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高中数学必修一到必修四知识点例题练习题














1

第一章 集合与函数概念 一、知识回顾:
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个 对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性

说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或 者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归 入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样, 仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北 冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的 方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集 2.无限集 3.空集 含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ;
? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A

2. “相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元 素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集 合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫 做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作"A 交 B"),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作"A 并 B"),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.

3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S ) ,由 S 中所 有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作: CSA 即 CSA ={x ? x?S 且 x?A} 研究的各个集合
A

(2)全集:如果集合 S 含有我们所要 的全部元素,这个集合就可以看作一个全 表示。 (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ

S CsA

集。通常用 U 来

⑶(CUA)∪A=U

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意:○如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定 2 义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○ 函数的定义域、值域要写成 3 集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时 列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数 不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且 不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它

的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等 于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是 由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一 致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的 定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数 的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值 域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函

数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函 数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的 每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以 (x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接 起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提 高解题的速度。

发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3) 区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使 对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ? B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那 么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及 对应法则 f 是确定的; ②对应法则有“方向性” 即强调从集合 A 到集合 B 的对应, , 它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的; ③对于映射 f: →B 来说, A 则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集 合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 1 ○

函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,

注意判断一个图形是否是函数图象的依据; 解析法: 2 必须注明函数的定义域; ○

3 ○

图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察

函数的特征;○ 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 4 注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法: 便于量出函数值 补充一:分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析 式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括 号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函 数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并 集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的复 合函数。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两 个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增 函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 (睇清楚课本单调区间的概念)

如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)

>f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.
注意:○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部 1 性质; 2 ○

必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有

f(x1)<f(x2) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一 区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的, 减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○ 作差 f(x1)-f(x2);○ 变形(通常是因式 2 3

分解和配方) ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ 下结论(指出函数 ;4 ;5 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性

复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)注意:1、函数的 单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其 并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x) 就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函 1 数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 ○

由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定

义域内的任意一个 x, 则-x 也一定是定义域内的一个自变量 (即定义域关于原 点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○ 首先确定函数的定义域, 1 并判断其定义域是否关于原点对称;○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系;○ 作出相应 2 3 结论: f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, f(x)是偶函数; f(-x) =-f(x) 或 若 则 若 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看 函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1) 再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有 f(-x)±

f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关 系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等, 如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达 式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可 用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○ 利用图象求 2

函数的最大(小)值○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 3 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b

处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单 调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 二、经典例题 :
8 ? ? 1、 已知集合 A ? ? x ? N | ? N ? ,试用列举法表示集合 A 6? x ? ?

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, 5 , 4 解:由题意可知 6 ? x 是 8 的正约数,当 6 ? x ? 1 x ? ;当 6 ? x ? 2 x ? ;

当 6 ? x ? 4, x ? 2 ; 6 ? x ? 8, x ? ?2 ; x ? 0 , x ? 2, 4,5 , A ? ?2,4,5?; 当 而 ? 即 2、 已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1} , B ? A ,求 m 的取值 范围
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解:当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ;
?m ? 1 ? ?2 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时,由 B ? A ,得 ? 即2 ? m ? 3; ?2m ? 1 ? 5
?m ? 3 3、求函数 f ( x) ?
3

x ?1 的定义域 x ?1

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解:≧ x ?1 ? 0, x ?1 ? 0, x ? ?1 ,?定义域为 ?x | x ? ?1? 4、求函数 y ? x 2 ? x ? 1 的值域

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1 3 3 3 3 解: ≧ x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? , ? y ? ,?值域为 [ , ??) 2 4 4 2 2

5、

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已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ,

求 a 、 b 的值 解:对称轴 x ? 1 , ?1,3? 是 f ( x) 的递增区间,

f ( x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5 f ( x)min ? f (1) ? 2,即? a ? b ? 3 ? 2,

?3a ? b ? 2 3 1 ?? 得a ? , b ? . 4 4 ??a ? b ? ?1

6、

已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5?

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① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数 解: (1)a ? ?1, f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2, 对称轴
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x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37
? f ( x)max ? 37, f ( x)min ? 1 (2)对称轴 x ? ? a , 当 ?a ? ?5 或 ? a ? 5 时, f ( x) 在 ? ?5,5? 上单调 ? a ? 5 或 a ? ?5
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7.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x (Ⅰ)判断函数 f (x) 的奇偶性; (Ⅱ)证明明 f (x) 在 (0,??) 上是增函数. 解: (Ⅰ) f (x) 的定义域为 R

又 f (? x) ? 2 ? x ? 2 x ? f ( x)

? f (x)为R 上的偶函数
(Ⅱ)任取 x1 , x2 ? (0,??) 且设 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? 2? x1 ? (2 x2 ? 2? x2 )

? (2 x1 ? 2 x2 ) ? 2? x1 ? 2? x2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) ? 2? x1 ? 2? x2
? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 1 ? ? x2 ? x1 2 2 1 ] 2 ? 2 x2
x1

? (2 x1 ? 2 x2 )[1 ?

2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 ? 2 ) ? x1 x2 ] 2 ?2
x1 x2

? x1 ?x 2 ? 0
? 2 x1 ? 2 x2 ? 1

? 2 x1 ? 2 x2 ? 0,2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? 0
2 x1 ? 2 x2 ? 1 ?0 2 x1 ? 2 x2

? (2 x1 ? 2 x2 ) ?

即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在(0,??) 上为增函数
三、课堂作业: 一、选择题(每小题 3 分,共 36 分)

1.设集合 A ? {1,3}, 集合 B ? {1, 2, 4,5} ,则集合 A ? B ? ( A.{1,3,1,2,4,5} B.{1} C.{1, 2,3, 4,5}

) D.{2,3, 4,5} )

2. 设集合 A ? {x |1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? a}. 若 A ? B, 则 a 的范围是( A. a ? 2 B. a ? 1 ) 。 C. y ? C. a ? 1 D. a ? 2

3.与 y ?| x | 为同一函数的是( A. y ? ( x )2 B. y ? x2

?

x,( x ? 0) ? x,( x ? 0)

D.y=x

4.设集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {x | x ? k ? 0} ,若 M ? N ? ? ,则 k 的取值范 围是( ) A. (??,2] B. [?1,??) C. (?1,??) D.[-1,2]

5.已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? 2 ,且 f (?5) ? m, 则 f (5) ? f (?5) 的值为 ( ) . A.4 B.0 C.2m D. ? m ? 4

? x ? 1, x ? 0 6.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f [ f (?2)] 的值为( ?x , x ? 0
A.1 B.2 C.4

) .

D.5

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 7
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若集合 A ? ?x | x ? 6, x ? N? , B ? {x | x是非质数} , C ? A ? B ,则 C 的
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非空子集的个数为 8 9
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若集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? ,B ? ?x | 2 ? x ? 10? , A ? B ? _____________ 则 设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2} , B ? {x 2k ?1 ? x ? 2k ?1} ,且 A ? B ,

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则实数 k 的取值范围是 10.

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已知 A ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 , B ? ? y y ? 2 x ? 1? ,则 A ? B ? _________
? x 2 ? 4, 0 ? x ? 2 , 则f (2) ? ? 2x , x ? 2

?

?

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11.已知函数f ( x) ? ?
f ( x0 ) ? 8, 则x0 ?

;若



三、解答题(第 17 题 8 分,18~21 题每题 10 分,共 48 分) 12.设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3?, C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A ? ( B ? C ) ; (2) A ? CA (B ? C) .

13.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 | x | . (Ⅰ )判断并证明函数的奇偶性; (Ⅱ )判断函数 f ( x) 在 (?1, 0) 上的单调性并加以证明.

14. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5?

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(1)当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数
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15.已知函数 f ( x) ? a ?

1 . 2 ?1
x

(1)求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总是为增函数; (2)确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数; (3)当 f ( x) 为奇函数时,求 f ( x) 的值域。

四、课外训练
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设 S={1,2,3},M={1,2},N={1,3},那么(CsM)∩(CsN)等于 A. B.{1,3} C.{1} D.{2,3} ( D.y= x 2 ( B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ( B.y=- x (x≥0) D.y= ? x (x≤0) ( ) ) ) ) ( )

2.下列函数中哪个与函数 y=x(x≥0)是同一个函数 A.y=(

x)

2

x2 B.y= x

C.y= 3 x 3

3.|x|<2 是|x+1|<1 的 A.充分非必要条件 C.充要条件 4.函数 y=x2(x≤0)反函数为 A.y=

x (x≥0)

C.y=- ? x (x≤0)

5.命题“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆否命题是 A.若 a=0 或 b=0,则 ab=0 C.若 a≠0 或 b≠0 则 ab≠0 6.下列能表示函数图象的是 B.若 ab≠0,则 a≠0 或 b≠0 D.若 a≠0 且 b≠0 则 ab≠0





7.若点 P(m, 1)在函数 y=f(x)的图象上,则下列各点必在其反函数 y=f 1(x)的图象上的是 ( ) A. (m, f 1(m)) C. f 1(1) (1, 8.已知 f ( x) ? ?
- -



B. (m, f 1(1)) D. 1(m),1) (f




?x ? 4 ?x ? 4

x?0 ,则 f [ f (?3) ]的值为 x?0





A.3 9.设 f(x)=

B.2

C.-2

D.-3 ( D.- )

2x ? 1 3 ( x ? R, x ? ? ) ,则 f-1(2)为 4x ? 3 4 2 5 5 A. B. C. ? 5 11 6

2 5
( )

10.设集合 M={y|y=x2-4x+3, x∈R},N={y|y=x-1,x∈R}则 M∩N 是 A.{y|y=-1 或 y=0} C.{(0,-1)(1,0)} , B.{y|y≥-1} D.{x|x=0 或 x=1}

11.已知集合 A={x|x2-ax+a2-76=0},B={x|x2-5x-m=0}, C={ x|x2+nx-4=0}, 且 B∩C= {-1},A∩C≠ A.16 ,A∩B={6},则常数 a 的值是 B.10 或-4 C.10 D.-4 ) ( )

12.函数 f(x)=x2+(3a+1)x+2a 在区间(-≦,4)上为减函数,则实数 a 的取值范围是 ( A.a≤-3 B.a≤3 C.a≤5 D.a=-3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 13.函数 y= 3 x ? x ?
2

3 的定义域为 x?2

.{x|0≤x≤3 且 x≠2} B,则 a 的取值范围:


14.已知:集合 A={x|1<x≤2},B={x|x-a<0},若 A

. . .

15. 如果点 (1, 既在 f(x)= ax ? b 的图象上, 2) 又在函数 f 1(x)的图象上, a+b= 则 16.已知函数 y=x2-2x+3(0≤x≤

3 ),则函数的最大值与最小值的积是 2

三、解答题(本大题共 5 小题;共 48 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 x ?1 17. (本小题 8 分)已知全集 U ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, A ? {x || x ? 2 |? 1}, B ? {x | ? 0} x?2 求: (1)A∩B; (2)A∩CUB; (3)CU(A∪B).

18. (本小题 8 分)试用定义判断函数 f ( x ) ?

2x 在区间(2,5)上的单调性. x ?1

19. (本小题 10 分)已知 f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,若 f(a-2)<f(4-a2),求 a 的取 值范围.

20. (本小题 10 分)某公司今年一月份推出新产品 A,其成本价为 492 元/件,经试销调查, 销售量与销售价的关系如下表: 销售价(x/元件) 650 662 720 800

销售量(y 件)

350

333

281

200

由此可知,销售量 y(件)与销售价 x(元/件)可近似看作一次函数 y=kx+b 的关系(通 常取表中相距较远的两组数据所得一次函数较为精确). (1)写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式定义域; (2)试问:销售价定为多少时,一月份销售收入最大?并求最大销售收入和此时的销售 量.

21. (本小题 12 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,若 f(x)+f(x+1)=2x2-2x+13 (1)求函数 f(x)的解析式; - (2)当 x∈[1,3]时,求 f 1(x);

(3)当 x∈[t,5]时,求函数 f(x)的最大值.

