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北京市海淀区2013届高考一模数学文试题(WORD解析版)


2013 年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 分) (5 (2013?海淀区一模)集合 A={x∈N|x≤6},B={x∈N|x ﹣3x>0},则 A∩B=( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{4,5,6} D.{3,4,5,6} 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:求出集合 A,B 中不等式的解集中的自然数解,根据交集的定义,求出得到两个集合的交集. 解答:解:A={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5,6}, 2 B={x∈N|x ﹣3x>0}={x|x>3,x∈N}, ∴A∩B={4,5,6}, 故选 C. 点评:此题是个基础题.本题属于以不等式的解集为平台,求集合的交集的基础题,也是高考常会 考的题型.做题时应注意理解集合 B 的元素.
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2

2. 分) (5 (2013?海淀区一模)等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9 则 a1a6 的值为( A.14 B.18 C.21 D.27



考点:等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a2+5d=9,a1+d=3,解方程可求 a1,d,即可求解 a1a6 解答:解:由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a2+5d=9,a1+d=3 解方程可得,a1=2,d=1 ∴a1a6=2×7=14 故选 A 点评:本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用,属于基础试题
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3. 分) (5 (2013?海淀区一模)某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的 x 值为 5,则输出的 y 值为( )

A.

B.1

C.2

D.﹣1

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:按照程序框图的流程写出前几次循环的结果,并判断每次得到的结果是否满足判断框中的条 件,直到满足,执行输出 y,可得答案. 解答:解:经过第一次循环得到 x=3,不满足判断框中的条件;经过第二次循环得到 x=1,不满足判 断框中的条件;
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经过第三次循环得到 x=﹣1,满足判断框中的条件;执行“是”,y=2 = ,输出 y 值为 . 故选 A. 点评:本题考查解决程序框图中的循环结构时常采用写出前几次循环的结果,找规律.属于基础题. 4. 分) (5 (2013?海淀区一模)已知 a>0,下列函数中,在区间(0,a)上一定是减函数的是( 2 x A.f(x)=ax+b B.f(x)=x ﹣2ax+1 C.f(x)=a D.f(x)=logax )

﹣1

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析:题目给出的函数分别是一次函数、二次函数,指数函数及对数函数,在 a>0 时,逐一分析各 函数在(0,a)上的单调性即可得到正确答案. 解答:解:∵a>0,则函数 f(x)=ax+b 的斜率大于 0,直线 f(x)=ax+b 的倾斜为锐角,函数 f(x) =ax+b 在定义域 R 上为增函数,不满足在区间(0,a)上一定是减函数; 2 对于函数 f(x)=x ﹣2ax+1,图象是开口向上的抛物线,对称轴为 x=a,所以该函数在区间 (0,a)上一定是减函数;
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对于函数 f(x)=a ,当 0<a<1 时,该函数在 R 上为减函数,当 a>1 时,函数在 R 上为增 函数; 对于函数 f(x)=logax,当 0<a<1 时,函数在 R 上为减函数,当 a>1 时,函数在 R 上为增 函数; 2 故满足 a>0,在区间(0,a)上一定是减函数的是 f(x)=x ﹣2ax+1. 故选 B. 点评:本题考查了函数的单调性及证明,考查了基本初等函数性质,属基础题型.

x

5. 分) (5 (2013?海淀区一模)不等式组

表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值

为( A.0

) B.1 C.2 D.3

考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先作出不等式组表示的平面区域,根据已知条件可表示出平面区域的面积,然后结合已知可 求 k.
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解答:解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示, 由题意可得 A(1,3) ,B( , ) ,C(1,k)

∴S△ ABC= AC?d(d 为 B 到 AC 的距离) = ×(3﹣k)×( ∴k=1. 故选 B. ﹣1)=1,

点评:本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域,属于基础试题. 6. 分) (5 (2013?海淀区一模)命题 P:?α∈R,sin(π﹣α)=cosα; 命题 q:?m>0,双曲线 ﹣ =1 的离心率为 .

