强分析问题和解决问题的能力. 教学重点及难点 掌握双二次方程的求解方法,学会判断双二次方程的根的个数. 教学过程设计 一、 情景引入 1.复习 请同学们解下列一元二次方程: (1) y ? 5 y ? 4 ? 0
2

(2) 2 y 2 ? y ? 1 ? 0

(解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法:因式分解法、开平方法、配方法、求根公 式法) 2.思考:
2 若令 y ? x ,则方程变形为(1) x ? 5x ? 4 ? 0 , (2) 2 x ? x ? 1 ? 0
4 2 4 2

如何求解上述方程? 3.观察: 提问:以下哪些方程与 x ? 5x ? 4 ? 0 , 2 x ? x ? 1 ? 0 具有共同的特点?
4 2 4 2

(1) x ? 14x ? 45 ? 0
4 2

(2) x ? 7 x ? 60x ? 0 (3) x ? 2 x ? 5x ? 10 ? 0
3 2 3 2

(4) 2 x ? 3x ? 1 ? 0
4 2

(5)

1 4 x ? x3 ?1 ? 0 2

这类方程有什么共同的特点? 二、学习新课 1.概念辨析 (1) 双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程. 注 当常数项不是 0 时,规定它的次数为 0. (2)一般形式: ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
4 2

(3)学生归纳:如何求解双二次方程?

分析 求解的思想方法是“降次” ,通过换元把它转化为一元二次方程. 换元法 对于某些特殊的一元高次方程,可以添设一个辅助元替换原来的未知数,达到使高次方 程降次的目的,这种解一元高次方程的方法称为换元法。换元法是一种重要的数学方法,它 不仅可以用在解方程中,在其他许多领域都有着广泛的应用。 换元法解一元高次方程的一般步骤: (1) 设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式 (2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值 (3) 把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值,即原方程的解 2.例题分析 例 4:解下列方程: (1) x ? 9 x ? 14 ? 0
4 2

(2) x ? 5 x ? 24 ? 0
4 2

例 5:解方程

x 4 ? 9 x 2 ? 20 ? 0
2

分析:双二次方程既可以用换元法,也可以把 x 看作一个整体直接求解. 3.问题拓展 不解方程,判断下列方程的根的个数: ① x ? 5x ? 6 ? 0 ;
4 2

② 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ;
4 2

③ x ? 2x ? 4 ? 0 ;
4 2

④ 2x ? 6x ? 3 ? 0 .
4 2

分析:令 y ? x

2

①△>0,y1y2>0,y1+y2>0 ∴原方程有四个实数根. ②△>0,y1y2>0,y1+y2<0 ∴原方程没有实数根. ③△>0,y1y2<0, ∴原方程有两个实数根. ④△<0 ∴原方程没有实数根. ★★★★: (1) 2+2x)2-7(x2+2x)+12=0; (2) 2+x)2+(x2+x)=2; (x (x 2 2 2 (3) (6x -7x) -2(6x -7x)=3;(4)(x2+x)2-5x2-5x=6. ★★★★★: (1)(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ; 4 (2)12x -56x3+89x2-56x+12=0. 解:观察方程的系数,可以发现系数有以下特点:x4 的系数与常数项相同,x3 的系数与 x

的系数相同,像这样的方程我们称为倒数方程.由

四、课堂小结 (学生总结,教师归纳) 1.解双二次方程的一般过程是什么? (1)换元; (2)解一元二次方程; (3) 回代. 2.如何判断双二次方程的根的个数? 五、作业布置 解下列高次方程: (1)(x2-x)2-4(2x2-2x-3)=0;(2)(x2-2x+3)2=4x2-8x+17; (3) x4-(a2+b2)x2+a2b2=0;(4)(x2+8x+12)2+6(x2+8x+12)+9=0. 特殊的高次方程的解法 3 教学目标 知识与技能:根据方程的特征,运用适当的因式分解法求解一元高次方程. 过程与方法:通过学习增强分析问题和解决问题的能力. 教学重点及难点 用因式分解法求解一元高次方程. 教学过程设计 一、 情景引入 1.复习 (1)将下列各式在实数范围内分解因式: ①x2-4x+3; ② x4-4; ③x3-2x2-15x; ④ x4-6x2+5; ⑤(x2-x)2-4(x2-x)-12. (2)提问: ①解二项方程的基本方法是什么?(开方)