第二章 基本初等函数 一、知识回顾: (一)指数与指数幂的运算 1. 根式的概念: 一般地, 如果 x n ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 th root) (n , 其中 n >1,且 n ∈ N *. 当 n 是奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数. 此 时, a 的 n 次方根用符号 n a 表示.式子 n a 叫做根式(radical) ,这里 n 叫做根 指数(radical exponent) a 叫做被开方数(radicand) , . 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正 数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示, 负的 n 次方根用符号- n a 表示. 正的 n 次 方根与负的 n 次方根可以合并成± n a ( a >0) .由此可得:负数没有偶次方根; 0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。

?a (a ? 0) 注意:当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)
2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

a ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1) , a
n m *

m n

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义

指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有 理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质
r r r ?s (1) a · a ? a

(a ? 0, r , s ? R) ;
r s rs (2) (a ) ? a

(a ? 0, r , s ? R) ;
r r s (3) (ab) ? a a

(a ? 0, r , s ? R) .

(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数 (exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

图象特征
a ?1

函数性质
0 ? a ?1
a ?1

0 ? a ?1

向 x、y 轴正负方向无限延伸

函数的定义域为 R

图象关于原点和 y 轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都在 x 轴上方

函数的值域为 R+

函数图象都过定点(0,1)

a0 ? 1

自左向右 看, 图象逐渐 上升 下降 看,

自左向右

增函数 图象逐渐

减函数

在第一象 限内的图象纵 坐标都大于 1

在第一象

x ? 0, a x ? 1
限内的图象纵 坐标都小于 1

x ? 0, a x ? 1

在第二象 限内的图象纵 坐标都小于 1

在第二象

x ? 0, a x ? 1
限内的图象纵 坐标都大于 1

x ? 0, a x ? 1

图象上升

图象上升

函数值开

函数值开

趋势是越来越 陡

趋势是越来越 缓

始增长较慢,到 了某一值后增 长速度极快;

始减小极快,到 了某一值后减 小速度较慢;

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f (x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f (x1 ) ? f (x 2 ) ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为 . . 底 N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) . 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1

2 ○

a x ? N ? loga N ? x ;

loga N

3 ○

注意对数的书写格式.

两个重要对数: 1 ○

常用对数:以 10 为底的对数 lg N ;

2 ○

自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N .

对数式与指数式的互化

loga N ? x ?
对数底数 对数 真数

a x ? N 对数式 ? 指数式



a
← ←

→ 幂底数

x
N

→ 指数 → 幂

(二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○

loga (M · N ) ? loga M + loga N ;

2 ○

log a

M ? loga M - loga N ; N

3 ○

loga M n ? n loga M

(n ? R) .

注意:换底公式

loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a
n 1 log a b ; log (2) a b ? . m logb a

log 利用换底公式推导下面的结论 (1) a m b n ?

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 1 如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 2 ○
x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5

对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) .

2、对数函数的性质:

a>1
3

0<a<1
3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

图象特征
a ?1

函数性质
0 ? a ?1
a ?1

0 ? a ?1

函数图象都在 y 轴右侧

函数的定义域为(0,+∞)

图象关于原点和 y 轴不对 非奇非偶函数 称

向 y 轴正负方向无限延伸

函数的值域为 R

函数图象都过定点(1,0)

loga 1 ? 0

自左向右 看, 图象逐渐 上升 下降 看,

自左向右

增函数 图象逐渐

减函数

第一象限 的图象纵坐标 都大于 0

第一象限 的图象纵坐标 都大于 0

x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0

第二象限 的图象纵坐标 都小于 0

第二象限 的图象纵坐标 都小于 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0 x ? 1, loga x ? 0



(三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为 常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [0,??) 上是增函数. 特 别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸;

(3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内, 当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数

x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。
2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数
y ? f (x) 有零点.

3、函数零点的求法: 求函数 y ? f (x) 的零点: 1 ○

(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根;

2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图 象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .

1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有 两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图 象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点, 二次函数无零点. 二、经典例题
1、 已知函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) (a ? 1) ,求 f ( x ) 的定义域和值域; 解: a ? a x ? 0, a x ? a, x ? 1 ,即定义域为 (??,1) ;

a x ? 0,0 ? a ? a x ? a,loga (a ? a x ) ? 1 ,
即值域为 (??,1) 2、计算 1 ? lg 0.001 ? lg
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2

1 ? 4 lg 3 ? 4 ? lg 6 ? lg 0.02 的值 3

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解:原式 ? 1 ? 3 ? lg3 ? 2 ? lg300

? 2 ? 2 ? lg 3 ? lg 3 ? 2 ?6
3、2
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x1 与 x2 分别是实系数方程 ax2 ? bx ? c ? 0 和 ?ax2 ? bx ? c ? 0 的一个根,且
a
2

x1 ? x2 , x1 ? 0, x2 ? 0 ,求证:方程 2 x
f ( x) ?
解:令

? bx ? c ? 0

有仅有一根介于

x1 和 x2 之间

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a 2 x ? bx ? c, ax 2 ? bx1 ? c ? 0, ?ax22 ? bx2 ? c ? 0 2 由题意可知 1

bx1 ? c ? ?ax12 , bx2 ? c ? ax22 ,
f ( x2 ) ?

f ( x1 ) ?

a 2 a a x1 ? bx1 ? c ? x12 ? ax12 ? ? x12 , 2 2 2

a 2 a 3a 2 x2 ? bx2 ? c ? x2 2 ? ax2 2 ? x2 , a ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0 2 2 2 因为

a 2 x ? bx ? c ? 0 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 ,即方程 2 x x ? 有仅有一根介于 1 和 2 之间
4、已知函数 f ( x) ? lg(a x ? b x )其中a ? 1 ? b ? 0. (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的定义域;

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(Ⅱ)利用函数的单调性判断,在函数 f (x) 的图象上是否存在不同的两点,使过这两 点的直线平行于 x 轴?并证明你的结论. (Ⅲ)当 a、b 满足什么条件时, y ? f (x) 在区间 (1,??) 上恒取正值? 解: (Ⅰ)由 a ? b ? 0得( ) ? 1
x x x

a b

≧a ?1? b ? 0

a ?1 b ?x ? 0
? 即 f (x) 的定义域为 (0,??) (Ⅱ)设 x2 ?x1 ? 0 ≧a ?1? b ? 0 ?a
x2

? a x1 ? 1
x2

a x2 ? b x1 ? 1

则?b ?a
x2

? ?b x1 ? ?1

? b x2 ? a x1 ? b x1 ? 0
x2

? lg(a

? b x2 ) ? lg(a x1 ? b x1 )

即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (x) 在(0, ? )上为增函数 ?在函数 f (x) 的图象上不存在不同的两点 使过这两点的直线与 x 轴平行 (Ⅲ)≧ f (x) 在(0,+ ? )为增函数 ?当 x ? 1 时 f ( x) ? f (1) 恒成立 ?要使 f (x) 在区间(1,+ ? )上恒为正值.

则只需 f (1) ? 0 即 lg( a ? b) ? 0 ? a ? b ? 1且a ? 1 ? b ? 0

三、课堂作业

一、选择题
1
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函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a , 则 a 的值为( A
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1 1 B C 2 D 4 4 2 2 已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) [2,+?) A (0,1) B (1,2) C (0,2) D 3 对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式 1 1 ① log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ) ② log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ) a a
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③a

1? a

?a

1?

1 a

④a ) ①与④ C

1? a

?a

1?

1 a

其中成立的是( A ①与③ B
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②与③

D

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②与④ )

4

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设函数 f ( x) ? f ( ) lg x ? 1 ,则 f (10) 的值为( A
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1 x

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1

B

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?1

C

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10

D

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1 10

5

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定义在 R 上的任意函数 f ( x ) 都可以表示成一个奇函数 g ( x) 与一个 偶函数 h( x) 之和,如果 f ( x) ? lg(10 x ?1), x ? R ,那么( A B C
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)

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g ( x) ? x , h( x) ? lg(10x ? 10? x ? 1)
g ( x) ? l g ( 1x 0 ? x ? 1) lg(10x ? 1) ? x , h( x ) ? 2 2 x x g ( x ) ? , h( x) ? lg(10 x ? 1) ? 2 2
lg(10 x ? 1) ? x x g ( x ) ? ? , h( x ) ? 2 2

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D 6
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若a ? A C
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ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( ) 2 3 5 a?b?c B c ? b? a c ? a? b D b?a?c
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二、填空题

1 2

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若函数 y ? log2 ax2 ? 2 x ? 1 的定义域为 R ,则 a 的范围为__________ 若函数 y ? log2 ax2 ? 2 x ? 1 的值域为 R ,则 a 的范围为__________ 函数 y ? 1 ? ( ) 的定义域是______;值域是______
x

? ?

? ?

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若函数 f ( x) ? 1 ? 求值: 27 ? 2
2 3

m 是奇函数,则 m 为__________ a ?1
x

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log 2 3

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1 ? log 2 ? 2lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? __________ 8

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三、解答题
1
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解方程: (1) log4 (3 ? x) ? log0.25 (3 ? x) ? log4 (1 ? x) ? log0.25 (2 x ? 1)

(2) 10

(lg x )2

? xlg x ? 20

2

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求函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 在 x ?? ?3, 2? 上的值域
x x

1 4

1 2

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已知 f ( x) ? 1 ? log x 3 , g ( x) ? 2log x 2 ,试比较 f ( x ) 与 g ( x) 的大小

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已知 f ? x ? ? x ?

1? ? 1 ? ? ? x ? 0? , x ? 2 ?1 2 ? ⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; ⑵证明 f ? x ? ? 0

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四、课外练习

一、选择题
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函数 y A B C D
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? x3 (



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是奇函数,且在 R 上是单调增函数 是奇函数,且在 R 上是单调减函数 是偶函数,且在 R 上是单调增函数 是偶函数,且在 R 上是单调减函数 )

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已知 a ? log 2 0.3, b ? 2 0.1, c ? 0.2 1.3 ,则 a, b, c 的大小关系是(
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A C 3
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a?b?c B a ? c? b D

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c ? a? b b ? c? a
)

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函数 f ( x) ? x5 ? x ? 3 的实数解落在的区间是(
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A 4
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[ 0 , 1] B

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[1, 2 ] C

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[ 2, 3] D

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[3, 4 ]

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x 2 在 y ? 2 , y ? log2 x, y ? x , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,

使 f( A 5
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x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( )? 2 2 0 个 B 1个 C 2 个 D 3 个
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若函数 f ( x ) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内, 那么下列命题中正确的是( )

A B C

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函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点 函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 函数 f ( x ) 在区间 ? 2,16? 内无零点 函数 f ( x ) 在区间 (1,16) 内无零点 求 f ( x) ? 2 x ? x ? 1 零点的个数为 (
3

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D 6
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A 7
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1

B

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2
3

C

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3

D

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若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根, a ? b 的值为 则 (

A

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?1

B

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?2

C

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?3

D

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二、填空题
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函数 f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) , 并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,
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1 2

1 2

则这三个实根的和为 2
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2 若函数 f ( x ) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? ______

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3 一个高中研究性学习小组对本地区 2000 年至 2002 年快餐公司发展情况进行了调查, 制 成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如 图) ,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒
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90 2.0 45 30 105 1.0

万盒/个

2000

2001

2002

快餐公司个数情况图



2000

2001

2002



快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图

4 5

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函数 y ? x2 与函数 y ? x ln x 在区间 (0, ??) 上增长较快的一个是 若 x ? 2 ,则 x 的取值范围是____________
2 x
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三、解答题
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x 已知 2 ? 256且 log 2 x ?

