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物理竞赛讲义八静电


讲座(一)
电势
在点电荷电场中,与场电荷 Q 相距为 r 处的电势为: U ? k

Q r

均匀带电球体, 球面内为等势体, 球面外各点的电势相当于球面上的全部电荷集中在球心 时的电势: 球面内: U ? k

Q R

r ? R ; 球面外各点的电势: U ? k

/>
Q r

r?R

场强
如图所示在无限大接地金属板右方距板 d 处有一正点电荷,电量为 Q,求金属板表面 P 点附近的场强大小(QP 垂于板面)(电象法) 。 解:这是一个按常规的求解思路很难解决的问题,P 点的场强应为点电 荷 Q 与板上感应负电荷在该处产生电场的叠加, 而学生不会计算板上感 Q 应电荷在 P 点的场强,所以,用现有公式去叠加也就无从谈。如果我们 注意到电场线与金属板表面垂直这一特点, 联想到等量异性电荷电场摸 型,如图,这样板上感应电荷在 P 点的电场,可等效地由图中–Q 在该 处产生的电场来替代,则很快可求出 P 点的场强为: E ? 2 k

Q 。 d2

10.如图 7(甲)所示,MN 为一原不带电的导体棒,q 为一点电荷,当达到静电平衡后, 导体棒上的感应电荷 在棒内 P 点处产生的场强大小为 E1, 点的电势为 U1, P 现用一导线将 导体棒的 N 端接地,其他条件不变(如图乙) ,待静电平衡后, 导体棒上的感应电荷在棒内 P 点处产生的场强大小为 E2,P 点 的电势为 U2,则可知:[ C ] A. E1 ? E2 、 U1 ? U2 C. E1 ? E2 、 U1 ? U 2 B. E1 ? E2 、 U1 ? U2 D. E1 ? E2 、 U1 ? U 2

1.如图所示,两带电量均为+Q 的点电荷相距 2L,MN 是两电荷连线的中垂线,求 MN 上 场强的最大值。 解析:用极限分析法可知,两电荷间的中点O处的场强为零,在中垂线MN处的无穷远处电 场也为零,所以MN上必有场强的极值点。采用最常规方法找出所求量的函数表达式,再 求极值。由图可知,MN上的水平分量相互抵消,所以有 M Q ? sin ? , E=2(E1sinθ )=2k 2

( L / cos? )

Q cos 2 ? cos 2 (2sin 2 ? ) 4 L 2 2 2 ∵ cos ? ? cos ? ? 2sin ? ? 2 E 2 ? 2k 2

2

N

∴ cos ? ? 2sin ? 、 tan ? ?
2 2

2 ,E有最大值为 2

Ema x ?

16 Q k 27 L2

2. 如图所示,半径为 R 的均匀带电圆环所带电量为+Q,圆心为 O,P 为垂直于圆环平 面的对称轴上的一点,OP=L,求 P 点的场强和电势。 r 解析:在圆环上取一小段长度 Δ L,带电量为 Δ Q,它在轴线 R P θ Ex 上任一点 x 处的场强为 Δ E,方向沿 x 与 Δ L 的连线上,如图所 O Ey E 示。 中轴线上某一点的场强为 Δ E 在 x 轴方向的分量 Δ Ex 之和。 ∵ ?E x ? ?E ? cos? ? k

?Q x ?Q ? x ? ?k 2 2 r r (x ? R 2 )3 / 2

(x=L)

∴ E?

? ?E

x

? (?Q1 ? ?Q2 ? ? ? ?Qn ) ? k ?

x Q? x ?k? 2 2 3/ 2 (x ? R ) (x ? R 2 )3/ 2
2

[ 或E ? k

q Q Q 由对称性,E 的垂直分量 Ey 互相抵消,其水平分 ?k 2 ?k 2 2 r nr n R ? L2

?

?

量 Ex 的矢量和即为所求。

E P ? nEx ? nk

Q Q L QL cos? ? k 2 ? ?k 2 2 2 2 2 n R ?L R ?L R ? L2 R ?L

?

2

?

?

?

?

?

