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山东省临沂市某重点中学2015-2016学年高二数学12月月考试题 理


高二上学期月考试题理科数学
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个正确答案) 1、已知 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 600 , C ? 750 ,则 b 等于 A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6 D. ( )

32 3
( )

2、等差数列 {an } 的前

n 项和为 S n ,且 S6 ? 39 , a1 ? 4 ,则公差 d 等于 A. 1 B.

5 3

C. 3

D. ?2 ( D. ac ? bc ( ) )

3、设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则

1 1 ? B. a 2 ? b 2 C. a ? c ? b ? c a b 4、若命题“ ? p ”与命题“ p ? q ”都是真命题,则
A. A.命题 p 与命题 q 的真假性相同 C.命题 q 不一定是真命题

B.命题 q 一定是真命题 D.命题 p 不一定是真命题

5、椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一焦 点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程

x2 y 2 ? ? 1 ,点 A 、 B 是它的两个焦点,当静止 25 9
( )

的小球放在 A 处,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后,再回到点 A 时,小球经过的路程是 A.20 6、已知 a ? ( , B.18 C.2 D.以上均有可能

?

? ? ? x y x y ,1), b ? ( , ? , ?1) ,曲线 a ? b ? 0 上一点 M 到 F (7, 0) 的距离为 11, N 是 MF 5 2 6 5 2 6
( C. )

的中点, O 为坐标原点,则 | ON | 的值为 A.

11 2
2

B.

21 2

1 2

D.

21 1 或 2 2
( )

7、抛物线 y ? 4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为 A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0

8、已知实数 4, m ,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 m





A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

D.7 或

5 6

1

9、设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的两渐近线与直线 x ?

2 围成的三角形区域(包含边界)为 D , P( x, y) 为区域 2
( )

D 内的动点,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为
A. ? 2 B. ?

2 2

C.0

D.

3 2 2

10、 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 与双曲线 C : x ? ? 1 有公共的焦点, C2 的一条渐近线与以 C1 2 a 2 b2 4
( D. b ? 2
2

的长轴为直径的圆相交于 A , B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 A. a ?
2



13 2

B. a ? 13
2

C. b ?
2

1 2


二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则命题 ? p 为 12、 ?ABC 中, B(?2, 0), C (2, 0) ,且满足条件 sin C ? sin B ?

1 sin A ,则动点 A 的轨迹方程为 2



13、已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 ? a2 ? a4 ? a10



14、 在四棱柱 ABCD ? A 底面 ABCD 为正方形, 侧棱与底面垂直, 且 AA 则直线 CD 1B 1C1D 1 中, 1 ? 2 AB , 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 15、如图 F 1,F 2 分别为椭圆 正三角形,则 b 的值是
2



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,点 P 在椭圆上, ?POF2 是面积为 3 的 a 2 b2


2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,请写出详细解答过程)
2 16、命题 p : “方程 x ?

y2 2 ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆” ;命题 q :对任意实数 x 都有 mx ? mx ? 1 ? 0 m

恒成立.若 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,求实数 m 的取值范围.

17、在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,若 sin B ? sin C ? sin A ? sin B sin C ,
2 2 2

且 AC ? AB ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? Sn ? 1(n ? N ? ) . (1)求数列 {an } 的通项公式;
? (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , bn?1 ? bn ? an (n ? N ) ,求证: bn ?

3 . 2

3

??? ? ??? ? 4 2 x2 y 2 19、已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、B 两点,且 OA ? OB ? ( , ) , 3 3 a b
求椭圆 C 的离心率.

E 、 F 分别是棱 BC , CC1 上的点, CF ? AB ? 2CE ? 2 , 20、如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 .
(1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值;

A1 B1 C1

D1

ABCD 所成锐二面角的余弦值. (2)求平面 A 1DE 与平面
B

A

F D E C

21 、 已 知 椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的 离 心 率 与 等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 互 为 倒 数 关 系 , 直 线 a 2 b2

l : x ? y ? 2 ? 0 与以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 是椭圆的上顶点,过点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A , B 两点,设两直线的斜率 分别为 k1 , k2 ,且 k1 ? k2 ? 4 ,证明:直线 AB 过定点( ?

1 , ? 1 ). 2

4

高二上学期月考试题参考答案 理科数学 一、选择题 C A C B D 二、填空题 11、 ?x0 ? R,sin x0 ? 1 三、解答题
2 16、解:命题 p :∵方程 x ?

2015-12-29

B B C D C

y2 12、 x ? ? 1( x ? 1) 3
2

13、

13 16

14、

2 3

15、 2 3

y2 ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆,∴ m ? 1 .??????2 分 m

命题 q :∵ mx ? mx ? 1 ? 0 恒成立,
2

当 m ? 0 时,符合题意;????????????????????????????4 分 当 m ? 0 时, ?

?m ? 0
2 ? ? ? m ? 4m ? 0

,解得 0 ? m ? 4 , ∴ 0 ? m ? 4 .?????????6 分

∵ p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,∴ p, q 一真一假.??????????????7 分 (1)当 p 为真, q 为假时, ?

?m ? 1 ,∴ m ? 4 ;?????????????9 分 ? m ? 4或m ? 0

(2)当 p 为假, q 为真时, ?