②解双二次方程的基本方法是什么?(换元) 分析:不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的. 2.观察: (1)若令①x2-4x+3;② x4-4;③x3-2x2-15x;④ x4-6x2+5; ⑤(x2-x)2-4(x2-x)-12 的右边都为 0,请指出哪些是高次方程? (2)这些高次方程如何求解? 二、学习新课因式分解法 因式分解法是解一元高次方程首选的方法 这种解法的理论根据是两个因式的积等于零 。 的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零,即: 。 因式分解法解一元高次方程的一般步骤: (1) 将方程右边化为零 (2) 将方程左边分解为几个一次因式乘积 (3) 令每个因式分别为零,得到几个一元一次方程或一元二次方程 (4) 解这几个一元一次方程或一元二次方程,它们的解就是原方程的解 1.例题分析 例 6 解下列方程 (1)5x3=4x2; (2)2x3+x2-6x=0. [说明] 只有方程整理成一边为零时,才能用因式分解法解方程. 例 7 解下列方程 (1)x3-5x2+x-5=0; (2)x3-6=x-6x2. 2.问题拓展 (1)解方程 x3-2x2-4x+8=0. 解 原方程可变形为 2 x (x-2)-4(x-2)=0, (x-2)(x2-4)=0, (x-2)2(x+2)=0. 所以 x1=x2=2,x3=-2. (2)归纳: 当 ad=bc≠0 时,形如 ax3+bx2+cx+d=0 的方程可这样解决: 令

a c ? ? k ? 0 ,则 a=bk,c=dk,于是方程 ax3+bx2+cx+d=0 b d

可化为 bkx3+bx2+dkx+d 即 (kx+1)(bx2+d)=0. 三、巩固练习 1.直接写出方程 x(x+5)(x-4)=0 的根,它们是__________________. 2.解下列方程: (1)3x3-2x=0 ; (2)y3-6y2+5y=0. 3.解下列方程: (1)2x3+7x2-4x=0; (2)x3-2x2+x-2=0 4.拓展: (1) 2-x-6) 2-x+2)=0, (x (x (2) (x-3) (x+2) 2-x+2)=0. (x 分析: 在具体操作过程中,把 x2-x 当作一个“整体”,可直接利用十字相乘法分解,这样省略了许 多代换程序.

(3)解方程(x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=19. 解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘,第二个因式与第三个因式相乘,得 2 (x +5x-14)(x2+5x+4)=19. 设

则 (y-9)(y+9)=19, 即

y2-81=19.

[说明] 在解此题时,仔细观察方程中系数之间的特殊关系,则可用换元法解之.在换元时 也可以令 y= x2+5x,因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做,教师可 根据学生的实际进行选择. 分层作业:解下列方程: (1)x3+3x2+3x+1=0 (2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24 (3)x(x+1)(x-3) =x+1 (4)(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67

高次方程及解法 4? ?

?

?????????? 一般地,我们把次数大于 2 的整式方程,叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程 组成的方程组,叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程,是不能用简单的算术方 法来求解的。对于一元五次以下的高次方程,也只能对其中的一些特殊形式的方程,采用 “ ? 1 判根法”“常数项约数法”“倒数方程求根法”“双二次方程及推广形式求解法”等 、 、 、 方法,将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次,转化成一次或二次方程求解。 一、 ? 1 判根法 在一个一元高次方程中,如果各项系数之和等于零,则 1 是方程的根;如果偶次项系 数之和等于奇次项系数之和,则 -1 是方程的根。求出方程的 ? 1 的根后,将原高次方程用 长除法或因式分解法分别除以(x-1)或者( x+1),降低方程次数后依次求根。 ? 1 判根 “ 法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法,一定要熟练掌握运用。 4 3 2 例 1 解方程 x +2x -9x -2x+8=0 解:观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数 当 中 ), 根 据 歌 诀 “ 系 和 零 ,+1 根 ” , 即 原 方 程 中 可 分 解 出 因 式 (x-1),

?

