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高中数学 第三章 推理与证明 高考数学类比题考查类型探求拓展资料素材 北师大版选修1-2


高考数学类比题考查类型探求
从近几年高考数学试题中不难看出, 类比题已成为高考试题的热点问题。 笔者认为求解 类比推理问题的关键在于确定类比物,建立类比项,通过对数学结论的运算、推理过程等进 行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在联系。下举例谈谈高考数学类比 题考查类型。 一、 图象特征类比型 例 1、 如图 1, 对于函数 f ( x) ? x2 ( x

? 0) 上任意两点 A (a, a 2 ) ,B

??? ? (b, b2 ) ,连线段 A B 必在弧线段 AB 的上方,设点 C 分 AB 的比为 ?
( ? >0),则由点 C 在点 C 上方可得不等式
/

a 2 ? ?b 2 a ? ?b 2 ?( ) 。 1? ? ? 1? ? ?

请分析函数 y=lnx(x>0)的图象,类比上述不等式可以得到的不等式 是 . 解析:本题的类比物是函数 f ( x) ? x2 ( x ? 0) 与函数 y=lnx (x>0) 的图象,而类比项是 a,b 与 ? 之间建立的不等关系.首先弄清不等式

a 2 ? ?b 2 a ? ?b 2 ?( ) 的来龙去脉。按题给信息,该不等式是“由点 C 在点 C / 上方”得到 1? ? ? 1? ? ?
的,也就是说该不等式是这一几何特征的代数化。因为 C 分 AB 的比为 ? ( ? >0),又因为 A (a, a ) ,B (b, b ) , 所以
2 2

??? ?

a ? ?b a ? ?b 2 a 2 ? ?b2 ( ) 是 C 点的纵坐标, 而 是 C 点的横坐标, 1? ? ? 1? ? ? 1? ? ?
/

就是 C 点的纵坐标。因此由 C 点在 C 点的上方.即得

/

a 2 ? ?b 2 a ? ?b 2 ?( ) 。最后.作出函 1? ? ? 1? ? ?

数 y=lnx(x>0)的图象(如图 2)进行比较分析.设函数图象上任意两点 A (a,ln a) ,B

??? ? a ? ? b ln a ? ? ln b , ) 。C / 点坐 (b, lnb) ),点 C 分 AB 的比为 ? ( ? >0),则 C 点坐标为为 ( 1? ? 1? ? a ? ?b a ? ?b , ln ) 。显然有 C 点在 C / 点的下方。因此可以得到的不等式是 标为 ( 1? ? 1? ?
ln a ? ? ln b a ? ?b ? ln 。 1? ? 1? ?

点评: 本题通过两类函数的图象特征结合定比分点公式类比得出函数一个重要不等式性 质,其实质就是函数的凹凸性。 二、 运算法则类比型 例 2、已知命题:若数列 ?an ? 为等差数列,且
am ? a, an ? b(m ? n, m, n ? N * ), 则am ? n ? b ? n ? a ? m 。现已知数列 n?m

?bn? (bn ? 0, n ? N * ) 为等比数列,


且 bm ? a, bn ? b(m ? n, m, n ? N * ), 若类比上述结论,则可得到 则bm? n ?

解析:本题的类比物是等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? ,类比项是数列的第 m+n 项与第 m 项、第 n 项的等量关系,因为在等差数列 ?an ? 中,由等差数列性质得
?am? n ? am ? nd ?am?n ? a ? nd b ? n ? a ? m 。所以在等比数列 ?b ? 中, 即? ? am ? n ? n ? n?m ?am? n ? an ? md ?am?n ? b ? md
am ? a, an ? b(m ? n, m, n ? N * ), 则am ? n ?
n n ? ? ?bm ? n ? bm ? q ?bm ? n ? a ? q 即 ? ? ? m m ?bm ? n ? bn ? q ?bm ? n ? b ? q ? ?

b ? n ? a ? m 同样由等比数列的性质得 n?m
n?m

bm?n ?

bn 。 am

点评:实际上,等差数列与等比数列的类比是“运算法则”的比较,是等差数列中的 “和、差、积、商”与等比数列中的“积、商、幂、开方”一一对应,即等差数列中的 “ b ? n, a ? m ”在等比数列中变为“ bn , am ”,“ b ? n ? a ? m ”变为“

bn ” ,因此 am

am ? n ?

b ? n ? a ? m 的类比项为 b m? n n?m

?

n?m

bn 。 am

三、计算方法类比型 例 3、对于数学问题“已知 cos(? ? ? ) ? 我们计算可得 tan ? tan ? ? 的一组可以求

2 1 ,cos(? ? ? )= ,求 tan ? tan ? 的值 ”。 3 4

5 的值 。请你分析该数学问题,用类比推理的方法,给出类似 11


tan ? 的值 的条件: tan ?