1 x ,求函数 f ( x) ? log2 ? log 2 2

2

x 的最大值和最小值 2

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建造一个容积为 8 立方米,深为 2 米的无盖长方体蓄水池,池壁的造价为每平方米 100 元,池底的造价为每平方米 300 元,把总造价 y (元)表示为底面一边长 x (米)的函数
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2 2 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,求使方程 loga ( x ? ak ) ? loga2 ( x ? a ) 有解时的 k 的取值范围

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必修 2 第1章

数学基础知识 立体几何初步

一、知识回顾:
§ 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台

§1.1.2

圆柱、圆锥、圆台和球



§1.1.3

中心投影和平行投影

三视图:主视图(从前向后) ;左视图(从左向右) 、俯视图(从上向下) 主视图反映了物体上下、左右的位臵关系,即反映了物体的高度和长度; 长对正 俯视图反映了物体左右、前后的位臵关系,即反映了物体的长度和宽 度; 高平齐 左视图反映了物体上下、前后的位臵关系,即反映了物体的高度和宽度; 宽相等

已知几何体的三视图时,通常以正方体为载体画出该几何体的直观图 §1.1.4 直观图画法

斜二测画法:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 轴平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 轴平行且长度为原来的一半. § 1.2.1 平面的基本性质

1. 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内, 记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 在直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ? l; 直线与平面的关系:直线 l 在平面 ? 内,记作 l ? ? ;直线 l 不在平面 ? 内, 记作 l ? ? 2. 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的 点都在这个平面内. (即直线在平面内,或者平面经过直线) 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? 3. 公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:①经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; ②经过两条相交直线,有且只有一个平面;

③经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据; 面重合的依据 4. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条 过该点的公共直线 若平面 ? 和平面 ? 相交,交线是 l ,记作 ? ? ? ? l . 用符号语言表示公理 3:P∈ ? , P∈ ? 且 ? ? ? ? l ? P∈l. 公理 3 的作用:①它是判定两个平面相交的方法; ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系, 即交线必过公共 点; ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据. ②它是证明平

§1.2.2

空间两条直线的位臵关系 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且

1. 平行关系

方向相同,那么这个两角相等 2. 异面直线 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线. 它们既不平行,又不 相交. 异面直线所成的角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引 直线 a′∥a,b′∥b, 则把直线 a′ 和 b′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. 两条异面直线所成角的取值范围是(0° ,90° ]. 若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.

§1.2.3

直线与平面的位臵关系 直线在平面内――有无数个公共点.

1. 三种位臵关系

直线不在平面内(即直线在平面外) :①相交――只有一个公共点;②平 行――没有公共点; 三种位臵关系的符号表示: a ? ? ; 2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面 平行. 线线平行 ? 线面平行 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面 相交,那么这条直线和交线平行. 线面平行 ? 线线平行 3. 直线与平面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条 直线垂直这个平面. 线线垂直 ? 线面垂直 性质定理:①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线垂直于这个平 面内的所有直线. 线面垂直 ? 线线垂直 ②如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 4. 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平 面所成的角. 直线和平面所成角的取值范围是[0° ,90° ]. §1.2.4 平面与平面的位臵关系
a ?? ? A;

a ∥? .

1. 两平面平行的判定定理和性质定理 判定定理: ①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面 平行.(线面平行 ? 面面平行) ; ②如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行. (线线平行 ? 面面平行) ; ③垂直于同一条直线的两个平面平行; 性质定理: ①如果两个平面平行, 那么一个平面内的直线与另一个平面平 行; (面面平行 ? 线面平行) ②如果两个平行平面都和第三个平面相交, 那么它们的交线平行; (面面平 行 ?线线平行) 2. 两平面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互 相垂直.(线面垂直 ? 面面垂直) 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线 的直线垂直于另一个平面. (面面垂直 ? 线面垂直) 3. 二面角和二面角的平面角 ① 二面角的定义:从一条直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 所组成的图形叫做 二面角,这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 记作 ? ? l ? ? . ② 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个半平面内分 别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫二面角的平面角.

③二面角的取值范围[ 0° 180°], 平面角是直角的二面角叫直二面角. , §1.3.1 空间几何体的表面积

空间几何体的表面积公式(c 为底面周长,h 为高,h′为斜高,l 为母线)

S直棱柱侧面积 ? ch
1 S正 棱 台 侧 面? (c1 ? c2 )h' 积 2

S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch '
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

1 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆 柱 表? 2?r ?r ? l ?

S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

?

?

§1.3.2

空间几何体的体积

1. 柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 ? Sh
1 V锥 ? Sh 3

V圆柱 ? S h ? 2r h ?
1 ' 1 ' V圆锥 ? ?r 2 h V台 ? (S ? S S ? S )h 3 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3
2. 球体的表面积和体积公式 V 球 = 4 ? R3 ;S 球面 = 4? R 2
3

3. 若多面体的表面积为 S,内切球的半径为 R , 则该多面体的体积
V? 1 SR 3

二、经典例题
1
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(如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱,

求圆柱的表面积

2

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0 0 如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90 , ?ADC ? 135 , AB ? 5 , CD ? 2 2 ,

AD ? 2 ,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积

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3

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如 图 : S 是 平 行 四 边 形 ABCD 平 面 外 一 点 , M , N 分 别 是 SA, BD上 的 点 , 且 求证: MN // 平面 SBC
S M

AM BN = , SM ND

D N A B

C

三、课堂练习 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知直线 l、m,平面 ? 、 ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题 ①若 ? // ? , l ? m ; 则 ②若 l ? m , ? // ? ; 则 ③若 ? ? ? , l // m ; 则 ④若 l // m ,

则 ? ? ? ;其中正确命题的个数是: (



A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图所示,四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=450,∠BAD= 900,将 ?ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则四 面体 ABCD 中,下列命题正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 A BC C.平面 ABC⊥平面 BDC

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABD

3.关于直线 m、n 与平面 ? 、 ? ,有下列四个命题: ①若 m // ? , n // ?且? // ? , 则m // n ③若 m ? ? , n // ?且? // ? , 则m ? n 其中真命题的序号是( ) A.①、② B.③、④ ②若 m ? ? , n ? ?且? ? ? , 则m ? n ④若 m // ? , n ? ?且? ? ? , 则m // n C.①、④ D.②、③ )

4.如果直线 l、m 与平面 ? 、 ? 、 ? 满足 l ? ? ? ? , l // ? , m ? ? 那么必有( A. ? ? ?和l ? m C. m // ?和l ? m B. ? ? ?和m // ? D. ? // ?和a ? ?

5.设 ? 、 ? 、 ? 为两两不重合的平面,l、m、n 为两两不重合的直线,给出下列 四个命题,其中真命题的个数是( ①若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ③若 ? // ? , l ? ? , 则l // ? )

②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? ④若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l // ? , 则m // n

A. 1 B.2 C.3 D.4 6.过平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有( ) A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条 7.平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于 点 C,则动点 C 的轨迹是( ) A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一 支 8.若 l、m、n 是互不相同的空间直线, ? 、 ? 是不重合的平面,则下列命题中

为真命题的是(

) B.若 ? ? ? , l ? ? , 则l ? ? D.若 l ? ? , l // ? , 则a ? ?

A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? , 则l // n C.若 l ? n, m ? n, 则l // m

9.在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线 ②若平面 ? // 平面 ? ,则平面 ? 内任意一条直线 m // 平面 ? ③若平面 ? 与平面 ? 的交线为 m, 平面 ? 内的直线 n ? 直线 m, 则直线 n ? 平面 ? ④若点 P 到三角形三条边的距离相等,则点 P 在该三角内部的射影是该三角形 的内心。 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知 a,b 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,且 a ? ? , b ? ? , 则下列命题中的假命题是( A.若 a // b, 则? // ? C.若 a, b相交, 则? , ? 相交 ) B.若 ? ? ? , 则a ? b D.若 ? , ? 相交,则 a,b 相交 )

11.已知 m、n、l 为直线, ? 、 ? 、 ? 为平面,有下列四个命题( ①若 m // ? , m // ? , 则? // ? ; ③若 ? ? ? , ? // ? , 则? ? ? ; 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

②若 l ? n, l ? m, n ? ? , m ? ? , 则l ? ? ④若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? , 则m ? n

12.已知平面 ? // 平面 ? ,直线 m ? ? ,直线 n ? ? ,点 A ? m ,点 B ? n ,记点 A、B 之间的距离为 a,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则 ( ) A.c≤b≤a B.c≤a≤b C.a≤c≤b D.b≤c≤a 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.如图所示,PA⊥平行四边形 ABCD 所在平面,则当 PC⊥__________时, AC⊥BD;当 DC⊥___________时,PD⊥DC。 14.如图所示,正方体的棱长为 1,C、D 分别是两条棱的中点,A、B、M 是顶 点,那么 M 到截面 ABCD 的距离是______________。

15.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、 AE AH CF CG 1 ? ? ? ? H 分别为边 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EB HD FB GD 2 AC ,若 EG ? HF ,则 的值为_____________。 BD 三、解答题(本大题共 4 小题) 18. (12)如右图所示,空间四边形 ABCD 被一平面所截,截面 EFGH 为平行四 边形,又 AD=BC=a 且 AD 与 BC 成 600 角。 求证:BC//平面 EFGH;

19. (12 分)已知 ?ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC,且 EC、 DB 在平面 ABC 的同侧,M 为 EA 的中点,CE=CA=2BD。求证: (1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA; (3)平面 DEA⊥平面 ECA;

20. (12 分)如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=AC=1,AA1=2。∠ B1A1C1=900.D 为 BB1 的中点。 (1)求证:AD⊥平面 A1DC1; (2)找出异面直线 C1D 与直线 A1C 所成角。

四、课外练习 一、选择题:每题 4 分,共 40 分. 1. 下列图形中,不是正方体的展开图的是----------------------------- (



A B C D 2.已知直线 m // 平面? ,直线 n 在 ? 内,则 m与n 的关系为( ) A 平行 B 相交 C 相交或异面 D 平行或异面 3.设 A A1 是正方体的一条棱,这个正方体中与 A A1 平行的棱共有( ) A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 4.若长方体三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 , 则长方体的对角线的长等于 ( ) A B 3 2 C D 2 2 3 6 5. 如图, 如果 MC ? 菱形 ABCD 所在平面, 那么 MA 与 BD 的位臵关系是 ( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直
M

D C

A

B

6.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线 平行于另一个平面; C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面;D 一个平面内任何一条直 线都平行于另一个平面 7.已知直线 m ? 平面α,直线 n 平面β,下列说法正确的是( ) A 若 a//β,则 m ? n; B 若α ? β,则 m//n;C 若 m//n,则α ? β; D 若 m ? n,则α//β。 8.一个正三棱锥的底面边长为 6 3 ,高为 4 ,则这个正三棱锥的侧面积是 ( A )

24 3

B 36 3

C

45 3

D 72 3 )

9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4? ,那么圆柱的体积等于(

A

80cm3

B

112cm3

C

56cm3

D 336cm3

10.球面上有三个点 A, B , C, 且 AB= 3 , BC= 4 , AC= 5 ,球心到平面 ABC 的距 1 离为球的半径的 ,那么这球的半径是( ) 2 A
5 3 3

B

5 3

C

10 3 3

D

10 3

二、 填空题:每题 4 分,共 16 分 11.已知圆锥的表面积为 acm2 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的 底面直径为_____________. 12.已知直线 a,b,平面α,β,有下列命题: (1)若 a//α,a//b,则 b//α; (2) 若α//β,β//γ,则α//γ;(3) 若 a ? α,b ? a,则 b//α; (4)若α ? γ, β//γ,则α ? β。正确的序号有_______ 13. 一个直角三角形的两条直角边为 15 cm 和 20 cm , 以一条直角边为轴旋转, 则这个旋转体的体积为________________________ 14. 在公路旁有一条河,河对岸有高为 24m 的塔 AB,当公路与塔底点 B 都在 水平面上时,如果只有测角器和皮尺作测量工具,塔顶与道路的距离 ________
A

B

C

D

三、解答题: 15(10 分) 圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面在圆柱底面内,并且底面是正三 角形,如果圆柱的体积是 V,底面直径与母线长相等,那么三棱柱 的体积是多少?

C' A' B'

C A B

16(12 分)在棱长为 a 的正方体 ABCD- A1 B1 C1 D1 中, (1) 求证: B1 D1 //面 C1 BD; (2)求证:面 A B1 D1 //面 C1 BD; (3)求证: A1 C ? 面 C1 BD; (4)求证:面 C1 BD ? 面 AC C1 A1 ; (5)求三棱锥 B- A C1 D 的体积。

D4

C3

D4

C3

A1

B2

A1

B2

D C

D C

A (a)

B

A (b)

B

17(12 分)如图 6-79,△ABC 是正三角形,EA 和 DC 都垂直于平面 ABC,且 EA= AB=2a,DC=a, F,G 分别是 EB 和 AB 的中点。
E

D F A G 图 6- 79 B

C

求证:FG ? 平面 ABC;FD//平面 ABC。

18(10 分)将一个底面圆的直径为2,高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱, 设这个长方形截面的一边长为 x, 对角线长为2,截面的面积为 A. (1)求面积 A 以 x 为自变量的函数式; (2)求出截得棱柱的体积的最大值。

2

x

第2章

平面解析几何初步

一、知识回顾:
§2.1.1 直线的斜率 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的

1. 直线的倾斜角 倾斜角.

