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【高考复习方案】(新课标)2015届高三数学二轮限时训练 第3讲 不等式与线性规划


[第 3 讲
(时间:5 分钟+30 分钟 ) 基础演练 1.下列命题中,正确的是( ) A.若 a>b,c>d,则 ac>bc B.若 ac>bc,则 a>b a b C.若c2<c2,则 a<b D.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d x-1 2.不等式 ≤0 的解集为( 3x+1 )

不等式与线性规划]

? 1 ? A. -3,1 ? ? ? 1 ? B. -3,1 ? ?
1? ? C. -∞,-3 ∪[1,+∞)

?

?

1? ? D. -∞,-3 ∪[1,+∞)

?

?

3.已知集合 A={x|x2-2x-3>0},则集合 N∩(?RA)中元素的个数为( ) A.无数个 B.3 C .4 D.5 4.要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( ) A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 2x+y-2≥0, ? ? 5.设变量 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0,则目标函数 z=3x-2y 的最小值为________. ? ?x-1≤0, 提升训练 a b 6.设非零实数 a,b,则“a2+b2≥ab”是“b+a≥2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x≥1, ? ? x y 7.已知实数 x,y 满足?y≥1, 时,z=a+b(a≥b>0)的最大值为 1,则 a+b 的最小值为( ? ?x+y≤5 A.7 C.9 B.8 D.10 1 ? ?log2x,x>0, 8.已知函数 f(x)=?

)

? ?-x2-2x,x≤0,

则不等式 f(x)<0 的解集为(

)

-1-

A.{x|x<-2 或 x>1} C.{x|x>1}

B.{x|x<0或x>1} D.{x|x<-2}

y≥x, ? ? 9.设变量 x,y 满足?x+3y≤4, 则 z=|x-3y|的最大值为( ? ?x≥-2, A.3 B.8 13 C. 4 9 D.2

)

10.已知函数 f(x)=x(x-a)(x-b)的导函数为 f′(x),且 f′(0)=4,则 a2+2b2 的最小值为(

)

A.4 2 B.8 C .8 2 D.12 11.某旅行社用 A,B 两种型号的客车安排 900 人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人 和 60 人,租金分别为 1600 元∕辆和 2400 元∕辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车 至多比 A 型车多 7 辆,则租金最少为( ) A.31 200 元 B.36 000 元 C.36 800 元 D.38 400 元 x 12.在 R 上定义运算?:x?y= .若关于 x 的不等式 x?(x+1-a)>0 的解集是{x|-2≤x≤2,x 2-y ∈R}的子集,则实数 a 的取值范围是( A.-2≤a≤2 B.-1≤a≤2 C.-3≤a<-1 或-1<a≤1 D.-3≤a≤1 )

x+y≥1, ? ? 13.已知点 P(x,y)满足约束条件?x-y≥-1,O 为坐标原点,则 x2+y2 的最小值为________. ? ?2x-y≤2, 4 14.已知函数 f(x)=x+ (x>1),当 x=a 时,f(x)取得最小值 b,则 a+b=________. x-1 x+y-3≤0, ? ? 15.已知直线 2mx-(m+1)y+4=0 上存在点(x, y)满足?x-2y-3≤0,则实数 m 的取值范围为 ? ?x≥1, ________.

-2-

专题限时集训(三) 【基础演练】 1.C [解析] C 中 c2>0,故 a<b 成立. 2.B
?(x-1)(3x+1)≤0, ? 1 [解析] 原不等式等价于? 解得-3<x≤1. ?3x+1≠0, ?

3.C

[解析] 集合 A={x|x<-1或x>3},所以?RA={x|-1≤x≤3},所以 N∩?RA={0,1,2,3},

有 4 个元素. 4.C [解析] 设长方体容器的底面长、宽分别为 a m,b m,则有 a×b×1=4,得 ab=4,该容 器的总造价 y=20ab+(2a+2b)×1×10=80+20(a+b)≥80+40 ab=160.当且仅 a=b=2 时等号 成立,故该容器的最低总造价是 160 元. 3 z 5.-4 [解析] 作出不等式组对应的可行域如图所示,由 z=3x-2y 得 y=2x-2,由图像可 3 z 3 z 知当直线 y=2x-2经过点 C(0,2)时,直线 y=2x-2的截距最大,而此时 z=3x-2y 取得最小 值,且 zmin=-4.