则下面结论正确的是( ) A.P 是假命题 B.¬q 是真命题

C.p∧q 是假命题

D.p∨q 是真命题

考点:特称命题;全称命题. 专题:计算题. 分析:由于可判断命题 p 为真命题,而命题 q 为真命题,再根据复合命题的真假判定,一一验证选 项即可得正确结果. 解答: 解:当 时,Rsin(π﹣α)=cosα,故命题 p 为真命题,
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∵双曲线



=1 中 a=b=|m|=m,

∴c= ∴e= =

=m ,故命题 q 为真命题.

∴¬p 为假命题,¬q 是假命题,p∨q 是真命题; 故选 D. 点评:本题主要考查了命题真假判断的应用,简单复合命题的真假判断,属于基础试题.

7. 分) (5 (2013?海淀区一模)已知曲线 f(x)=lnx 在点(x0,f(x0) )处的切线经过点(0,1) , 则 x0 的值为( ) A. B.e2 C.e D.10

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析:求出曲线方程的导函数,根据曲线方程设出切点坐标,把设出的切点横坐标代入导函数中表 示出的导函数值即为切线的斜率,由切点坐标和斜率表示出切线方程,把点(0,1)的坐标 代入切线方程中即可求出切点的横坐标即可. 解答: 解:对 y=lnx 求导得:y′= ,切点坐标为(x0,lnx0) ,
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所以切线的斜率 k=

,则切线方程为:y﹣lnx0=

(x﹣x0) ,

把点(0,1)代入切线方程得:1﹣lnx0=
2

(﹣x0) ,

解得 x0=e , 故选 B. 点评:本题的解题思想是设出切点的坐标,把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜 率,进而写出切线方程,然后把原点坐标代入切线方程求出切点的横坐标,从而确定出切线 的方程. 8. 分) (5 (2013?海淀区一模)抛物线 y =4x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线 上的动点,当△ FPM 为等边三角形时,其面积为( ) A.2 B.4 C.6 D.4 考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线的定义得出 PM 垂直于抛物线的准线,设 P(
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2

,m) ,求出△ PMF 的边长,写出

有关点的坐标,利用两点距离的公式得到 FM,列出方程求出 m 的值,得到等边三角形的边 长,从而求出其面积. 解答:解:据题意知,△ PMF 为等边三角形,PF=PM, ∴PM⊥抛物线的准线, 设 P( ,m) ,则 M(﹣1,m) , ,F(1,0) = ,解得 m=2 ,

等边三角形边长为 1+ 所以由 PM=FM,得 1+

∴等边三角形边长为 4,其面积为 4 故选 D.

点评:本题主要考查了抛物线的简单性质,直线与抛物线的综合问题.考查了学生综合把握所学知 识和基本的运算能力. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 分) (5 (2013?海淀区一模)在复平面上,若复数 a+bi(a,b∈R)对应的点恰好在实轴上,则 b= 0 . 考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:计算题. 分析:利用复数的几何意义和点在实轴上的特点即可得出. 解答:解:由复数的几何意义可知:复数 a+bi(a,b∈R)对应的点为(a,b) ,∵此点恰好在实轴 上,∴b=0. 故答案为 0. 点评:正确理解复数的几何意义是解题的关键.
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10. 分) (5 (2013?海淀区一模)若向量 , 满足| |=| |=| + |=1,则 ?

的值为 ﹣



考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量的数量积运算即可得出. 解答: 解:∵向量 , 满足| |=| |=| + |=1,∴
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, ,解得 .

化为 故答案为 .

,即 1

点评:熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键. 11. 分) (5 (2013?海淀区一模)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为 16 .

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:判断三视图复原的几何体的形状,画出图形,利用三视图的数据求出几何体的体积即可. 解答:解:几何体是底面为下底为 4,上底为 2,高为 4 的直角梯形,几何体的高为 4 的四棱锥, 顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点, 几何体的体积为:
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V= S 底×h=

=16.

故答案为:16. 点评:本题考查三视图与几何体直观图的关系,判断几何体的形状以及数据对应值是解题关键.