当直线与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0° 因此,直线倾斜 . 角的取值范围是[0° ,180° ). 2. 直线的斜率

①定义:倾斜角 ? 不是 90° 的直线, ? 的正切叫做这条直线的斜率. 直线的斜率通常用 k 表示. 即 k ? tan ? .

当 ? =0° 时,k=0;当 ? ∈(0° 90° , )时,k>0;当 ? ∈(90° 180° , )时,k<0; 当 ? =90° 时,k 不存在. ②经过两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

§2.1.2

直线的方程

1. 点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率为 k,且过点(x1, y1). 注意:当直线的倾斜角为 0° 时,直线的斜率 k=0,直线的方程是 y=y1; 当直线的倾斜角为 90° 时,直线的斜率不存在,直线的方程是 x=x1; 2. 斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b(b∈R)
y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 直线经过两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2) y2 ? y1 x2 ? x1

3. 两点式:

4. 截矩式: ?

x a

y ? 1 直线 l 过点 ( a,0) 和点 (0, b) , 即 l 在 x 轴、y 轴上的截 b

距分别为 a , b .(a≠0 且 b≠0) 注意:直线 l 在坐标轴上的截距相等时,斜率为-1 或经过原点; 直线 l 在坐标轴上的截距互为相反数时,斜率为 1 或经过原点; 5. 一般式:Ax+By+C=0(A , B 不全为 0) 注意: ①平行于 x 轴的直线:y=b(b 为常数), 直线的斜率为 0; ②平行于 y 轴的直线:x=a(a 为常数), 直线的斜率不存在; ③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数 §2.1.3 两条直线的平行与垂直

设直线 l1: y ? k1 x ? b1 ,直线 l2: y ? k 2 x ? b2 . 则 ① l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1

注意:利用斜率判断直线的平行或垂直时,要注意斜率的存在与否. §2.1.4 两条直线的交点

1. 若直线 l1:A1x+B1y+C1=0 ,与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 相交 则交点坐标为方程组 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的一组解. 方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方 ?
? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

程组有无数解 ? l1 与 l2 重合 2. 过定点的直线系 ①斜率为 k 且过定点(x0 , y0)的直线系方程为 y-y0=k (x-x0); ②过两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0 ,l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线 系方程为 (A1x+B1y+C1)+ ? ( A2x+B2y+C2)=0( ? 为参数) ,其中直线 l2 不在直 线系中. §2.1.5 平面上两点间的距离

设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2)是平面直角坐标系中的两点,则
| AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

若线段 AB 的中点为 M(x0 ,y0) , §2.1.6 点到直线的距离

则 x0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

1. 点到直线距离公式:点 P(x0 , y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

2. 两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 ,l2:Ax+By+C2=0 间的距离

d?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2
§2.2.1 圆的方程

1. 标准方程 2. 一般方程

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心坐标为(a, b),半径为 r; x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
D E , ? ) ,半径 2 2

当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心坐标为 ( ? 为r ?
1 D 2 ? E 2 ? 4F 2

当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不 表示任何图形. §2.2.2 直线与圆的位臵关系

1. 直线与圆的位臵关系有三种情况:相离,相切,相交;可由下列两种方 法判断: ①设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ?

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

则有 d>r ? l 与 C 相离;d=r ? l 与 C 相切;d<r ? l 与 C 相交; ②设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,先将方程联立 消元, 得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为△, 则有△<0 ? l 与 C 相离;△=0 ? l 与 C 相切;△>0 ? l 与 C 相交; 2. 直线 l 被圆 C 截得的弦长公式: AB ? 2 r 2 ? d 2

3. 过圆 C:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2 4. 过圆 C:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆 C 的两条切线 PA, PB(A, B 为切点) , 切点弦 AB 所在直线的方程为 x0x+y0y=r2 §2.2.3 圆与圆的位臵关系 圆 C2: ( x ? a2 ) 2 ? ( y ? b2 ) 2 ? R 2 .

设圆 C1: ( x ? a1 ) 2 ? ( y ? b1 ) 2 ? r 2 ,

两圆的位臵关系常通过两圆半径的和(或差) ,与圆心距(d=C1C2)之间 的大小比较来确定. 当 d ? R ? r 时,两圆相离;
R ? r ? d ? R ? r 时,两圆相交;

当 d ? R ? r 时,两圆外切;



当 d ? R ? r 时,两圆内切; =0 时,为同心圆. §2.3.1 空间直角坐标系

当 d ? R ? r 时,两圆内含;

当d

z

如右图,ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体. 以 A 为坐标原点 O,
B1

A1 C1 A (O)

D1

分别以 OB, OD,OA1 的方向为正方向,建立三条数轴 x 轴,y 轴,z 轴. 这时建立了一个空间直角坐标系 O-xyz. 空间一点 M 的坐标可以表示为 M(x , y , z) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) §2.3.2 空间中两点间的距离
x B

C

D

y

设空间中两点 P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z 2) 则 P1P2 = ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 ;线段 P1P2 的中点 P0 二、经典例题

1

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求由曲线 x2 ? y2 ? x ? y 围成的图形的面积

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2

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设 x ? y ? 1 ? 0, 求 d ? 的最小值
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x 2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 34 ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 30 y ? 229

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3

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求过点 M (5, 2), N (3, 2) 且圆心在直线 y ? 2 x ? 3 上的圆的方程

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平 面 上 有 两 点 A(?1,0), B(1,0) , 点 P 在 圆 周 ?x ? 3? ? ? y ? 4? ? 4 上 , 求 使
2 2
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AP 2 ? BP 2 取最小值时点 P 的坐标

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三、课堂练习
一、选择题 1.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 , 则 a , b 满足( A. a ? b ? 1 C. a ? b ? 0 ) B. a ? b ? 1 D. a ? b ? 0

2.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 则 m 的值为( ) A. 0 B. ? 8 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0



3.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, C. 2 D. 10 )

4.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限

B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 )

5.直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 450 ,1 C. 90 ,不存在
2 2
0

B. 1350 , ?1 D. 180 ,不存在
0

6.若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足 ( ) A. m ? 0 C. m ? 1 B. m ? ?

3 2 3 ,m ? 0 2

D. m ? 1 , m ? ?

二、填空题 1.点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________. 2.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称,则 l 2 的方程为__________; 若 l 3 与 l1 关于 x 轴对称,则 l 3 的方程为_________; 若 l 4 与 l1 关于 y ? x 对称,则 l 4 的方程为___________; 3. 若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为____________________。

2 2 4.点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是________________.

5.直线 l 过原点且平分 ? ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为

B(1, 4), D(5, 0) ,则直线 l 的方程为________________。
三、解答题 1.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 , (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线;

(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴; 证明:这条直线的方程可以写成 A? x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0 . 2 . 求 经 过 直 线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的 交 点 且 平 行 于 直 线 (5)设 P x0 ,y0 为直线 Ax ? By ? C ? 0 上一点,

?

?

2x ? y ? 3 ? 0
的直线方程。 3.经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 请求出这些直线的方程。 4. 过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为

5.

四、课外练习 一、选择题 1、已知 A(-1,0) ,B(5,6)C(3,4) ,则 (A) ; 、 (B) ; 、 (C) 、3; (D) 、2。 2、直线 3x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( ) (A) 、300; (B) 、600; (C) 、1200; (D) 、1350。 3、若三直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+ky=0 相交于一点,则 k=( ) (A) 、-2; (B) ? 、
1 1 ; (C) 、2; (D) 、 。 2 2 1 3 1 2
| AC | =( ) | CB |

4、如果 AB>0,BC>0,那么直线 Ax—By—C=0 不经过的象限是( )

(A) 、第一象限; (B) 、第二象限; (C) 、第三象限; (D) 、第四象限; 5、已知直线 L1 和 L2 夹角的平分线所在直线的方程为 y=x,如果 L1 的方程是
ax ? by ? C ? 0(ab ? 0) ,那么 L2 的方程是( )

(A) bx ? ay ? c ? 0 (B) ax ? by ? c ? 0 (C) bx ? ay ? c ? 0 (D) bx ? ay ? c ? 0 6、以 A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( ) A、 3x ? y ? 8 ? 0 B、 3x ? y ? 4 ? 0 C、 3x ? y ? 8 ? 0 D、 2 x ? y ? 6 ? 0

7、直线 L 过点 A(3,4)且与点 B(-3,2)的距离最远,那么 L 的方程为( ) A、 3x ? y ? 13 ? 0 B、 3x ? y ? 13 ? 0 C、 3x ? y ? 13 ? 0 D、 3x ? y ? 13 ? 0

8、光线由点 P(2,3)射到直线 x ? y ? ?1 上,反射后过点 Q(1,1) ,则反射光 线所在的直线方程为( ) A、 ? x ? y ? 0 B、 4 x ? 5 y ? 31 ? 0 C、 4 x ? 5 y ? 1 ? 0 D、 4 x ? 5 y ? 16 ? 0

9、已知点 A(x,5)关于点(1,y)的对称点(-2,-3) ,则点 P(x,y)到原点 的距离是( ) A、4 B、 13 C、 15 D、 17

10、 已知直线 ax ? 4 y ? 2 ? 0 与 2 x ? 5 y ? b ? 0 互相垂直, 垂足为 (1, ,则 a ? b ? c c) 的值为( ) A、-4 B、20 C、0 D、24

11、直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0 与 l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 平行,则 a 的值等于( ) A、-1 或 3 B、1 或 3 C、-3 D、-1 )

12、直线 y ? mx ? (2m ? 1) 恒过一定点,则此点是( A、 (1,2) B、 (2,1) C、 (1,-2)

D、 (-2,1)

13、如果两条直线的倾斜角相等,则这两条直线的斜率 k 1 与 k 2 的关系是( ) A、 k 1 = k 2 B、 k 1 > k 2 C、 k 1 < k 2 D、 k 1 与 k 2 的大小关系不确定

14、直线是 y=2x 关于 x 轴对称的直线方程为( ) (A) y ? ? x
1 2

(B) y ? x

1 2

(C)y = -2x

(D)y=2x

15、已知点(a,2) (a>0)到直线 l:x—y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( ) (A) 2 (B) 2 ? 2 (C) 2 ? 1 (D) 2 ? 1

16、直线 y=2 与直线 x+y-2=0 的夹角是( )
( A).

?
4

; ( B) .

?
3

; (C) .

?
2

; ( D) .

3? 4

二、填空题 1、以原点 O 向直线 L 作垂线,垂足为点 H(-2,1) ,则直线 L 的方程为 2、经过点 P(-3,—4) ,且在 x 轴、y 轴上的截距相等的直线 L 的方程是 3、两直线 (m ? 2) x ? y ? m ? 0, x ? y ? 0 与 x 轴相交且能构成三角形,则 m 满足的条 件是 4、过点(-2,1) ,倾斜角的正弦为 的直线方程为 三、解答题 1.一条直线经过点 M(2,-3) ,倾斜角α=1350,求这条直线方程。 分) (6
1 2

2、求经过直线 L1: 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与直线 L2: 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点 M 且满足下 列条件的直线方程。 (12 分) (1)经过原点; (2)与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行; (3)与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直

3.已知直线 x ? m 2 y ? 6 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0 没有公共点, 求实数 m 的值

4、设三条直线 x-2y =1,2x+ky =3,3kx +4y =5 交于一点,求 k 的值

5、已知:两点 A ? 4 , 2 3 ? 1 ,B(3,2) ,过点 P(2,1)的直线 l 与线段 AB 有 公共点求直线 l 的倾斜角的取值范围。 分) (7

?

?