解析: 应该说本题的类比物与类比项是难以确定的。 我们首先来分析一下原数学问题是 如何由条件求出 tan ? tan ? ?

5 的值 ,将条件利用两角和与差的余弦公式展开,由 11

11 ? 2 ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? sin ? sin ? 5 。考虑到 ? 24 ? 3 ? tan ? tan ? ? ? ?? ? cos ? cos ? 11 ?sin ? sin ? ? 5 ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 1 ? ? ? 24 ? 4

tan ? 的值 是由 tan ?

sin ? cos ? 确定的,可以设想条件应该是关于 sin ? cos ? ,cos ? sin ? 的二元方程,类比 cos ? sin ?
原问题条件形式,自然联想到两角和与差的正弦公式,因此,这组条件可以是:

2 1 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? )= 。 3 4
点评:本题是开放题,条件可以多种多样,一般写出 sin(? ? ? ) ? a,sin(? ? ? )=b , 只要 | a |? 1,| b |? 1即可。)现在我们不难发现,本题的类比物实际上是一种三角运算结构的 “定式”,类比项是两角和与差的正、余弦公式。 四、性质定义类比型 例 4、我们知道:在抛物线中,以过抛物线焦点的弦为直径的圆,必与抛物线的准线相 切,类比这一抛物线性质,研究椭圆或双曲线中,以过焦点的弦为直径的与对应准线的位置 关系,同样可以得出类似的性质.请你写出一个正确的性质。 解析:本题的类比物是圆锥曲线中的抛物线、椭圆与双曲线,类比项是以 焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系, 首先我们探求抛物线中“以焦 点弦为直径的圆与准线相切”的实质.如图 3,A ,B,M(M 为圆心)在准线 l

上的射影为 A , B , M , 则MM ?
/ / / /

1 ( AA/ ? BB / ) .由抛物线的定义知 2 1 1 AA/ ? AF , BB / ? BF即MM / ? ( AF ? BF ) ? AB ,所以以 AB 为直 2 2

径的圆与准线 l 相切。 现在利用圆锥曲线的统一定义“到焦点距离与其到相应准线的距离 之比等于离心率”,考虑椭圆或双曲线中的类似问题,如图 4,设曲线 C 是椭圆或双曲线的 一部分,离心率为 e。A、B、M 在准线 l 上的射影为 A , B , M , 则MM ?
/ / / /

1 ( AA/ ? BB / ) . 2

1 1 ( AF ? BF ) ? AB ,所以以 AB 为直 2e 2e / 1 径的圆与准线 l 相切。若曲线 C 是椭圆,则“0<e < 1,MM > AB,以 AB 为直径的圆与准线 2
由统一定义知 AF ? eAA , BF ? eBB 即MM ?
/ / /

l 相离.若曲线 C 是双曲线,则 e>1,MM'<

1 AB,以 AB 为直径的圆与准线 l 相交.因此,类比 2

得出的性质是“在椭圆中,以过椭圆焦点的弦为直径的圆,必与椭圆的相应准线相离”,或 “在双曲线中,以过双曲线焦点的弦为直径的圆,必与双曲线的相应准线相交”。 点评:解析几何的研究对象是直线、圆和圆锥曲线,因此,在圆、椭圆、双曲线、抛物 线之间相互类比,是类比推理的主要内容.在解析几何中,通过类比,有利于发现新定理以 及开拓解题思路的重要方法. 五、平面空间类比型 例 5、 在 ? DEF 中有余弦定理:DE ? DF ? EF ? 2DF ? EF cos?DFE . 拓展到空间,
2 2 2

类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱 ABC- A1 B1C1 的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二 面角之间的关系式,并予以证明。 解析:根据类比猜想得出 S AA1C1C ? S ABB1A1 ? S BCC1B1 ? 2S ABB1A1 ? S BCC1B1 cos? .
2 2 2

其中 ? 为侧

面为 ABB 1A 1 与 BCC1 B1 所成的二面角的平面角.