12. 分) (5 (2013?海淀区一模)在△ ABC 中,若 a=4,b=2,cosA= ,则 c= 4 .

考点:正弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数. 专题:解三角形. 分析: 2 由余弦定理可得 16=4+c ﹣4c? ,解方程求得 c 的值.

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解答: 2 2 2 解:在△ ABC 中,∵a=4,b=2,cosA= ,由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bc?cosA, 即 16=4+c ﹣4c? ,化简可得 (c﹣4) (c+3)=0,解得 c=4,或 c=﹣3(舍去) , 故答案为 4. 点评:本题主要考查余弦定理的应用,一元二次方程的解法,属于中档题.
2

13. 分) (5 (2013?海淀区一模)已知函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围是 a>4 .

有三个不同的零点,

考点:根的存在性及根的个数判断;函数的零点与方程根的关系. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意可得函数 f(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点,结合图象求出实数 a 的取值范围. 解答:解:由题意可得函数 f(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点,如图所示: x 2 等价于当 x≥0 时,方程 2 ﹣a=0 有一个根,且 x<0 时,方程 x +ax+a=0 有两个根,
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?a>4.

故实数 a 的取值范围是 a>4. 故答案为:a>4.

点评:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了化归与转化、数形结合的数学思想,属 于中档题. 14. 分) (5 (2013?海淀区一模)已知函数 y=f(x) ,任取 t∈R,定义集合:At={y|y=f(x)},点 P (t,f(t),Q(x,f(x) ) )满足|PQ| }.设 Mt,mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值, 记 h(t)=Mt﹣mt.则 (1)若函数 f(x)=x,则 h(1)= 2 ; (2)若函数 f(x)=sin x,则 h(t)的最小正周期为 2 .

考点:函数的周期性. 专题:新定义;函数的性质及应用. 分析:(1)若函数 f(x)=x,则点 P(t,t) ,Q(x,x) ,根据|PQ| Mt =1+t,mt =1﹣t,由此可得 h(1)的值.
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,求得 1﹣t≤x≤t+1,即

(2)若函数 f(x)=sin

x,画出函数的图象,分析点 P 在曲线上从 A 接近 B,从 B 接近 C,

从 C 接近 D 时,从 D 接近 E 时,h(t)值的变化情况,从而得到 h(t)的最小正周期. 解答:解: (1)若函数 f(x)=x,则 点 P(t,t) ,Q(x,x) ,∵|PQ| , ∴ ≤ ,

化简可得|x﹣t|≤1,﹣1≤x﹣t≤1,即 1﹣t≤x≤t+1,即 Mt =1+t,mt =1﹣t,∵h(t)=Mt﹣mt , h(1)=(1+1)﹣(1﹣1)=2. (2)若函数 f(x)=sin x,此时,函数的最小正周期为 =4,点 P(t,sin ) ,Q(x,

sin

) ,

如图所示:当点 P 在 A 点时,点 O 在曲线 OAB 上,Mt=1,mt=0,h(t)=Mt﹣mt=1. 当点 P 在曲线上从 A 接近 B 时,h(t)逐渐增大,当点 P 在 B 点时,Mt=1,mt=﹣1,h(t) =Mt﹣mt=2. 当点 P 在曲线上从 B 接近 C 时,h(t)逐渐见减小,当点 P 在 C 点时,Mt=1,mt=0,h(t) =Mt﹣mt=1. 当点 P 在曲线上从 C 接近 D 时,h(t)逐渐增大,当点 P 在 D 点时,Mt=1,mt=﹣1,h(t) =Mt﹣mt=2. 当点 P 在曲线上从 D 接近 E 时,h(t)逐渐见减小,当点 P 在 E 点时,Mt=1,mt=0,h(t) =Mt﹣mt=1. …依此类推,发现 h(t)的最小正周期为 2, 故答案为 2.