7、已知△ABC 的顶点 A(2,-4) ,两条内角平分线的方程分别是 BE:x+y-2=0 和 CF:x-2y-6=0,求△ABC 的三边所在的直线方程。

必修 3 第一章:算法
一、导:知识提要:算法的含义、程序框图、基本算法语句,辗转相除法、更相减损术、秦 久韶算法与进位制。 1.算法的含义:在数学中算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 算法的特点: (1)有限性(一个算法的步骤是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性(算法的每一步骤和次序应当是确定的。 (3)有效性(算法的每一步骤都必须是有效的)。 2. 程序框、流程线的名称与功能 图形符号 名称 功能

. 连接程序框 连接程序框图的两部分 3.算法的基本逻辑结构和基本算法语句 (1).基本算法语句:输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句 (2).三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构 (3).循环语句分 while 型语句和 for 型语句,设计循环语句程序时要注意:①循环语句中 的变量一般需要进行一定的初始化操作;②循环语句在循环的过程中需要有“结束”

的机会;③循环的过程中变量的变化规律。 4.算法案例 学习辗转相除法与更相减损术、秦久韶算法、进位制时,必须了解其历史背景,理解解 题原理,掌握解题步骤. 二、学:学法指导 1.规范基本语句一般格式 【方法点拨】输入语句中提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入多个变量,变量与变 量之间用逗号“,”隔开。输出语句显示算法的输出结果功能,输出语句输出常 量、变量或表达式的值或字符。赋值语句将表达式所代表的值赋给变量,赋值 语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量 和算式。 【案例分析】 判断下列给出的语句是否正确,将错误的语句改正过来? (1) 、INPUT a; b; c (2) 、INPUT x ? 3 (3) 、PRINT A ? 4 (4) 3 ? B 、 (5) x ? y ? 0 、 (6) A ? B ? 4 、

2.理解流程图所表达的含义 【方法点拨】:理解流程图所表达的含义,一方面,给出程序 框图能指出功能,另一方面,根据框图能得到输出的结果。 【案例分析】 阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100, 则输出的变量 s 和 T 的值依次是_____、 (2007 年高考, 选择题, 看高考考什么?)

开始

输入 n
S=0,T=0 是

n<2?
否 S=S+n

3、掌握循环语句的功能 【方法点拨】两种循环语句中判断和循环的顺序,以及变量的初始值 和控制循环的条件是决定结果的关键点. 【 案 例 分 析 】 某 位 同 学 用 while 型 语 句 设 计 了 一 个 求

输出 S, T

n=n-1 结束 T=T+n n=n-1

1?

1 1 1 的值的程序,程序如下, 试判断是否正确?你能 ? ? ?? 2 3 100
i=1 sum=1 while i<100 sum =sum+1/i i=i+1 end print sum end

否用 for 型语句设计此程序.

while 型 【解析】:在 WHILE 型程序里面 i=1 、sum=1,控制循环的条件为 i<=100,按此算法最后得

到的结果应为 1 ? 1 ?

1 1 1 ,所以应将 sum=1 改为 sum=0; ? ? ?? 2 3 100

4.注重算法的实践应用 【方法点拨】 用算法处理应用问题的基本思路是: 分析实际问题--建立数学模型--写算 法步骤--画程序框图--编制算法程序。 体现算法 “逐渐精 确”的过程,这是算法解决实际问题的步骤。 【案例分析】2006 年 1 月份开始实施的《个人所得税法》规定:全月总收 入不超过 1600 元的免征个人工资、薪金所得税,超过 1600 元部分需征税, 设全月总收入金额为 x 元, 前三级税率如下表 所示: 级数 1 2 3 …… 全月应纳税金额 x-1600 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2000 元部分 超过 2000 元至 5000 元部分 …… 税率 5% 10% 15% ……

当月工资薪金所得不超过 3600 元, 计算个人所得税的一个算法框图如右图, 则输出①输出②分别为( ) A. 0.05x,0.1x B. 0.05x,0.1x ? 185 C. 0.05x ? 80,0.1x D. 0.05x ? 80,0.1x ? 185

三、练:知识要点
1、算法的概念 算法是为完成一项任务所应当遵照的一步一步的规则的、精确的、无歧义的描述,它的总 步数是有限的。算法的基本特点:1、________ 2、________ 3、________ 2.程序框图 (1)程序框图的概念: _________________________________________________________________ ___________________________ (2)构成程序框的图形符号及其作用 起止框__________ 输入、输出框_________, 处理框________判断框________ 流程线__________ 循环框__________ 连结点______ (3)程序框图的构成 一个程序框图包括以下几部分: 实现不同算法功能的相对应的程序框; ______________; __________________. 3.算法的三种基本结构: ______________ ______________ ______________ 4.算法基本语句: 1.输入语句 输入语句的格式:INPUT “提示内容” 变量。例如:INPUT “x=” x ; ; 功能:__________________________ 2.输出语句 输出语句的一般格式:PRINT“提示内容” ;表达式。例如:PRINT“S=” ;S 功能:_______________________ 3.赋值语句

赋值语句的一般格式:变量=表达式。赋值语句中的“=”称作赋值号 作用:______________________________________________; 要求: (1)赋值语句左边只能是________,而不是表达式,右边表达式可以是一个常量、变 量或含变量的运算式。如:2=x 是错误的; (2)赋值号的左右两边_______(“能”或”不能”)对换。赋值语句是将赋值号右边的表达 式的值赋给赋值号左边的变量。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的,如 x=5 是对 的,5=x 是错的,A+B=C 是错的,C=A+B 是对的。 (3)不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等) ,或以上 的“=” 。但对于同一个变量可以多次赋值。 4.条件语句 if 语句格式: _________ _________ _________ __________ ___________ 5.循环语句 ①while 语句 While _________ ___________ ___________ ②for 循环格式: for _________________ ___________; _____________

四、做:

例题分析

例 1.如图是一个算法的程序框图,当输入的值 x 为 5 时,则其输出的结果是 ____

例 2.下边程序执行后输出的结果是( A.-1 B.0 C.1 D.2 n=5 s=0 WHILE s<15 s= s + n n=n-1 END

)

PRINT n END 例 3、为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文密文(加密) ,接受方有密文明 文(解密) ,已知加密规则如图所示,例如,输入明文 1,2,3,4 则对应加密文 5,7,18, 16。若接受方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为: ( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 例 4、写出求和:1+2+3+…+100 的框图和算法语句

五、课外练习:

一、选择题
1
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下面对算法描述正确的一项是: ( A 算法只能用自然语言来描述 C 同一问题可以有不同的算法
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) B D
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算法只能用图形方式来表示 同一问题的算法不同,结果必然不同 )

2

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用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根的算法中要用哪种算法结构(
2

A 3
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顺序结构

B

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条件结构

C

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循环结构

D

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以上都用 )

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将两个数 a ? 8, b ? 17 交换,使 a ? 17, b ? 8 ,下面语句正确一组是 ( A
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B a=b b=a

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c=b b=a a=c

C

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b=a a=b )

D a=c c=b b=a
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4

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计算机执行下面的程序段后,输出的结果是(

a ?1 b?3 a ? a?b b ? a ?b
PRINT a , b A
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1, 3

B

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4,1

C

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0, 0

D

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6, 0


5 当 a ? 3 时,下面的程序段输出的结果是( IF a ? 10 THEN
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y ? 2?a

else

y ? a?a
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PRINT y A
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9

B

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3

C

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10

D

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6

二、填空题
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把求 n ! 的程序补充完整 “n=” ,n i =1 s=1 i< = n s=s*i i=i+1 PRINT s END 用“冒泡法”给数列 1,5,3, 2,7,9 按从大到小进行排序时,经过第一趟排序后得到的新 数列为
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用“秦九韶算法”计算多项式 f ( x) ? 5x 5 ? 4x 4 ? 3x 3 ? 2 x 2 ? x ? 1,当 x=2 时的值的
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过程中,要经过 次乘法运算和 次加法运算 4 以下属于基本算法语句的是 ① INPUT 语句;②PRINT 语句;③IF-THEN 语句;④DO 语句;⑤END 语句; ⑥WHILE 语句;⑦END IF 语句 5 将 389 化成四进位制数的末位是____________ 三、解答题
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把“五进制”数 1234(5) 转化为“十进制”数,再把它转化为“八进制”数

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用秦九韶算法求多项式 f ( x) ? 7 x ? 6 x ? 5x ? 4 x ? 3x ? 2 x ? x
7 6 5 4 3 2

当 x ? 3 时的值

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编写一个程序,输入正方形的边长,输出它的对角线长和面积的值

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某市公用电话(市话)的收费标准为: 3 分钟之内(包括 3 分钟)收取 0.30 元;超过 3 分钟部分按 0.10 元/分钟加收费 设计一个程序,根据通话时间计算话费
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第二章:统计 一、新知 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意:在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本,每个个体被抽到的 机会(概率)均为 。 2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况, 从中便于看出数据的分布, 以及中位数、 众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的药重复 写。 3、总体特征数的估计: ⑴平均数: ; 取值为 的频率分别为 ,则其平均数为 ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 方差: ; 标准差: 注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;

②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: (最小二乘法) 注意:线性回归直线经过定点 。 二、练习题:

一、选择题
1
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10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 设其平均

数为 a ,中位数为 b ,众数为 c ,则有( ) a?b?c A B b?c?a C c?a?b D c?b?a 2 下列说法错误的是 ( ) A 在统计里,把所需考察对象的全体叫作总体 B 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D 一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大 3 某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15 , 那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A 3.5 B ?3 C 3 D ? 0 .5 4 要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小,需知道相应样本的( ) A 平均数 B 方差 C 众数 D 频率分布 1 ? 60 )的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验, 5 要从已编号( 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是( )
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A

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5,10,15, 20, 25,30

B

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3,13, 23,33, 43,53

C

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1, 2,3, 4,5,6

D

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2, 4,8,16,32, 48
6
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容量为 100 的样本数据,按从小到大的顺序分为 8 组,如下表: 组号 频数 1 10 2 13 3 x ) C
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4 14

5 15

6 13

7 12

8 9

第三组的频数和频率分别是 ( A
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14 和 0.14

B

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0 . 1 4 14 和

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1 和 0.14 14

D

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1 1 和 3 14

二、填空题
1
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为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况,从中抽取 100 名运动员;就这个问

题,下列说法中正确的有 ; ① 2000 名运动员是总体;②每个运动员是个体;③所抽取的 100 名运动员是一个样本; ④样本容量为 100 ;⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样;⑥每个运动员被抽到的概 率相等 2 经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执 、 “一般”态度的比“不喜欢”态度的多 12 人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄 影,如果选出的 2 位“喜欢”摄影的同学、 1 位“不喜欢”摄影的同学和 3 位执“一般”态 度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人
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3 4

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数据 70,71,72,73 的标准差是______________
2

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数据 a1 , a2 , a3 ,..., an 的方差为 ? ,平均数为 ? ,则 (1)数据 ka1 ? b, ka2 ? b, ka3 ? b,..., kan ? b,(kb ? 0) 的标准差为 平均数为
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(2)数据 k (a1 ? b), k (a2 ? b), k (a3 ? b),..., k (a ? b ), (kb ? 0) 的标准差为 n 平均数为 5
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观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在 ? 2700,3000? 的
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频率为

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频率/组距

0

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001

0

2400 2700

3000

3300 3600 3900

体重

三、解答题
1
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对某校初二男生抽取体育项目俯卧撑,被抽到的 50 名学生的成绩如下: 10 8 9 6 8 5
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成绩(次) 人数

7 16
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6 4

5 7

4 3

3 1

试求全校初二男生俯卧撑的平均成绩

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2 为了了解初三学生女生身高情况,某中学对初三女生身高进行了一次测量,所得数 据整理后列出了频率分布表如下:
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组 别 145 149 153 157 161 165
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频数
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频率 0 0 0 0 0
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5~149 5~153 5~157 5~161 5~165 5~169 合 计

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5 5 5 5 5 5

1 4 20 15 8 M M

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02 08 40 30 16 n N

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(1)求出表中 m, n, M , N 所表示的数分别是多少? (2)画出频率分布直方图 (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多?
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3

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某校高中部有三个年级,其中高三有学生 1000 人,现采用分层抽样法抽取一个容量为

185 的样本,已知在高一年级抽取了 75 人,高二年级抽取了 60 人,则高中部共有多少
学生?

4

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从两个班中各随机的抽取 10 名学生,他们的数学成绩如下: 甲班 乙班 76 86 74 84 82 62 96 76 66 78
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76 92

78 82

72 74

52 88

68 85

画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况

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第三章:概率

3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义
一、教学设想:
1、创设情境:日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如,你明天什么时 间起床?7:20 在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是否能中奖?等等。 2、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事件 A n

出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多, n

这种摆动幅度越来越小。 我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事 件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 (7)似然法与极大似然法:见课本 P111 3、例题分析: 例 1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 答:根据定义,事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事 、 、 、 、 件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件. 、 、 、 例 2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心的频率 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455

m n

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么?