?m ? 1 ,∴ 0 ? m ? 1 .?????????????11 分 ?0 ? m ? 4

综上所述, m 的取值范围为 0 ? m ? 1 或 m ? 4 .?????????????????12 分

17、解:∵ sin B ? sin C ? sin A ? sin B sin C ,
2 2 2

∴ b ? c ? a ? bc ,即 a ? b ? c ? bc ,???????????????????4 分
2 2 2 2 2 2

∴ cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,即 A ? 60? ,????????????????????6 分 2bc 2

又 AC ? AB ?| AC | ? | AB | cos A ? 4 ,∴ | AC | ? | AB |? 8 ,?????????????8 分

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

S?ABC ?

? 1 ???? ??? | AC | ? | AB | sin A ? 2 3 .??????????????????????12 分 2

5

18、解: (1)由 an ? Sn ? 1

① ②

an?1 ? Sn?1 ? 1
①-②得:

an 1 ? ,????????????????????????????????2 分 an ?1 2
1 , 2

又 a1 ? S1 ? 1 ,∴ a1 ? ∴数列 {an } 是以

1 1 为首项, 为公比的等比数列, 2 2

∴ an ? ( ) ????????????????????????????????????6 分
n

1 2

(2)由 bn?1 ? bn ? an ,得 bn?1 ? bn ? an , ∴ b2 ? b1 ? a1

b3 ? b2 ? a2 b4 ? b3 ? a3
????

bn ? bn?1 ? an?1
以上各式累加得: bn ? b1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1

?

1 1 2 1 ? ( ) ? ? ? ( ) n ?1 2 2 2 1 1 1 1 ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ? 1 ? ( ) n ?1 ??????????????10 分 2 2 2 2

1 2 3 1 n ?1 3 ∴ bn ? ? ( ) ? .??????????????????????????????12 分 2 2 2
又 b1 ? a1 ?

19、解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , ∵ OA ? OB ? ( , ) ∴ x1 ? x2 ?

??? ? ??? ?

4 2 3 3

4 2 , y1 ? y2 ? ?????????????????????????2 分 3 3

6

?x ? y ?1 ? 0 ? 由 ? x2 y 2 .,得 (a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x ? a 2 ? a 2b2 ? 0 ??????????????4 分 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
由韦达定理,得 x1 ? x2 ?

2a 2 4 ? . ??????????????????????6 分 2 2 a ?b 3

? a 2 ? 2b 2 ??????????????????????????????????8 分

? b 2 ? a 2 ? c 2 ,? a 2 ? 2a 2 ? 2c 2 ,
? a 2 ? 2c 2 ,? e ? c 2 ???????????????????????????12 分 ? a 2

20、解:如图所示,建立空间直角坐标系, 由题意 AB ? 2, AD ? 4, AA 1 ?8, 所以 E (2,3, 0) , F (2, 4, 2) , A 1 (0,0,8) , D(0, 4,0) ,??????????????????2 分 (1) EF ? (0,1,2) , A 1D ? (0,4, ?8) ,

??? ?

???? ?

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? EF ?A1D 3 于是 cos EF , A1 D ? ??? ? ???? ? ? ? ,????????????????????????4 分 5 EF A1D
所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 (2) A 1D ? (0,4, ?8) , A 1E ? (2,3, ?8) ,

???? ?

????

3 ;????????????????????6 分 5
z A1 B1 C1 D1

?? 设平面 A 1DE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?4 y ? 8 z ? 0 ?n ? A1 D ?n ? A1 D ? 0 则 ? ? ???? ,即 ? ? ???? ,即 ? , ?2 x ? 3 y ? 8 z ? 0 ? ? ?n ? A1 E ?n ? A1 E ? 0
令 z ? 1 ,则 y ? 2 , x ? 1 , 所以 n1 ? (1,2,1) ,
x

A B

F E C

D y

??

又平面 ABCD 的法向量为 n2 ? (0,0,1) ,?????????????????????10 分

?? ?

?? ?? ? 6 cos ? n1 , n2 ?? ,??????????????????????????????12 分 6
ABCD 所成锐二面角的余弦值为 所以平面 A 1DE 与平面

6 .?????????????13 分 6
7

21、解: (1)∵等轴双曲线的离心率为 2 ,∴椭圆的离心率为

2 , 2

∴e ?
2

c2 a 2 ? b2 1 ? ? ,∴ a 2 ? 2b2 ,???????????????????????2 分 a2 a2 2

又直线 x ? y ? 2 ? 0 与 x2 ? y 2 ? b2 相切,∴ 得 b ? 1 ,∴ a ? 2 ,
2 2

|0?0? 2 | ? b ?????????????4 分 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????????????????????6 分 2

(2)①当直线 AB 的斜率不存在时,设方程为 x ? x0 ,则 A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) , 由已知

1 y0 ? 1 ? y0 ? 1 ? ? 4 ,得 x0 ? ? , 2 x0 x0 1 1 ,显然过点( ? , ?1 ).?????????????????8 分 2 2

此时直线 AB 的方程为 x ? ?

②当直线 AB 的斜率存在时,设方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 ,得 (2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,????????????????10 分 2 ? ? y ?1 ?2
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 x x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

∵ k1 ? k2 ? 4 ,∴

y1 ? 1 y2 ? 1 ? ? 4, x1 x2



kx1 ? m ? 1 kx2 ? m ? 1 x ?x ? ? 4 ,即 2k ? (m ? 1) 1 2 ? 4 , x1 x2 x1 x2

k ? 1 ,?????????????????????????????????12 分 2 k 1 直线 AB 的方程为 y ? kx ? ? 1 ? k ( x ? ) ? 1 , 2 2
所以 m ?
8

1 , ?1 ), 2 1 综上所述,直线 AB 过定点( ? , ?1 ).???????????????????????14 分 2
所以直线 AB 过定点( ?

9


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