点评:本题主要考查函数的周期性,体现了数形结合以及分类讨论的数学思想,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 2 15. (13 分) (2013?海淀区一模)已知函数 f(x)=2﹣( sinx﹣cosx) . (Ⅰ)求 f( )的值和 f(x)的最小正周期; , ]上的最大值和最小值.

(Ⅱ)求函数在区间[﹣

考点:二倍角的余弦;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (I)利用特殊角的三角函数值即可得到 ,利用倍角公式和两角和差的正弦公式和
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周期公式即可得出; (II)由 性即可得到最值. 解答: 解: (I) 时,得到 ,再利用正弦函数的单调

=2﹣1=1.

∵函数 f(x)=2﹣( =2﹣ =2﹣(1+ =1﹣ =cos2x+ = = ∴函数 f(x)的周期为 (II)当 所以当 当

sinx﹣cosx)

2

. 时, , ; .

时,函数取得最小值 时,函数取得最大值

点评:熟练掌握特殊角的三角函数值、倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式、正弦函数的单 调性是解题的关键. 16. (13 分) (2013?甘肃三模)在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数 学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.某考场考生的两 科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

( I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; ( II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑” 科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率. 考点:众数、中位数、平均数;古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:(I)根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生人数,结合样本容量=频数÷频率得出该考
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场考生人数,再利用频率和为 1 求出等级为 A 的频率,从而得到该考场考生中“阅读与表达” 科目中成绩等级为 A 的人数. (II)利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分. (III)通过列举的方法计算出选出的 2 人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为 A 的 情况;利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A 的 概率. 解答:解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷0.25=40 人…(2 分) 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为 40(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3…(4 分) (II)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为: [1×(40×0.2)+2×(40×0.1)+3×(40×0.375)+4×(40×0.25)+5×(40×0.075)]=2.9…(8 分) (Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A…(9 分) 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为: Ω={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有 6 个基本事 件 …(11 分) 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的 基本事件有 1 个, 则 P(B)= .…(13 分) 点评:本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等 内容. 17. (14 分) (2013?海淀区一模)在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,△ ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又∠CAD=30°,PA=AB=4,点 N 在线段 PB 上,且 (Ⅰ)求证:BD⊥PC; (Ⅱ)求证:MN∥平面 PDC; (Ⅲ)设平面 PAB∩平面 PCD=l,试问直线 l 是否与直线 CD 平行,请说明理由. .

考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;反证法与放缩法. 专题:证明题;空间位置关系与距离.

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分析:(Ⅰ)通过证明 BD⊥平面 PAC,然后证明 BD⊥PC; (Ⅱ)通过证明线段成比例证明 MN∥PD,利用直线 平面平行的判定定理证明 MN∥平面 PDC; (Ⅲ)利用反证法证明直线 l∥CD,推出 CD∥AB 与 CD 与 AB 不平行矛盾从而说明直线 l 与直线 CD 不平行. 解答:解: (I)证明: (I) 因为△ ABC 是正三角形,M 是 AC 中点, 所以 BM⊥AC,即 BD⊥AC…(1 分) 又因为 PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,PA⊥BD…(2 分) 又 PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 PAC…(4 分) 又 PC?平面 PAC,所以 BD⊥PC…(5 分) (Ⅱ)在正三角形 ABC 中,BM= …(6 分) 在△ ACD,因为 M 为 AC 中点,DM⊥AC,所以 AD=CD ∠CAD=30°,所以,DM= ,所以 BM:MD=3:1…(8 分)

所以 BN:NP=BM:MD,所以 MN∥PD…(9 分) 又 MN?平面 PDC,PD?平面 PDC,所 以 MN∥平面 PDC…(11 分) (Ⅲ)假设直线 l∥CD,因为 l?平面 PAB,CD?平面 PAB, 所以 CD∥平面 PAB…(12 分) 又 CD?平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,所以 CD∥AB…(13 分) 这与 CD 与 AB 不平行,矛盾 所以直线 l 与直线 CD 不平行…(14 分) 点评:本题考查在与平面垂直与平行的判定定理的应用,反证法的应用,考查空间想象能力与逻辑 推理能力.
3