分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频 率 fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。 解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89。 小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。 练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下: 时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约是多少? 答案: (1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517. (2)由表中的已知数据及公式 fn(A)= 1 年内 5544 2883 2 年内 9607 4970 3 年内 13520 6994 4 年内 17190 8892

nA 即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常 n

数 0.518 上,所以这一地区男婴出生的概率约是 0.518. 例 3 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环, 1 次未中靶, 有 试计算此人中靶的概率, 假设此人射击 1 次, 试问中靶的概率约为多大? 中 10 环的概率约为多大? 分析: 中靶的频数为 9, 试验次数为 10, 所以靶的频率为

9 =0.9, 所以中靶的概率约为 0.9. 10

解:此人中靶的概率约为 0.9;此人射击 1 次,中靶的概率为 0.9;中 10 环的概率约为 0.2. 例 4 如果某种彩票中奖的概率为

1 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的意 1000

义解释。 分析:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次试验的结果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果都是 随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也 可能有一张、两张乃至多张中奖。 例 5 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其 公平性。 分析:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发球 权的概率是 0.5。 解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任何 一名运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。 4、 课堂小结: 概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义 是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用 这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索。 5、自我评价与课堂练习: 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( ) A.必然事件 B.随机事件

C.不可能事件 D.无法确定 2.下列说法正确的是( ) A.任一事件的概率总在(0.1)内 B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对 3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。

每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率

2 2

5 4

10 9

70 60

130 116

700 282

1500 639

2000 1339

3000 2715

(1)完成上面表格: (2)该油菜子发芽的概率约是多少? 4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示。

投篮次数 进球次数 m 进球频率
m n

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少? 5.生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点 雨都没下,天气预报也太不准确了。 ”学了概率后,你能给出解释吗? 6、评价标准: 1.B[提示:正面向上恰有 5 次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件。] 2.C[提示:任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1.] 3 . 解 : ( 1 ) 填 入 表 中 的 数 据 依 次 为 1,0.8,0.9, 0.857,0 .892,0 .910,0.913,0.8 93,0.903,0.905.(2)该油菜子发芽的概率约为 0.897。 4.解: (1)填入表中的数据依次为 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由于上述频 率接近 0.80,因此,进球的概率约为 0.80。 5.解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件发 生的概率,我们知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有 下雨”并不说明“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的。

3.1.3 概率的基本性质
一、教学设计:
1、 创设情境: (1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С {2,3,4,5}等; (2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如:C1={出现 1 点},C2={出现 2 点},C3={出现 1 点或 2 点},C4={出现的点数为偶数}?? 师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗? 2、 基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本 P115; (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事 件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B).

3、 例题分析: 例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是 指不可能同时发生的两事件, 而对立事件是建立在互斥事件的基础上, 两个事件中一个不发 生,另一个必发生。 解:A 与 C 互斥(不可能同时发生) 与 C 互斥,C 与 D 互斥,C 与 D 是对立事件(至少 ,B 一个发生). 例 2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为“出现奇数点” ,B 为“出现偶数点” ,已知 P(A)=

1 1 ,P(B)= ,求出“出现奇数点或偶数点” . 2 2

分析:抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概率的加 法公式求解. 解: “出现奇数点或偶数点” 记 为事件 C,则 C=A∪B,因为 A、 是互斥事件, B 所以 P(C)=P(A)+ P(B)=

1 1 + =1 2 2

答:出现奇数点或偶数点的概率为 1 例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概率 是

1 1 ,取到方块(事件 B)的概率是 ,问: 4 4

(1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 分析:事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求 解,事件 C 与事件 D 是对立事件,因此 P(D)=1—P(C). 解: (1)P(C)=P(A)+ P(B)=

1 1 (2)P(D)=1—P(C)= 2 2

例 4 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率 为

1 5 5 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、得 3 12 12

到黄球、得到绿球的概率各是多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为 A、 、 、 、

5 5 ; P(C ∪ D)=P(C)+P(D)= ; P(B ∪ C ∪ 12 12 1 1 1 2 1 D)=1-P(A)=1- = ,解的 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= 3 3 6 4 4 1 1 1 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 、 . 4 6 4
B 、 C 、 D , 则 有 P(B ∪ C)=P(B)+P(C)= 4、课堂小结:概率的基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A) ≤1;2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B);3) 互斥事件与对立事件的区别与联系, 互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发 生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事

件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一 个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立 事件互斥事件的特殊情形。 5、自我评价与课堂练习: 1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数,判 断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。 (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品; 2. 抛掷一粒骰子, 观察掷出的点数, 设事件 A 为出现奇数, 事件 B 为出现 2 点, 已知 P (A) =

1 1 ,P(B)= ,求出现奇数点或 2 点的概率之和。 2 6

3.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28, 计算该射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。 4.已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒都是 黑子的概率是

1 12 ,从中取出 2 粒都是白子的概率是 ,现从中任意取出 2 粒恰好是同一色 7 35

的概率是多少? 6、评价标准: 1.解:依据互斥事件的定义,即事件 A 与事件 B 在一定试验中不会同时发生知: (1)恰好 有 1 件次品和恰好有 2 件次品不可能同时发生, 因此它们是互斥事件, 又因为它们的并不是 必然事件,所以它们不是对立事件,同理可以判断: (2)中的 2 个事件不是互斥事件,也不 是对立事件。 (3)中的 2 个事件既是互斥事件也是对立事件。 2.解: “出现奇数点”的概率是事件 A, “出现 2 点”的概率是事件 B, “出现奇数点或 2 点” 的概率之和为 P(C)=P(A)+P(B)=

1 1 2 + = 2 6 3

3.解: (1)该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的和, 即为 0.21+0.23=0.44。 (2)射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率 的和,即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环的事件为 对立事件,所以射中少于 7 环的概率为 1-0.97=0.03。 4.解:从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率恰为取 2 粒白子的概率与 2 粒黑子的概 率的和,即为

1 12 17 + = 7 35 35

3.2 古典概型(3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生)
一、教学设想:
1、创设情境: (1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝上” , 它们都是随机事件。 (2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,…,10,从中任取一球,只 有 10 种不同的结果,即标号为 1,2,3…,10。 师生共同探讨:根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点?

2、基本概念: (1)基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本 P121~126; (2)古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 . 总的基本事件个数

3、例题分析: 课本例题略 例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。 分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。 解:这个试验的基本事件共有 6 个,即(出现 1 点)(出现 2 点)……、 、 (出现 6 点) 所以基本事件数 n=6, 事件 A=(掷得奇数点)=(出现 1 点,出现 3 点,出现 5 点) , 其包含的基本事件数 m=3 所以,P(A)=

m 3 1 = = =0.5 n 6 2

小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。 例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放 回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个, 即(a1,a2)和, 1,b2)(a2,a1)(a2,b1)(b1,a1)(b2,a2) (a , , , , 。其中小括号内左边的 字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中, 恰好有一件次品”这一事件,则 A=[(a1,b1)(a2,b1)(b1,a1)(b1,a2)] , , , 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 6 3

例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所 以试验结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事件共 有 8×8×8=8 种,因此,P(A)=
3 3

83 =0.512. 103

(2) 解法 1: 可以看作不放回抽样 3 次, 顺序不同, 基本事件不同, 按抽取顺序记录 (x,y,z) , 则 x 有 10 种可能, 有 9 种可能, 有 8 种可能, y z 所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种. 设 事件 B 为 件都是正品”则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)= “3 ,

336 720

≈0.467. 解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种

可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z)(x,z,y)(y,x,z)(y,z,x)(z,x,y) , , , , , (z,y,x) ,是相同的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包 含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467. 120

小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺 序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误. 例 4 利用计算器产生 10 个 1~100 之间的取整数值的随机数。 解:具体操作如下:键入 PRB

RAND RANDI
STAT DEC

ENTER

RANDI(1,100) STAT DEG

ENTER

反复操作 10 次即可得之 STAT DEC 小结:利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中,有着广泛的应用。 例 5 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三次投 篮中,恰有两次投中的概率是多少? 分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概 型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为 40%。 解: 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题, 利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之间的 取整数值的随机数。 我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投中的 概率是 40%。因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组。 例如:产生 20 组随机数: 812,932,569,683,271,989,730,537,925, 907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表示恰 有两次投中,它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了三次投篮 中恰有两次投中的概率近似为

RAND (1,100) 3.

5 =25%。 20

小结: (1)利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解问题。 (2)对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计算 机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。 (3)随机函数 RANDBETWEEN(a,b)产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数。 例 6 你还知道哪些产生随机数的函数?请列举出来。 解: (1)每次按 SHIFT RNA# 键都会产生一个 0~1 之间的随机数,而且出现 0~1 内任何 一个数的可能性是相同的。 (2)还可以使用计算机软件来产生随机数,如 Scilab 中产生随机数的方法。Scilab 中用 rand()函数来产生 0~1 之间的随机数,每周用一次 rand()函数,就产生一个随机数,如 果要产生 a~b 之间的随机数,可以使用变换 rand()*(b-a)+a 得到.

4、课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点: (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)=

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

(3)随机数量具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们 自己做大量重复试验, 比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各 个考场中。 5、自我评价与课堂练习: 1.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,从中任取一根,取到长度超过 30mm 的纤 维的概率是( ) A.

30 40

B.

12 40

C.

12 30

D.以上都不对

2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的 概率是 A.

1 5

B.

1 4

C.

4 5

D.

1 10

3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中 至少有一个红球的概率是 。 4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率。 5.利用计算器生产 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机数。 6.用 0 表示反面朝上,1 表正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验。 6、评价标准: 1.B[提示:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,即基本事件总数为 40,且它们是 等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为

12 ,因此选 B.] 40

2.C[提示: (方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁订(记 为事件 A)包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

8 4 = .(方法 2)本题还可以 10 5 2 4 = .] 10 5

用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件 A)与取到 不合格品(记为事件 B)恰为对立事件,因此,P(A)=1-P(B)=1- 3.

7 [提示;记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为: (红 10
10 个,其中至少有一

, , (红 1,白 3)(红 2,白 3) , ,共 1,红 2)(红 1,白 1)(红 1,白 2) 个红球的事件包括 7 个基本事件,所以,所求事件的概率为

7 .本题还可以利用“对立事件 10

的概率和为 1”来求解,对于求“至多” “至少”等事件的概率头问题,常采用间接法,即 求其对立事件的概率 P(A) ,然后利用 P(A)1-P(A)求解]。 4.解:在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点,2 点,…,6 点 6 种不同的结果, 我们把两颗骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的一个结果,因此同时掷两颗骰子 的结果共有 6×6=36 种,在上面的所有结果中,向上的点数之和为 8 的结果有(2,6)(3, ,

5)(4,4)(5,3)(6,2)5 种,所以,所求事件的概率为 , , , 5.解:具体操作如下 键入 PRB

5 . 36

PAND RANDI STAT DEG PANDI(1,20) STAT DEG
PANDI(1,20)
3.

ENTER

ENTER

STAT DEG

反复按

ENTER

键 10 次即可得到。

6.解:具体操作如下: 键入 PRB

PAND RANDI STAT DEG PANDI(0,1) STAT DEG
PANDI(0,1)
0

ENTER

ENTER

STAT DEG

3.3 几何概型
3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生
一、教学设想:
1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果 的随机试验是不够的, 还必须考虑有无限多个试验结果的情况。 例如一个人到单位的时间可 能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中 的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念: (1) 几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面 积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个 基本事件出现的可能性相等. 3、 例题分析: 课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当 指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几何概 型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于 古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” ,概 率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间 不多于 10 分钟的概率. 分析: 假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间 有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概 率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站 等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时 间段的位臵无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 间不多于 10 分钟的概率为

60 ? 50 1 = ,即此人等车时 60 6

1 . 6

小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等 可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的 概率.