【提升训练】 6.B a b a b [解析] 当 a,b 异号时,有 a2+b2≥2ab,但b+a≥2 不成立;反之,若b+a≥2,说明

a b a,b 同号,一定有 a2+b2≥2ab.所以“a2+b2≥2ab”是“b+a≥2”的必要不充分条件. x y 7.D [解析] 由不等式组画出可行域如图所示,当目标函数 z=a+b经过 A 点时取得最大值, 4a a≥ , ? ? a - 1 1 4 1 4 4a 4a 所以a+b=1.由a+b=1, 得 b= , 因为 a≥b>0, 所以? 解得 a≥5.由 a+b=a+ a-1 a-1 4a ?a-1>0, ? 4 4 4 =a-1+ +5,设 f(a)=a-1+ ,则 f′(a)=1- ,令 f′(a)>0,得 f(a)在(-∞, a-1 a-1 (a-1)2 -1),(3,+∞)上单调递增,因为 a≥5,所以 f(a)在[5,+∞)上单调递增,所以 f(a)min=f(5) =5,所以(a+b)min=10.

-3-

8.A

1 [解析] 当 x>0 时,由 log2x<0,解得 x>1;当 x≤0 时,由-x2-2x<0,解得 x<-2.所以

不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-2 或 x>1}. 9.B [解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图所示.设 x-3y=c,显然当直线 x-3y=c 经过点 A(-2,2),B(-2,-2)时,c 分别取得最小值-8 和最大值 4,故-8≤c≤4,所以 z=|x -3y|的最大值为 8.

10.C

[解析] f(x)=x3-(a+b)x2+abx,f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab,所以 f′(0)=ab=4,所以 a2 2ab=8 5 3 2,当且仅当 a=24,b=24时等号成立. 36x+60y≥900,

+2b2≥2

11. C

? ?x+y≤21, [解析] 设租用 A, B 型号的车辆分别为 x 辆 y 辆, 则 x, y 满足不等式组?y-x≤7, x≥0, ? ?y≥0,

租金 z=1600x+2400y. 不等式组所表示的平面区域如图所示,将顶点坐标(7,14),(5,12),(15,6),顺次代入 z= 1600x+2400y,得 z=44 800,36 800,38 400,可知当 x=5,y=12 时,zmin=36 800.此时 x, y 均为正整数,故点(5,12)为最优解,即租用 A,B 型号的车辆分别为 5 辆,12 辆时,租金最 少,为 36 800 元.

x x x 12.D [解析] x?(x+1-a)>0? >0 ? >0? <0,设 A 为 2-(x+1-a) a+1-x x-(a+1)

-4-

关于 x 的不等式 x?(x+1-a)>0 的解集,当 a+1=0,即 a=-1 时,A 为?,符合题意;当 a +1>0,即 a>-1 时,A=(0,a+1)?[-2,2],则 a+1≤2,即 a≤1,所以-1<a≤1;当 a+ 1<0,即 a<-1 时, A=(a+1,0) ?[-2,2],则 a+1≥-2,即 a≥-3,所以-3≤a<-1.综上可知,-3≤a≤1. 1 13.2 [解析] x2+y2 的几何意义为可行域内的点到原点 O 的距离的平方,作出可行域如图所 示,易知在可行域内到原点 O 的距离最小的点在线段 AB 上,即求点 O 到线段 AB 的距离的平 |-1| 2 1 方,由 d= = 2 ,得(x2+y2)min=d2=2. 2

4 4 14.8 [解析] ∵f(x)=x+ =x-1+ +1,x-1>0, x-1 x-1 4 ∴f(x)=x-1+ +1≥2 x-1 4+1=5=b,

4 当且仅当 x-1= ,即 x=3 时等号成立,∴a=3. x-1 ∴a+b=8.
? ? ?2x-y=0, ?x=2, 2 15. m≤-3 [解析] 由 2mx-(m+1)y+4=0 得(2x-y)m-y+4=0, 令? 得? ?-y+4=0, ? ?y=4, ?

所以直线恒过点(2,4),当 m+1=0,即 m=-1 时,x=2 符合题意;当 m≠-1 时,二元一次 2m 4-0 2m 不等式组表示的区域如图所示, 由图可知若存在(x, y)满足题意, 需满足 ≤ 或 ≥ m+1 2-3 m+1 4-2 2 ,解得 m≤-3. 2-1

-5-


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