18. (13 分) (2013?海淀区一模)函数 f(x)= x ﹣kx,其中实数 k 为常数. (I) 当 k=4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y=f(x)与直线 y=k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数的零点. 专题:导数的综合应用. 分析:(I)先求原函数的导数,根据 f′(x)>0 求得的区间是单调增区间,f′(x)<0 求得的 区间是单调减区间,即可; (II)将题中条件:“函数 f(x)的图象与直线 y=k 只有一个公共点,”等价于“g(x)=f(x) ﹣k,所以 g(x)只有一个零点”,利用导数求得原函数的极值,最后要使 g(x)的其图象和 x 轴只有一个交点,得到关于 k 的不等关系,从而求实数 k 的取值范围. 2 解答:解: (I)因为 f′(x)=x ﹣k…(2 分) 2 2 当 k=4 时,f′(x)=x ﹣4,令 f′(x)=x ﹣4=0,所以 x=﹣2 或 x=2 f′(x) ,f(x)随 x 的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣2) ﹣2 (﹣2,2) 2 (2,+∞) + 0 0 + f′(x) ﹣ f(x) 增 极大值 减 极小值 增 …(4 分) 所以 f(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣2)(2,+∞) ,
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单调递减区间是(﹣2,2)…(6 分) (II)令 g(x)=f(x)﹣k,所以 g(x)只有一个零点…(7 分) 2 因为 g′(x)=f′(x)=x ﹣k 3 当 k=0 时,g(x)=x ,所以 g(x)只有一个零点 0 2 当 k<0 时,g′(x)=x ﹣k>0 对 x∈R 成立, 所以 g(x)单调递增,所以 g(x)只有一个零点…(9 分) 当 k>0 时,令 g′(x)=f′(x)=x ﹣k =0,解得 x= 或 x=﹣ …(10 分) 所以情况如下表: x (﹣∞,﹣ ﹣ (﹣ ) 0 g′(x) + ﹣ g(x) 增 极大值 减 g(x)有且仅有一个零点等价于 g(﹣ 即 g(﹣ )= k
2

…(8 分)



) 0 极小值

( + 增

,+∞)

)<0…(11 分)

<0,解得 0<k< …(12 分)

综上所述,k 的取值范围是 k< …(13 分) 点评:本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在极值问题中的应用、 不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,转化思想.

19. (14 分) (2013?海淀区一模)已知圆 M: (x﹣

) +y = ,若椭圆 C:

2

2

+

=1(a>b>0)

的右顶点为圆 M 的圆心,离心率为



(I)求椭圆 C 的方程; (II)已知直线 l:y=kx,若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,与圆 M 分别交于 G,H 两点(其 中点 G 在线段 AB 上) ,且|AG|=|BH|,求 k 的值. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由圆心 M 得到 .利用椭圆的离心率
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及 b =a ﹣c 即可得出椭圆的

2

2

2

标准方程; (II)把直线 l 的方程与椭圆的方程联立,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,利用根与系数 的关系及弦长公式即可得到|AB|,利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关 系 即可得到|GH|,进而得出 k. 得到 .

解答:解: (I)设椭圆的焦距为 2c,由圆心 M ∵
2 2 2

,∴c=1.

∴b =a ﹣c =1.

所以椭圆 C:



(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A,B,则 消去 y 得到(1+2k )x ﹣2=0,则 x1+x2=0,
2 2



∴|AB|=

=



点M

到直线 l 的距离



则|GH|=



显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y=kx 就是 y 轴,矛盾. ∵|AG|=|BH|,∴|AB|=|GH|. ∴ 解得 k =1,即 k=±1.
2



点评:熟练掌握椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与曲线相交问题转化为把直线 l 的方程与曲线 的方程联立得到一元二次方程、利用根与系数的关系及弦长公式、垂径定理及半径、弦长的 一半、弦心距三者之间的关系 是解题的关键.