1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3
解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点 钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作构 成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。

解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=

储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000

答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升,则取出的 种子中含有麦诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事件的 区域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=

取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000

答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位臵剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的 概率有多大? 分析:在任意位臵剪断绳子,则剪断位臵到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每一 个实数被取到都是等可能的。因此在任意位臵剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3] 上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位臵与端点距离在[1,2]内,也 就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是 事件 A 发生的概率。 解法 1: (1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N. (4)计算频率 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合) .转 动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位臵在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N, 则 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机 数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数 不可能很大;解法 1 用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的 结果, 同时可以在短时间内多次重复试验, 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认 识. 例 6 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方形 的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M, 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解: (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1

(4)计算频率

N1 . N

记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间},则 P(A)的近似 值为 fn(A)=

N1 . N

4、课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时, 一定要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀 随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的 量(如概率值、常数 ) 有关,然后设计适当的试验, 并通过这个试验的结果来确定这些量. 5、自我评价与课堂练习: 1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现草 履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 2.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求 硬币不与任何一条平行线相碰的概率. 3.某班有 45 个,现要选出 1 人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好 选中学生甲主机会有多大? 4.如图 3-18 所示,曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围成一个区域 A,直线 x=1、直线 y=1、x 轴 围成一个正方形,向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统计出落 在区域 A 内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。 6、评价标准: 1.C(提示:由于取水样的随机性,所求事件 A: “在取出 2ml 的水样中有草履虫”的概率 等于水样的体积与总体积之比

2 =0.004) 500

2.解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为 事件 A,为了确定硬币的位臵,由硬币中心 O 向靠得 最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M,如图所示,这 样线段 OM 长度(记作 OM)的取值范围就是[o,a], 只有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求 事件 A 的概率就是 P(A)=

M 2a r o

(r , a]的长度 a ? r = a [0, a]的长度

3.提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独立完成。 (1)用 1~45 的 45 个数来替代 45 个人; (2)用计算器产生 1~45 之间的随机数,并记录; (3)整理数据并填入下表

试 验 50 次数 1 出现 的频 数

100

150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000

1050

1 出现 的频 率
(4)利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。

4.解:如下表,由计算机产生两例 0~1 之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的坐标。 如果一个点(x,y)满足 y≤-x2+1,就表示这个点落在区域 A 内,在下表中最后一列相应地 就填上 1,否则填 0。

x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260 … 0.947386 0.117618 0.516465 0.596393

y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512 … 0.902127 0.305673 0.222907 0.969695

计数 0 1 0 1 1 1 … 0 1 1 0

必修 4 第一章、三角函数 §1.1.1、任意角
(一)复习引入: 1.初中所学角的概念。 2.实际生活中出现一系列关于角的问题。 (二)新课讲解: 1.角的定义:一条射线绕着它的端点 O ,从起始位置 OA 旋转到终止位置 OB ,形成 一个角 ? ,点 O 是角的顶点,射线 OA, OB 分别是角 ? 的终边、始边。 说明:在不引起混淆的前提下, “角 ? ”或“ ?? ”可以简记为 ? . 2.角的分类: 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角; 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 说明:零角的始边和终边重合。 3.象限角: 在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负轴重合,则 (1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。 例如: 30? ,390? , ?330? 都是第一象限角; 300? , ?60? 是第四象限角。 (2)非象限角(也称象限间角、轴线角) :如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属 于任何象限。例如: 90? ,180? , 270? 等等。 说明:角的始边“与 x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与 x 轴的正半轴重合” 。因为

x 轴的正半轴不包括原点,就不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点 的射线。
4.终边相同的角的集合:由特殊角 30 看出:所有与 30 角终边相同的角,连同 30 角 自 身 在 内 , 都 可 以 写 成 30 ? k ? 360
? ? ? ? ?

?k ? Z ?

的形式;反之,所有形如 从而得出一般规律:

30? ? k ? 360? ? k ? Z ? 的角都与 30? 角的终边相同。
S ? ? ? | ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z ? ,

所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合 即:任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数个周角的和。 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 5.例题分析: 例 1 在 0 与 360 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限 角? (1) ?120
?

?

?

(2) 640

?

(3) ?950 12?
?

解: (1) ?120 ? 240 ? 360 ,
? ? ?

所以,与 ?120 角终边相同的角是 240 ,它是第三象限角;
?

?

(2) 640 ? 280 ? 360 ,
? ? ?

所以,与 640 角终边相同的角是 280 角,它是第四象限角; (3) ?950 12? ? 129 48? ? 3 ? 360 ,
? ? ?

?

?

所以, ?950 12? 角终边相同的角是 129 48? 角,它是第二象限角。
? ?

例 2 若 ? ? k ? 360? ?1575? , k ? Z ,试判断角 ? 所在象限。 解:∵ ? ? k ? 360? ?1575 ? (k ? 5) ? 360? ? 225? , ∴ ? 与 225 终边相同, 所以, ? 在第三象限。
?

(k ? 5) ? Z

例3

写出下列各边相同的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ?360 ? ? ? ? 720 ? 的元素 ?
?

写出来: (1) 60 ;

? ? 解: (1) S ? ? | ? ? 60 ? k ? 360 , k ? Z ,

?

(2) ?21 ;
?

?

(3) 363 14? .
?

S 中适合 ?360 ? ? ? 720 的元素是
? ?

60? ? 1? 360? ? ?300? , 60? ? 0 ? 360? ? 60? , 60? ? 1? 360? ? 420?. ? ? (2) S ? ? ? | ? ? ?21 ? k ? 360 , k ? Z ? ,
S 中适合 ?360? ? ? ? 720? 的元素是

?21? ? 0 ? 360? ? ?21? , ?21? ? 1? 360? ? 339? , ?21? ? 2 ? 260? ? 699? ? ? (3) S ? ? ? | ? ? 363 14? ? k ? 360 , k ? Z ?
S 中适合 ?360 ? ? ? 720 的元素是
? ?

363?14? ? 2 ? 360? ? ?356? 46?, 363?14? ? 1? 360? ? 3?14?, 363?14? ? 0 ? 360? ? 363?14?.

§1.1.2、弧度制
(一)复习引入. 复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题: ①初中的角是如何度量的?度量单位是什么? ② 1°的角是如何定义的?弧长公式是什么? ③ 角的范围是什么?如何分类的? (二)概念形成 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是 60 进制,角是否可以用其它单 位度量,是否可以采用 10 进制? 1. (1)角的弧度制是如何引入的?

(2)为什么要引入弧度制?好处是什么? (3)弧度是如何定义的? (4)角度制与弧度制的区别与联系? 2.画图来探究: (1)平角、周角的弧度数 (2)角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关?

(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系? 3.角度制与弧度制如何换算?

360? ? 2? rad
1? ?

180? ? ? rad
1 rad = (

?
180

rad ? 0.01745 rad

180

?

)? ? 57?18?

归纳:把角从弧度化为度的方法是: 把角从度化为弧度的方法是: 一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 30° 90° 120° 0

150°

270°

? 4
0

? 3
0 /
0

3? 4

?

2?

例 1、把下列各角从度化为弧度: (1) 252 (2) 11 15 (3) 30 (4) 67?30 '

解:(1)

7 ? 5

(2) 0.0625 ?

(3)

1 ? 6
(3)1200?

(4) 0.375?

变式练习:把下列各角从度化为弧度: (1)22 ? 30′ (2)—210?

1 解:(1) ? 8
(1) ?

7 (2) ? ? 6
(2) 3.5 (3) 2 (4)

(3)

20 ? 3

例 2、把下列各角从弧度化为度:

3 5

? 4
(4)45 ?

解: (1)108 ? (2)200.5 ? (3)114.6 ? 变式练习:把下列各角从弧度化为度: (1)

? 12

(2)—

4? 3

(3)

3? 10
(3)54 ?

解: (1)15 ?

(2)-240 ?

弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一 正实数 零 负实数

正角 零角 负角

对应关系. 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式:

l ?| ? | ?r

(1) l ? ? R 2 1 (2) S ? (3) lR 2

因为 | ? |? l (其中 l 表示 ? 所对的弧长) ,所以,弧长公式为. 1 r (2) S ? ? R 2 扇形面积公式: (1)S ? .

l ?| ? | ?r

1 ?R 2; 2

说明:以上公式中的 ? 必须为弧度单位. 例 3、知扇形的周长为 8 cm ,圆心角 ? 为 2rad, ,求该扇形的面积。 解:因为 2R+2R=8,所以 R=2,S=4 变式练习: 1、半径为 120mm 的圆上,有一条弧的长是 144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。 答案:

6 5 1 , 而弧长不变, 则该弧所对的圆心角是原来的 2
2 倍。 .

2、 半径变为原来的

3、若 2 弧度的圆心角所对的弧长是 4cm ,则这个圆心角所在的扇形面积是 4cm2 4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦 AB 的长度为 3 , AB 所对的圆心角 ? 的弧度数为

2? 3



(三) 课堂小结: 1、弧度制的定义; 2、弧度制与角度制的转换与区别; 3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用; (四)课后检测 1.在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 3 : 5 : 7 ,求 A,B,C 弧度数。 答案:A=

? 5

B=

? 3

C=

7? 15
?

2.直径为 20cm 的滑轮,每秒钟旋转 45 ,则滑轮上一点经过 5 秒钟转过的弧长是多 少? 答案:

25? 2
2

3.选做题 如图,扇形 OAB 的面积是 4cm ,它的周长是 8cm ,求扇形的中心角及弦 AB 的长。

答案: ? ? 2, AB ? 4 sin 1

B

A O

§1.2.1、任意角的三角函数

一、复习旧知:初中锐角的三角函数是如何定义的? 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的 正弦、余弦、正切依次为 sinA ? , cosA ? , tanA ?
a c b c a . b

角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函 数重新定义。 二、学习新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点 P (除了 原 点 ) 的 坐 标 为 ( x, y ) , 它 与 原 点 的 距 离 为
r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么

(1)比值 叫做α的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; (2)比值 叫做α的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; (3)比值 叫做α的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; (4)比值 叫做α的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; 说明:①α的始边与 x 轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α的大小,只表明与α的终 边相同的角所在的位臵; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α,四个比值不以点 P( x, y) 在α的终边上的位臵的改变而改变大小;
x y x y
y x y x

y r

y r

x r

x r

③当 ? ? ? k? (k ? Z ) 时,α的终边在 y 轴上,终边上任意一点
2

?

的横坐标 x 都等于 0 , 所以 tan ? ? 无意义;同理当 ? ? k? (k ? Z ) 时, cot? ?
y r x r y x

x 无意义; y
y x

④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值 、 、 、 分 别是一个确定的实数, 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数, 以上四种函数统称为三角函数。 2.三角函数的定义域、值域

x y

函 数
y ? sin ?
y ? cos ?

定 义
R R



值 域
[?1,1] [?1,1]
R

y ? tan ?

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

注意: (1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与

x 轴的非负半轴重合.?
(2) α是任意角,射线 OP 是角α的终边,α的各三角函数值(或是 否有意义)与 ox 转了几圈,按什么方向旋转到 OP 的位臵无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α”的积.其余五 个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: (5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直 角三角形臵于平面直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重

合,一直角边与 x 轴的非负半轴重合,利用我们熟悉的锐角三角函数 类比记忆.? 3.例题分析 例 1.求下列各角的四个三角函数值: 三角函数值) (1) 0 ; (2) ? ; (通过本例总结特殊角的 (3)
3? . 2

例 2.已知角α的终边经过点 P(2, ?3) ,求α的四个函数值。

例 3.已知角α的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α的四个三角函数值。

4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y r 为负( y ? 0, r ? 0 ) ; x ②余弦值 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限 r 为负( x ? 0, r ? 0 ) ; y ③正切值 对于第一、三象限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限 x 为负( x, y 异号) .

①正弦值 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限

说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 练习: 确定下列三角函数值的符号: (1)cos 250? ;
tan 11? . 3

(2)sin( ? ) ;
4

?

(3)tan(?672? ) ;

(4)

例 4.求证:若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 , 则角 ? 是第三象限角,反之也成立。 5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即 有: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? , 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π间角 的三角函数值问题. 例 5.求下列三角函数的值: (1) cos
9? , 4

(2) tan(?

11? ), 6

三、小

结:

本节课学习了以下内容:
1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P?x, y ?,那么:

sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ?

y . x

2 2 2、 设点 A?x0 , y0 ? 为角 ? 终边上任意一点,那么: (设 r ? x0 ? y 0 )

sin ? ?

y0 x y , cos? ? 0 , tan? ? 0 . r r x0

3、

sin ? , cos? , tan ? 在四个象限的符号和三角函数线的画法.

4、 诱导公式一:

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? ,

cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270°的三角函数值.

?

? 6

? 4

? 3

sin ?

cos?

tan ?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 . 2、 商数关系: tan ? ?
sin ? . cos ?

§1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二:

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? ,

cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .

2、诱导公式三:

sin ?? ? ? ? ? sin ? ,

cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .

3、诱导公式四:

sin ?? ? ? ? ? sin ? ,

cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .

