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2016年高考数学压轴题(理科)


2016 年包九中数学压轴模拟卷一(理科)
(试卷总分 150 分 考试时间 120 分钟)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的.
x 1.已知全集 M ? {x y ? 2 } ,集合 N = {x | y = lg(2 x - x2

)},则 M ? N = (



A. (0, 2)

B. (2,??)

C. [0,??) (

D. (??,0) ? (2,??) )

2. 在复平面内,复数 z ? A.第一象限

1 ? i 3 ,则复数 z 对应的点位于 1? i
C.第三象限

B.第二象限

D.第四象限

3.关于直线 m,n 与平面??,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥??且??∥?,则 m∥n; ③m⊥?,n∥??且??∥?,则 m⊥n; 其中真命题的序号是( A.①② ). C.①④ D.③④ ) ②m⊥?,n⊥??且??⊥?,则 m⊥n; ④m∥?,n⊥??且??⊥?,则 m∥n.

B.②③

4.已知 g ( x) 为三次函数 f ( x) ?

a 3 x ? ax 2 ? cx 的导函数,则函数 g ( x) 与 f ( x) 的图像可能是( 3

5.已知数列 {an }满足an ?1 ? an ? 1(n ? N ? ), 且a2 ? a4 ? a6 ? 18, 则 log 3 (a5 ? a7 ? a9 ) 等于( A.2 B.3 C.—3 D.—2



6.执行右面的程序框图,如果输出的是 a ? 341 ,那么判断框( A. k ? 4 ? B. k ? 5? C. k ? 6 ? D. k ? 7 ?



7. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓 度在 20—80 mg/100ml(不含 80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上 三个月以下驾驶证,并处 200 元以上 500 元以下罚款;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车,处十 五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶 证,并处 500 元以上 2000 元以下罚款. 据《法制晚报》报道,2016 年 1 月 15 日至 4 月 28 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人,如图 1 是对这 28800 人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图,则属于醉酒驾车的人数约为( ) A.2160 B.2880
1

C.4320

D.8640 )

8.—个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 48 ? 8 17 B. 32 ? 8 17 C.48 D. 80

9. 已知函数 f ( x ) 在 x ? R 上恒有 f (? x) ? f ( x) ,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时,

f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f (?2012) ? f (2013) 的值为(



A. ? 2 B. 1 C. ?1 D. 2 10.在△ABC 中,a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量 m=(b-c,c-a),n=(b,c+a), 若向量 m⊥n,则角 A 的大小为( ) 2π π π π A. B. C. D. 3 6 2 3 11.给出定义:若函数 f ( x ) 在 D 上可导,即 f ?( x ) 存在,且导函数 f ?( x ) 在 D 上也可导,则称 f ( x ) 在 D 上 存在二阶导函数,记 f ??( x) ? f ? ? x ? ? ,若 f ??( x) ? 0 在 D 上恒成立,则称 f ( x ) 在 D 上为凸函数.以下四

?

?

个函数在 ? 0,

? ?

??

? 上不是凸函数的是( 2?



A. f ( x) ? sin x ? cos x C. f ( x) ? ? x ? 2 x ?1
3

B. f ( x) ? ln x ? 2 x D. f ( x) ? ? xe
?x

12.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A ,与另一条渐近线交 a 2 b2
??? ?


于点 B ,若 FB ? 2 FA ,则此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 D. 5

??? ?

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.

A B C中, ? A ? 13.在 △

? B? 6 ,则 ?C ? ,B C?3, A 3
2 2



14.若 a, b, c 是直角三角形 ?ABC 的三边的长( c 为斜边) ,则圆 C : x ? y ? 4 被直线 l : ax ? by ? c ? 0 所 截得的弦长为 .
2

x+y≥1, ? ? 15.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2, 是 .

目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围

? ex , x≥0 16. 已知函数 f (x) ? ? ,则关于 x 的方程 f 给出下列四个命题: ? ? f?? x ? k ? 0 2x, x ?0 ?? ①存在实数 k ,使得方程恰有 1 个实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 3 个不相等的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不相等的实根.
其中正确命题的序号是 (把所有满足要求的命题序号都填上) . 三.解答题:本大题共 8 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {a n } 的公差不为零,且 a3 ? 5 , a1 , a 2 , a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? 2b2 ? 2 2 b3 ? ? ? 2 n?1 bn ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间 T(单位:年)有关,若 T ? 1,则销售利润为 0 元; 若 1<T ? 3, 则销售利润为 100 元, 若 T>3,则销售利润为 200 元. 设每台该种电器的无故障使用时间 T ? 1, 1<T ? 3, T>3 这三种情况发生的概率分别为 P 1, P 2 为方程 25x -15x+a=0 的两根,且 P 2 ? P 3. 1, P 2, P 3 ,又知 P
2

(Ⅰ)求 P 1, P 2, P 3 的值; (Ⅱ)记 ? 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求 ? 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD ,
P

?ABC ? 90? , AB = PB = PC = BC = 2CD , 平面PBC ? 平面ABCD
(Ⅰ)在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM ∥平面 PAD ?若存在, 求
C B D A

PM 的值;若不存在,请说明理由. PB

(Ⅱ)求平面 PAD 和平面 BCP 所成二面角(小于 90° )的大小; 20. (本小题满分 12 分) 已知点 M 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别为 C 的左右焦点, | F1F2 |? 2 3 , a 2 b2

?F1MF2 ? 600 , ?F1MF2 的面积为
(1)求椭圆 C 的方程;

3 . 3

(2)设过椭圆右焦点 F2 的直线 l 和椭圆交于两点 A, B ,是否存在直线 l ,使得△ OAF2 与

3

△ OBF2 的面积比值为 2 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x(a ? R) (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最大值和最小值; (Ⅱ)如果函数 g ( x), f1 ( x), f 2 ( x) 在公共定义域 D 上,满足 f1 ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) , 那么就称 g ( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数” .已知函数

1 1 f1 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ax .若在区间 (1,??) 上, 2 2
函数 f ( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数” ,求 a 的取值范围. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分) 如图,已知⊙O 的半径为 1,MN 是⊙O 的直径,过 M 点作⊙O 的切线 AM,C 是 AM 的中点,AN 交⊙O 于 B 点,若四边形 BCON 是平行四边形; (Ⅰ)求 AM 的长; (Ⅱ)求 sin∠ANC.

23. (本小题满分 10 分)
? 2 x?? 5? t ? ? 2 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程是: ? ? y? 5? 2t ? 2 ?
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)将曲线 C 横坐标缩短为原来的 直线 l 距离的最小值. 24. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a . (I)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 1 ; (II)若 f ( x) ? 1 的解集为 x 0 ? x ? 2 ,

(t为参数) .

1 ,再向左平移 1 个单位,得到曲线曲线 C1 ,求曲线 C1 上的点到 2

?

?1?
m

1 ? a(m ? 0, n ? 0) ,求证: m ? 2n ? 4 . 2n

4


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