(x +2x -9x -2x+8) (x-1)= x +3x -6x-8 3 2 观察方程 x +3x -6x-8=0,偶次项系数之和为:3-8=-5;奇次项系数之和为:1-6=-5,

4

3

2

?

3

2

根据歌诀“ 偶等奇,根 -1 ” ,即方程中含有因式( x+1) ,
2 2

?

(x +3x -6x-8)

3

2

(x+1)=x +2x-8 , 对 一 元 二 次 方 程 x +2x-8=0 有 ( x+4 ) x-2 ) =0, ( 原高次方程 4 3 2 x +2x -9x -2x+8=0 可分解因式为:(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0 时,有 x1=1;当 (x+1)=0时,有 x2= -1;当(x-2) =0 时,有 x3=2; 当(x+4)=0 时,有 x4=-4 点拨提醒:在运用“ ? 1 判根法”解高次方程时,一定注意把“常数项”作为“偶次项” 系数计算。 二、常数项约数求根法 n n-1 n 根据定理:“如果整系数多项式 anx +an-1x + ? +a1x+a0 可分解出因式 Px-Q,即方程 anx +an-1x + ? +a1x+a0=0 有有理数根
n-1

?

?

Q (P、Q 是互质整数) ,那么,P一定是首项系数 an P

的约数,Q 一定是常数项 a0 的约数” ,我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。 “常数项约数求根法”分为两种类型: 第一种类型:首项系数为 1。对首项(最高次数项)系数为 1 的高次方程,直接列出常 数项所有约数,代入原方程逐一验算,使方程值为零的约数,就是方程的根。依次用原方 程除以带根的因式,逐次降次,直至将高次方程降为二次或一次方程求解。 4 3 2 例 1 解方程 x +2x -4x -5x-6=0 解:第一步:首先列出“常数项”-6 的所有约数 ? 1、 ? 2、 ? 3、 ? 6 第二步:将这些约数逐一代入原方程验算,确定原方程中所含的“带根”因式。根据 各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和,排除 ? 1 根, f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式(x-2) (x+3) 4 3 2 2 第三步:用长除法将原方程降次。 +2x -4x -5x-6) (x-2) (x+3)= x +x+1 (x 2 第四步:解一元二次方程 x +x+1=0

?

?

? b ? b 2 ? 4ac ? 1 ? 12 ? 4 ? 1? 1 ? 1 ? 3i x= = ? 2a 2 2 ? 1 ? 3i ? 1 ? 3i , x2= , x3=2 x1= x4= -3 2 2

第二种类型, 首项系数不为 1 。 对首项系数不为1的高次方程, 首先以首项系数为 “公 因数”提取到小括号外,然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入 方程验算的值一定是

Q 而不是Q,因为此时原方程的因式是(P x-Q) ,其余的解法步 P

骤同首项系数为1的解法步骤相同。 3 2 例2 解方程3x -2x +9x -6=0

2 2 x +3x -2)=0 此时, “常数项”为-2,它的约数为 3 Q 2 Q ? 1, ? 2 ,根据“ ? 1 判根法”排除 ? 1,这时,代人原方程验算的只能是 = ,或 = P 3 P 2 3 ?? 2 ? 3 2 ? 2 ? 2 2 ? 8 2 ? 8 ? f( )=3 ?? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2? ? 3 ? ? ? ? 2 ? 2 ? =3 ? 0=0 3 ? 3 ? 27 27 ? ?? 3 ? 3 ? 3 ? ? ?
解:将原方程化为 3(x 3

所以原方程中有因式(3 X-2) 。 3 2 2 (3x -2x +9x -6) (3x -2)= x +3

?

解方程式 x +3=0

?