FE 为面 ABB 证明:作斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的直截面 DEF,则 ? D 1A 1 与面 BCC1 B1 所成
角,在 ?DEF 中有余弦定理: DE ? DF ? EF ? 2DF ? EF cos?? ,
2 2 2

同乘以 AA 1 ? DF ? AA 1 ? EF ? AA 1 ? 2DF ? AA 1 ? EF ? AA 1 cos?? 1 ,得 DE ? AA
2 2 2 2 2 2 2



2 2 2 S AA ? S ABB ? S BCC ? 2S ABB1A1 ? S BCC1B1 cos? 1C1C 1A 1 1B 1

点评:本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广,因为类比是数学 发现的重要源泉,因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。 六、新定义类比型 例 6、规定: C x ?
m

x( x ? 1) ? ? ? ( x ? m ? 1) 0 ,其中 x ? R , m 是正整数,且 C x ? 1 ,这 m!

m 是组合数 Cn (n , m 是正整数,且 m ? n) 的一种推广. 5 (1)求 C? (2)组合数的两个性质( Cn ? Cn 15 的值; m m n ?m m m?1 m , Cn ? Cn ? Cn ?1 )是否都

能推广到 C x ( x ? R , m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若 不能, 则说明理由; (3) 已知组合数 C n 是正整数, 证明: 当x?Z , Cx ? Z . m 是正整数时,
m m

解析: 本题“新的规定 C x ( x ? R , m 是正整数)”是组合数 C n ( n , m 是正整数,且
m m

m ? n )的一种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的,目的是考查考生对相关的数
学思想方法的自觉运用以及创新思维能力.
(?15)( ?16)( ?17 )( ?18)( ?19) 5 解: (1)根据新规定直接进行演算即可 C ? ? ?11628 . 15 ? 5!

(2)性质①不能推广.反例:当 x ?

2 , m ? 1时, C 1 2 有意义,但 C

2 ?1 无意义.性质② 2

m m?1 m 能推广,且推广形式不变: Cx ? Cx ? Cx ?1 ( x ? R , m 是正整数).

证明如下: C m ? C m?1 ? x( x ? 1)(x ? 2) ? ? ? ( x ? m ? 1) ? x( x ? 1)(x ? 2) ? ? ? ( x ? m ? 2) = x( x ? 1)( x ? 2) ? ? ? ( x ? m ? 2) ? ( x ? 1)
x x

m!

(m ? 1)!

m!

m = 1 ? ( x ? 1)?( x ? 1) ? 1??( x ? 1) ? 2? ? ? ? ?( x ? 1) ? m ? 1? = C x ?1

m!

(3)需要就 x 与 m 的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.
m 当 x ? m 时, x , m 都是正整数, C n 就是组合数,结论显然成立;

当 0 ? x ? m 时, C m
x

?

x( x ? 1)( x ? 2) ? ? ? 0 ? ? ? ( x ? m ? 1) ? 0 ? Z ,结论也成立;当 x m!

? 0 时,

m Cx ?

x( x ? 1)( x ? 2) ? ? ? ( x ? m ? 1) 1 ? (?1) m (? x ? m ? 1)( ? x ? m ? 2) m! m!

m ? ? ? (? x ? 1)(? x) ? (?1) m C? x ? m?1

m m m ? ? x ? m ? 1 ? 0 ,?C? ) m C? x?m?1 是正整数,故 C x ? (?1 x?m?1 ? Z . m 综上所述,当 x ? Z , m 是正整数时, Cx ?Z .

点评: 本题以组合数为载体考查运用类比推理和分类讨论的数学思想方法, 考查运算能 力和创新思维能力。 波利亚说过,如果没有相似推理,那么无论是在初等数学还是在高等数学中,甚至在其 他任何领域中,本来可以发现的东西,也可能无从发现。因此,在教学中必须重视培养学生 的类比推理和归纳推理的能力。根据教材特点,在传授新知识时,有意识地引导学生,通过 类比与归纳得出新的知识,逐步学会类比推理的方法。在进行知识复习时,经常对相关的知 识进行类比,培养学生对相关知识进行类比的习惯。在解题教学中,通过类比,引导学生推 广数学命题,或通过类比,探求解题途径,深化对知识的理解,对数学思想方法的掌握。通 过类比,拓展学生的数学能力,提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力,提高学 生的实践能力和创新精神。


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