20. (13 分) (2013?海淀区一模)设 A(xA,yA) ,B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中 xA,yA,BxB,yB∈Z.令△ x=xB﹣xA,△ y=yB﹣yA,若|△ x|+|△ y=3,且|△ x|﹣|△ y|≠0,则称点 B 为 点 A 的“相关点”,记作:B=i(A) . (Ⅰ)请问:点(0,0)的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程; 若不在,说明理由; (Ⅱ)已知点 H(9,3) ,L(5,3) ,若点 M 满足 M=i(H) ,L=i(M) ,求点 M 的坐标; (Ⅲ)已知 P0(x0,y0) 0∈Z,Y0∈Z)为一个定点,点列{Pi}满足:Pi=i(Pi﹣1) (x ,其中 i=1,2,3,…, n,求|P0Pn|的最小值.

考点:圆的标准方程;两点间的距离公式. 专题:直线与圆. 分析:(I)由题意可得|△ x|=1,|△ y|=2;或|△ x|=2,|△ y|=1,由此可得点(0,0)的“相关点”有 8
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个.再根据

+

=5,可得这些可能值对应的点在以(0,0)为圆心,

以 为半径的圆上. (II)设 M(xM,yM) ,由条件推出|xM﹣9|+|yM﹣3|=3,|xM﹣5|+|yM﹣3|=3,由此求得点 M 的 坐标. * (III) 分当 n=1、当 n=2k,当 n=2k+1,且 k∈N 时,三种情况,分别求得|P0Pn|的最小值, 综合可得结论. 解答:解: (I)因为|△ x|+|△ y=3,且|△ x|﹣|△ y|≠0,|△ x|与|△ y|为非零整数, 故|△ x|=1,|△ y|=2;或|△ x|=2,|△ y|=1,所以点(0,0)的“相关点”有 8 个, 分别为: (1,2)(1,﹣2)(﹣1,2)(﹣1,﹣2)(2,1)(2,﹣1) 、 、 、 、 、 、 (﹣2,1)(﹣2,﹣1) 、 .…(1 分) 又因为 (△ x) +(△ y) =5,即
2 2

+

=5,

所以,这些可能值对应的点在以(0,0)为圆心,以 为半径的圆上.…(3 分) (II)设 M(xM,yM) ,因为 M=i(H) ,L=i(M) , 所以有|xM﹣9|+|yM﹣3|=3,|xM﹣5|+|yM﹣3|=3,…(5 分) 所以|xM﹣9|=|xM﹣5|,所以 xM=7,故 yM=2 或 yM=4, 所以 M(7,2) ,或 M(7,4) .…(7 分) (III)当 n=2k,且 k∈N 时,|P0Pn|的最小值为 0.例如:P0(x0,y0 ) , P1 (x0+1,y0 ) 2( 0,y0 ) ,P (x ,显然,P0=i(P1) 1=i(P2) ,P ,此时,|P0P2|=0.…(8 分) 当 n=1 时,可知,|P0Pn|的最小值为 .…(9 分) 当 n=3 时,对于点 P,按照下面的方法选择“相关点”,可得 P3(x0,y0+1) : 由 P0(x0, 0 ) 依次找出“相关点”分别为 P1 0+2, 0+1) P2(x0+1, 0+3) P3(x0, 0+1) y , (x y , y , y . 此时,|P0P3|=1,故|P0Pn|的最小值为 1.…(11 分) 然后经过 3 次变换回到 P3(x0,y0+1) ,故|P0Pn|的最小值为 1. * 当 n=2k+1,k>1,k∈N 时,经过 2k 次变换回到初始点 P0(x0,y0 ) , 故经过 2k+1 次变换回到 P3(x0,y0+1) ,故|P0Pn|的最小值为 1. 综上,当 n=1 时,|P0Pn|的最小值为 . * 当当 n=2k,k∈N 时,|P0Pn|的最小值为 0, * 当 n=2k+1,k∈N 时,|P0Pn|的最小值为 1. …(13 分) 点评:本题主要考查圆的方程,两点间的距离公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
*


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