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三角函数y=Asin(wx+&)的图像习题及答案


函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
(时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) π? π 1.将函数 y=sin? ?2x+4?的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移4个单位,所 得到的图象解析式是( ) A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x C.f(x)=sin 4x D.f(x)=cos 4x π π ? 2.设函数 f(x)=2sin? ) ?2x+5?.若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为( 1 A.4 B.2 C.1 D. 2 π π 3.将函数 y=sin(x-θ)的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称轴是直线 x= , 3 4 5 5 7 11 则 θ 的一个可能取值是( ) A. π B.- π C. π D.- π 12 12 12 12 π 4π 4.设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是( ) 3 3 2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2 π 1 5. 电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0, ω>0,0<φ< )的图象如右图所示, 则当 t= 2 100 秒时,电流强度是( ) A.-5 安 B.5 安 C.5 3安 D.10 安

( 第 5 题 ) ( 第 6 题 ) (第 7 题) 二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω=__________. 7. 函数 y=Asin(ωx+φ)(A、 ω、 φ 为常数, A>0, ω>0)在闭区间[-π, 0]上的图象如图所示, 则 ω=________. π π ? ? ? 8.设函数 y=2sin? ?2x+3?的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈?-2,0?,则 x0=________. π π π 9.设函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x= 对称,则在下面 2 2 12 π ? ?π ? 四个结论中:①图象关于点? ?4,0?对称;②图象关于点?3,0?对称; π? ? π ? ③在? ?0,6?上是增函数;④在?-6,0?上是增函数,所有正确结论的编号为________. 三、解答题(共 41 分) π 10.(13 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示.(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)如何由函数 y=2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,试写出变换过程.

π 11.(14 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如图所示 2 (1)求函数 f(x)的解析式; 2? (2)当 x∈? ?-6,-3?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值.

π 12.(14 分)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< )的一段图象如图所示. 2 (1)求函数 y=f(x)的解析式; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象,求直线 y= 6与函数 y=f(x)+g(x)的 4 图象在(0,π)内所有交点的坐标.

答案 10. 解

1.A 2.B 3.A 4.C 5.A (1)由图象知 A=2.

6.

3 2

7. 3

π 8. - 6

9. ②④

5π π? 2π f(x)的最小正周期 T=4×? ?12-6?=π,故 ω= T =2. π ? ?π ? 将点? ?6,2?代入 f(x)的解析式,得 sin?3+φ?=1. π π 又|φ|< ,∴φ= . 2 6 π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+6?. π? 横坐标缩短为原来的2 π? (2)方法一 y=2sin x ?????? ? y=2sin? ? y=2sin? 纵坐标不变 ?x+6? ??????? ?2x+6?.
向左平移 个坐标 6
横坐标缩短为原来的 向左平移 个坐标 π? 2 12 方法二 y=2sin x ??????? ? y=2sin 2x ?????? ? y=2sin? 纵坐标不变 ?2x+6?. 1

?

1

?

11. 解

(1)由图象知 A=2,T=8, 2π π ∵T= =8,∴ω= . ω 4 π ? 又图象过点(-1,0),∴2sin? ?-4+φ?=0. π π? π π ∵|φ|< ,∴φ= .∴f(x)=2sin? ?4x+4?. 2 4 π π? π ?π π π? ?π π? (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin? ?4x+4?+2sin?4x+2+4?=2 2sin?4x+2?=2 2cos 4x. 2? 3π π π ∵x∈? ?-6,-3?,∴- 2 ≤4x≤-6. π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. 4 易错分析 y=f(x)+f(x+2)化简错误,化简公式和方法不熟致误. 2π 12. 解 (1)由题图知 A=2,T=π,于是 ω= =2, T π 将 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,得 y=2sin(2x+φ)的图象. 12 π? π π 于是 φ=2× = ,∴f(x)=2sin? ?2x+6?. 12 6 π π π? ? x- ? ? (2)依题意得 g(x)=2sin?2? ? ? 4?+6?=-2cos?2x+6?. π? π? π? ? ? 故 y=f(x)+g(x)=2sin? ?2x+6?-2cos?2x+6?=2 2sin?2x-12?. π? π? 3 ? 由 2 2sin? ?2x-12?= 6,得 sin?2x-12?= 2 . π π π ∵0<x<π,∴- <2x- <2π- . 12 12 12 π π π 2π ∴2x- = 或 2x- = , 12 3 12 3 5 3 ∴x= π 或 x= π, 24 8 5π ? ?3π ? ∴所求交点坐标为? ?24, 6?或? 8 , 6?. π? π ? π? 易错分析 f(x)向右平移 个单位得 g(x)=2sin? ?2?x-4? +6?,学生易错为 4 π π? g(x)=2sin? ?2x-4+6?,忽略了 x 的系数 2 的作用.



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