? 3i 2 3i 原方程的解为 x1= 2
2

x=

, ,x2=

x1=

3i 2

,x2=-

3i 2

2 ? 3i ,x3= 3 2

三、倒数方程求根法 4 3 2 1、 定义: 系数成首尾等距离的对称形式的方程, 叫做倒数方程。 a x +bx +cx +dx+e=0, 如 其中, a ? e, b ? d 或者 a= -e,b= -d 2、性质:倒数方程有三条重要性质: (1)倒数方程没有零根; (2)如果 a 是方程的根,则

1 也是方程的根; a

(3)奇数次倒数方程必有一个根是-1 或者 1,分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个 次数后的方程仍是倒数方程。 3、倒数方程求解方法: 4 3 2 如果 a x +bx +cx +dx+e=0 是倒数方程,由于倒数方程没有零根,即 x ? 0,所以,方程 两边同除以 x 得:a(x +

1 1 1 1 2 2 )+b(x+ )+e=0,令 x+ =y, x + 2 =y -2,即原方程变为: 2 x x x x 1 2 ay +by+(e-2a)=0, 解得 y 值,再由 x+ =y,解得 x 的值。 x
2 2

例1 解:

解方程 2 x +3x -16x +3x+2=0

4

3

2

3 2 1 2 + 2 =0,即 2(x + 2 ) x x x 1 1 1 1 2 +3(x+ )-16=0, 2[(x+ ) -2]+3(x+ )-16=0, 令 x+ =y, 代入方程 x x x x 5 1 2 2 2 整理得:2y +3y-20=0, 解之得:y1= -4, y2= 即 x+ = -4, x +1= -4x, x +4x+1=0, 2 x
x ? 0
2 2

?

? 方程两边同除以 x

得:2x +3x-16+

2

x=

? b ? b 2 ? 4ac ? 4 ? 4 2 ? 4 ? 1 ? 1 ? 4 ? 12 ? 4 ? 2 3 = = = =-2 ? 3 , 2 2 2a 2 x1= -2+ 3 , x2= -2 - 3 1 5 1 2 2 又? x+ = 2x +2=5x, 2x -5x+2=0 (2x-1)(x-2)=0 x3= , x4=2 x 2 2

?

经检验知 x1= -2+ 3 , 例2
5 4

x2= -2- 3 ,x3=
3 2

1 , x4=2 都是原方程的根。 2

解方程 6x - 4 x -3x +3x -4x -6=0 解:观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数,且最高次幂项数是奇数,有 根 x=1,方程两边同除以因式(x-1)得: 6x +10x +7x +10x+6=0,方程两边同除以 x 并整理得: ? x 2 ? 6
4 3 2 2

? ?

1 x2

1? ? ? ? +10 ? x ? ? ? 7 ? 0 , x? ? ?

令 y=

1 ? x 得 6 y 2 ? 10y ? 5 ? 0 x ? 5 ? 55 ? 5 ? 55 y1 ? , y2 ? 6 6

方 程

x+

x?

1 ? 5 ? 55 ? 5 ? 55 ? 10 55 ? 64 得:x 2,3 ? ? x 6 12 ? ? 5 ? 55 ? 10 55 ? 64 ? ? ? ? ? 是原方程的实数根。 经检验知: x1 ? 1, x 2 ? 12

?

?

1 ? 5 ? 55 ? x 6

无 实 数 解 :

四、双二次方程及推广形式求根法 双二次方程有四种形式: 4 2 2 第一种是标准式,如:ax +bx +c=0 ,此时设 y=x 原方程化为含 y 的一元二次方程 2 2 ay +by+c=0,求出 y 值在代入 x 之值,从而求出 x 之值。 第二种形式双二次方程的推广形式。 2 2 2 2 如: (ax +bx+c) +m(ax +bx+c)+d=0 ,此时设 y=(ax +bx+c),也可转化为含 y 的一元二次 2 2 方程 y +my+d=0,解出 y 值代入 ax +bx+c=y 从而求出原方程的根 x 之值。 第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时,方程左边按照“创造相同的多项式, 换元替换”的要求,将(x+a)(x+c); (x+b)(x+d)结合(一般是最小数与最大数,中间数 2 2 与中间数组合) 展开相乘, , 创造相同的多项式 (ax +bx+c) 或成比例的多项式 m(ax +bx+c), 2 2 然后设 y=ax +bx+c,将原方程转化为含 y 的一元二次方程 y +my+e=0,求出 y 值,将 y 值代入 2 ax +bx+c=y 求 x 之值。 4 4 第四种形式是(x-a) +(x-b) =c 的形式,此时,将“-a”换成“+b”或将“-b”换成 “ +a ” 利 用 y=x+ ,
4