4、诱导公式五:

?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
5、诱导公式六:

?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1.正弦函数图象的画法. (1)画出 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象. 画函数图象的步骤是:第一步列表;第二步,根据表中每组 x,y 的取值一在直角 坐标系下找到相应的点; 第三步,用平滑曲线将所描各点连接. 此题函数定义域 为[0,2π ],所以表中自变量 x 可选择此范围内的特殊角,依次为 0, , ,









,π ,













,2π ,

然后求出每个特殊角的正弦值即可完成列表

(在完成此表时,当 x∈[π ,2π ]时,也可使用诱导公式 sin(π +α )=-sin α 来计算.) 根据此表在直角坐系下描出相应的点.再用平滑曲线连接.如图 5.

在这里应该注意以下两点: (ⅰ)在建立直角坐标系时,x 轴的刻度应以 π 为单位长取值,而 y 轴单位长 1 的选取应有所考虑.(1≈ )

(ⅱ)

在这里取近似值 0.7,

取近似值 0.8.

由此可见,这种描点法是对函数值取近似值后画的函数图象,不是准确图象,这 种画法也叫代数描点法. 2)画出 y=sin x 的图象. 请学生比较(1)和(2)两个小题: 这一点非常重要, 在函数三要素(即定义域, 对应法则, 值域)中, 定义域是基础, 是函数的决定因素之一.定义域不同,函数不同,函数图象也不同.但有区别也有 联系.这种联 系对函数图象的画法有什么影响呢? [0,2π ]R 的真子集.所以第(2)题当 x∈[0,2π ]时的函数图象就是第一题 的结果.所以面临的新问题实质上只需考虑 x∈(-∞,0)∪(2π ,+∞)时的函数 图象即可. 对 x∈(-∞,0)∪(2π ,+∞)的函数图象的思考可以分为 x∈(2π ,+∞)和 x∈(-∞,0)两部分.因为 sin(x+2π )=sin x,所以 x∈(2π ,+∞)时,sin x=(x-2π ),即 y=sin x, x∈[2π ,4π ]的图象是把 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象右移 2π 个单位长, y=sin x,x∈[4π ,6π ]的图象是 y=sin x,x∈[2π ,4π ]右移 2π 个单位长 的结果??依此类推下去,就可得到 y=sin x(x≥0)时的函数图象.下面只需考 虑 x<0 时,y=sin x 的图象.(请学生 思考.) 由于 sin(-x)=-sin x,所以 x≤0 时,y=sin x 的图象是 y=sin x(x≥0)的图象 关于原点中心对称的结果,它的理论根据是函数 y=f(x)与 y=-f(-x)之间图象变 换的特点. 这样我们就得到了 y=sin x,x∈R 时的完整的图象.

由此可见,画出 y=sin x 的图象关键是首先要画出 y=sin x 在[0,2π ]内的图 象.而 y=sin x 在[0,2π ]的图象有这样五个点很重要:(0,0),( ,1),(π ,

0),(

,-1),(2π ,0),其中(0,0),(π ,0),(2π ,0)是轴上点,(



1),(

,-1)分别是函数图象

的最高、高低点.所以这五个点是确定 y=sin x 图象的基本点. 因此,代数描点法也可简称为“五点法”,以后再画出 y=sin x 图象时,就可直 接使用五点法了(板书)

(“五点法”作图往往是在精度要求不太高时的作函数简图的方法.) 下面再学习一种函数图象的画法——几何描点法. 几何描点法是利用单位圆中的三角函数线来作图.先建立一个直角坐标系,在 x 负半轴上取一点 O1,以 O1 为心作单位圆,使单位圆整个位于 y 轴左侧.在单位 圆上以 x 轴为边画 的角终边并作出正弦线,将其平移至右侧横坐标为 处,

按这种方法,每取到一个角的这位置都将正弦线平移至右侧坐标系的相应位置

后,就可得到正弦数图象上的点.(如图 8)

用平滑曲线将各正弦线的端点连结.便可得到正弦函数图象.(如图 9)

再根据 cos x=cos(x-2π ),cos(-x)=cos x 可得到完整的 y=cos x 的图象.

当精确度要求不很高时,也可用“五点法”画出 y=cos x 的简图.五个基本点为 (0,1),( ,0),(π ,-1)( ,0),( ,1)其中(0,1),(2π ,1)为最高

点,(π ,-1)为最低点,(

,0),(

,0)为 x 轴上的点,如图 11.

方法 2:几何描点法.基本思路同正弦函数图象. 方法 3:平移变换法.

由于 cos x=sin(x+

),所以 y=cos x 的图象可以看成 y=sin x 的函数图象左移

π 2 个单位,即将 y=sin

的图象左移

个单位可得余弦函数图象.

其中方法 3 表明了正弦函数与余弦函数图象之间的关系. 3.课堂练习. 画出下列函数的图象. (1)y=2sin x (2)y=-cos x (3)y=sin x+1 (4)y=sin x+cos x,x∈[0,2π ] 解答过程如下:

(1)y=2sin x.先用“五点法”画出 y=sin x 图象,再纵向伸至 2 倍. (2)y=-cos 是把 y=cos x 图象作关于 x 轴的对称变换. (3)y=sin x+1 的图象可将 y=sin x 图象向上平移 1 个单位.

(4)y=sin x+cos x 可以先将函数解析式化简为 y=

sin(x+

).其图象可将

y=sin x 的图象左移

单位长,再纵向伸至

倍.

此题 y=sin x+cos x 是否还有其它作法?

y=sin x+cos x 还可化简为 y= 单位长,再纵向伸至 2 倍.

cos(x-

)那么就可把 y=cos x 图象右移



§1.4.2、正弦、余弦函数的性质 一、新知:周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ? ,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函 数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

; 复习:1.y=sinx

y=cosx 的图象 当 x?R 时,当 x?[0,2?]时 2.y=sinx y=cosx 的性质 定义域、值域(有界性)最值、 周期性、奇偶性、单调性

二、练习题: 1.已知函数 f (x)= 1 ? cos2 2 x ,试作出该函数的图象,并讨论它的奇偶性、

-?

-?
2

??

y 1 o

? 2

?

x

周期性以及区间[0, ]上的单调性。 解:f (x)=|sin2x| f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x) ?f (x)为偶函数
? 4

? 2

T=

? 2

? ? ]上单调递减 4 2

在[0, ]上 f (x)单调递增;在[ ,
? 2

1

注意:若无“区间[0, ]”的条件,则增区间为[ 减区间为[ 2.设 x?[0,
? ], 2 ? 2

k? k? ? , ? ] k?Z 2 2 4 k? ? (k ? 1)? ] k?Z ? , 2 4 2

f (x)=sin(cosx), g (x)=cos(sinx) 求 f (x)和 g (x)的最大值和

最小值,并将它们按大小顺序排列起来。 解: ≧在[0, ]上 y=cosx 单调递减, 且 cosx?[0,1] 在此区间内 y=sinx 单调 递增且 sinx?[0,1] ?f (x)=sin(cosx)?[0,sin1] 最小值为 0, 最大值 为 sin1 g (x)=cos(sinx)?[cos1,1] 最小值为 cos1, 最大值为 1 ≧cos1=sin(
? ?1)<sin1 2

?它们的顺序为:0<cos1<sin1<1

三、 1.已知△ABC 的两边 a, b , 它们的夹角为 C 1?试写出△ABC 面积的表达式; 2?当?C 变化时,求△AABC 面积的最大值。 解:1?
a C D b B c A

如图:设 AC 边上的高 h=asinC 2?当 C=90?时[sinC]max=1 ?[S△ABC]max= ab
1 2

2.求函数 y ?

cos x ? 3 的最大值和最小值。 cos x ? 3 6 cos x ? 3

解: (部分分式) y ? 1 ?

当 cosx=1 时 ymax=

1 2

§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数 的图象:

考纲要求:能画出 y=tanx 的图像,了解三角函数的周期性.,理解正切函数在区间



)的单调性.

复习回顾 1 正弦曲线是怎样画的? 2.. 正弦,余弦函数的性质。 讲授新课 导入新课:1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?若是,最小正周期是什么? 讲授新课 (一)作 y ? tan x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?
y

?

?
2

?
0
2

x

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。
y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

(3)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? 无穷多支曲线组成的。 (二)正切函数的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域: ? x | x ? (2)值域:R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

?
2

? k ? Z ? 所隔开的

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2

??? ?k ? z ?, x ? k? ? ? 时, tan x ?? ??
2

?

2 (3)周期性: T ? ? ;

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

?? ? k? 时, tan x ? ?? 。

(4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数; (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 ? ? 2 ? 2 ? (三) 、典型例题

y ? tan(2 x ? ) 3 的定义域、周期和单调区间。 例 1.求函数
解:函数的自变量 x 应满足:

?

, k ? Z, 3 2 k? 5 x? ? ? (k ? Z ) 2 12 即 。 ? 函数的定义域为 ? ? x x ? R且x ? k2 ? 5? , k ? Z ? . 12

2x ?

?

? k? ?

?

? ? ?? ? ? f ( x) ? tan(2 x ? ) ? tan ?2( x ? ) ? ? ? f ( x ? ). 3 2 3? 2 ? 由于 ? ? y ? tan(2 x ? ) 3 的周期为 2 。 因此函数 ? ? y ? tan x, x ? (? ? k? , ? k? )(k ? Z ) 2 2 由 是增函数。 ? ? ? ?? ? k? ? 2 x ? ? ? k? , k ? Z , 2 3 2 ? k? 5? k? ?? ? ?x? ? ,k ?Z 12 2 12 2 即 。

因此,函数的单调递增区间为

(?

?
12

?

k? 5? k? , ? )(k ? Z ). 2 12 2

例 2.不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小: (1) 与 ;

(2)





解: (1)≧

又≧

,在

上是增函数

?

(2)≧

又≧

,函数



是增函数,

?



课堂练习:1 求下列函数的定义域和周期,单调区间。 (1) y=tan2x (2)y=5tan

x 2

2 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小。 (1)tan 138
0

与 tan 143 ;

0

(2)tan(—

13? 17? )与 tan(— ) 。 4 5

§1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象 1、 能够讲出函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? A sin ??x ? ? ? ? b 的图象之间的 平移伸缩变换关系. 2、 对于函数:

y ? A sin??x ? ? ? ? b? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,周期 T ?
1 ?x ? ? ,频率 f ? T ? 2?

2?

?

,初相 ? ,相位

?

.
;周期是 。

问题 1:函数 y ? A sin(?x) 的振幅是

问题 2::函数 y ? A sin(?x) 的图像是由函数 y ? sin x 的图像怎么得到?

问题 3:画出函数 y=sin(x+ 列表

? ? ),x∈R,y=sin(x- ),x∈R 的简图. 3 4
描点画图:

x

? 3 ? sin(x+ ) 3
X=x+ x

? 4 ? sin(x– ) 4
X=x- 结论: (1)函数 y=sin(x+

? ),x 3

? 个单位长度而得到; (2)函数 y= 3 ? ? sin(x- ),x∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动 个单位长度而得到. 4 4 一般地,函数 y=sin(x+ ? ),x∈R(其中 ? ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有 点向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到. y=sin(x+ ? )与 y=sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换称
∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动 为相位变换.:

当堂检测
1.(1)y=sin(x+ (2)y=sin(x-

? )是由 y=sinx 向右平移 个单位得到的. 4 ? ? (3)y=sin(x- )是由 y=sin(x+ )向右平移 个单位得到的. 4 4 ? ? 2.若将某函数的图象向右平移 以后所得到的图象的函数式是 y=sin(x+ ),则原来的 2 4
函数表达式为( A.y=sin(x+ C.y=sin(x- )

? )是由 y=sinx 向左平移 4

个单位得到的.

? ) 4

3? ) 4

3.把函数 y=cos(3x+ 是( )

? )的图象适当变动就可以得到 y=sin(-3x)的图象,这种变动可以 4
B.向左平移

? ) 2 ? ? D.y=sin(x+ )- 4 4
B.y=sin(x+

? 4 ? C.向右平移 12
A.向右平移

? 4 ? D.向左平移 12 ? 4.将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向右平移 , 再保持图象上的纵坐标不变, 而横坐标变为原 3
来的 2 倍,得到的曲线与 y=sinx 的图象相同,则 y=f(x)是( )

? A.y=sin(2x+ ) 3 2? C.y=sin(2x+ ) 3

? B.y=sin(2x- ) 3 2? D.y=sin(2x- ) 3

5.若函数 f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

? 对称,则 a=. 8


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