?? a ? ? ?? b ? , 消 去
2
4

x 的三次项和一次项,变成双二次方程

a?b? a ?b? ? ? ?y? ? + ?y? ? 的形式求解。 2 ? 2 ? ? ?
例1 解方程 x +3x -10=0 4 2 2 解:本例属于双二次方程标准式 ax +bx +c=0 的形式,直接设 y=x ,则原方程化为: y +3y-10=0
2 4 2

(y+5)(y+2)=0
2 2

y= -5 或 者 y=2
2

? x 2 ? ?5 ( 舍 去 ) , x2=2,x1= 2 ,

x2 ? ? 2
例 2 解方程(x -3x+2) =9x-3x -2 4 2 2 解 : 本例 属于 双二 次 标准 方 程 ax +bx +c=0 推广形 式 的第 二种 类型 ( ax +bx+c ) 2 2 +m(ax +bx+c)+d=0,因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理,对应项系 2 2 2 2 2 数成比例,即:(x -3x+2) +3(x -3x+2)-4=0 设 y=x -3x+2,则原方程转化为 y +3y -4=0 2 2 ??0 y ? ?4 , 或 者 y=1 x -3x+2=-4 ,x -3x+6=0 无 实数 根 , x -3x+2=1,x -3x+1=0
2 2

x=

3? 5 2

? 原方程的根 x1=
2

3? 5 , 2

x2=

3? 5 2

例 3 解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x

解 : 本 例 题 属 于 双 二 次 标 准 方 程 ax +bx +c=0 推 广 形 式 的 第 三 种 类 型 ( x+a ) (x+b)(x+c)(x+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设 y 换元的相同多项式”。根 据这个要求,只有将(x+2)(x+12)和(x+3)(x+8)组合(最小数 2 和最大数 8 组合,中间数 2 3 和 8 结 合 ), 才 能 创 造 出 “ 相 同 ” 的 多 项 式 “ x +24 ” , 即

4

2

?x

2

? 14x ? 24

? ?x
2

2

? 11x ? 24 ? 4 x 2 , 设 y ? x 2 ? 24 则 原 方 程 转 化 为
y +25xy+150x =0, (y+10x)(y+15x)=0
2 2 2

?

(y+14x)(y+11x)=4x ,

y+10x=0 或 y+15x=0,

y+10x+24=0 或 y+15x+24=0, x +10x+24=0,

x1=-4
x4 ?

x2=-6;
? 15 ? 129 2

x2+15x+24=0,

x?

? 15? 129 , 2
4

x3 ?
4

? 15 ? 129 2

例 4 解方程(x-6) +(x-8) =16 4 2 4 4 解:本题属于双二次标准方程 ax +bx +c=0 推广形式的第四种类型(x-a) +(x-b) =c 的形式。

?


x ?6? x ?8 ? x?7 2
化 为
2 2

? (x-6)4+(x-8)4=(x-7+1)4+(x-7-1)4,设 y=x-7 则原方程
:
4 2

?? y ? 1? ? ? ?? y ? 1? ? ? 16,
2 2
4

? y ? 1?4 ? ? y ?1?4 ? 16
3 2 4 2 3 2 2 2 2

, x-7= ? 1

y +6y-7=0 , y ? 7 y ? 1 ? 0 , y =-7 或 y =1,y =-7 无解;y =1, y= ? 1 x1=8 x2=6 ? 原 方程有根 x1=8 x2=6
2 2
2 4 4 点 拨 提 醒 : 凡 是 (x+a) +(x+b) =c 类 型 , 设 y ? x ?

?

??

?

(y +4y +1+4y +2y +4y)+(y +4y +1-4y +2y -4y)=16

a?b 2
2

,将双二次方程

(x+a) +(x+b) =c
2 2

4

4

??a ? b? ? ? ??a ? b? ?
求解

2 ?? a ?b? ? 转 化 为 ?? y ? ? ? 2 ? ? ?? ? ?

2

2 ?? a ?b? ? + ?? y ? ? ? ?c 2 ? ? ?? ? ?

,
4

利 用
2

2 2

,消去 x 的三次项和一次项,变为含 y 的双二次方程 ay +by +c=0


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