3/ 2

]

水平向右 在无穷远处为零势能位置时,环上每点电荷对 P 点的电势为:

U0 ? k

q r

U P ? nU0 ? k

Q R 2 ? L2
A O P
/ / /

3.如图所示,两块无限大导电平面 OA、OB 相互垂直,整个平面接 地, 现将点电荷+q 置于距两平面均为 a 的 D 点, O 点附近 P 点 求 (距 D 点的距离为 2a )的电场强度。

D

B A O P D

解析: 为了使 OA 的电势为零, 引入一个点电荷 q1 , q1 =–q, 1 距 且 q / / OA 也为 a。为了使 OB 的电势为零,引入一个点电荷 q2 ,且 q2 =–q, C q1/ 距 OB 也为 a。但是引入 q2/ 后,为了使 OA 的电势仍然为零,则必 须引入第三个点电荷 q3/ ,且 q3/ = +q,q3/ 与 q2/ 关于 OA 对称,同理, q3/ 与 q1/ 关于 OB 对称,使 OB 的电势为零,如图所示。这样就把 q q3/ / / / 与感应电荷的作用转化为 q 与 q1 、q2 、q3 之间的作用,容易求出 P C 点的场强为 0。

q/ / 1

B D/ q2/

4.一无限长均匀带电细线弯成如图所示的形状,其中 AB 是半圆弧,AA/、BB/为平行直线, A /和 B /向右端无限延伸。求圆心 O 处的场强。 (竞赛指导 P277) A/ 解:在半圆弧左上方 1/4 取任意一小段圆弧 Δ L1,相应的在 BB/ A 上取线元 Δ L2。 O B/ B

设 Δ L1、Δ L2 在圆心所形成的场强分别为 Δ E1、Δ E2。半圆弧的半径为 R. ∵ ?L1 ? R ? ?? 同理: ?E 2 ? k ∴ ?E1 ? k

?Q1 ? ? ?L1 ? ? ?? ? ?k 2 2 R R R

?Q2 ? ? ?L2 ? (r 为 Δ L2 到圆心的距离) r2 r2

?L/2 ∵ ?L2 ? cos?

?L ? r ? ??
/ 2

R cos ? ? r

A Δ L1 O θ B Δθ Δ L2/

A/

?Q ? ? ?L2 ? ? ?? ?k? ∴ ?E 2 ? k 2 2 ? 2 R r r
∴ ?E1 ? ?E 2 方向相反,故圆心 O 处的场强为零。

θ Δ L2

B/

5.如图所示,在无限大金属板上方距板

3 a 处有一正点电荷, 2

Q

电量为 Q,求距 Q 为 a,距金属板为

3 a 的 P 点的场强大小。 2

3 a 2

a

P

3 a 2

解析:由于金属板上表面有感应电荷,其在上方产生的电场,等 效与一个虚设的“像电荷”–Q 的电场,+Q 与–Q 等量异号,并 关于板面对称。P 点的场强为+Q 与–Q 在该点产生的场强的矢量 和,如图所示。 +Q 与–Q 的间距为 3a , 与 P 点间距为 2a, –Q ∠+QP–Q=600

+Q E2 ― ―― ― ― –Q

P E

E1

Q ∵ E1 ? k 2 a

Q E2 ? k 2 4a
2 E12 ? E 2 ? 2 E1 E 2 cos1200 ?

∴P 点的场强大小: E ?

13kQ 4a 2

6.在半径为 R.的大球中,挖去半径为 R./2 的小球,如图所示。大 球余下的部分均匀带电,总电量为 Q,求距大球球心 O 点 r 处 P 点的场强。 解: (填补法)电荷的体密度: ? ?

O

r

P

Q
3 4 ? 3 ?R? ? ? ?R ? ? ? ? 3 ? ?2? ? ? ?
3

Q 整个大球的带电量为: ? ? ? ? ? R ?
/

4 3

8 1 / Q, Q // 小球的带电量为: ? Q ? Q ? Q 7 7

EP ? k

Q/ Q // kQ ?k ? 2 2 2 r 7r R? ? ?r ? ? 2? ?

? 4r 2 ? 8? ? 2? ? ?2r ? R ? ?

半径为 r 的球体内有一个半径为 r/2 的球形空腔,空腔位置如图所示,A 点在 O1O2 的连线上距球面上 B 点的距离为 L。若此球体(空腔部分除外)带均匀 B 正电,体电荷密度为 ρ,求: O1 O2 (1)带电量为 q 的正点电荷在 A 点所受的电场力。 (2)将该点电荷 q 由 A 点移到 B 点的过程中电场力所做的功。 解析:设想将带正电的球体刚好填补空腔,成为一个体密度为 ρ、半径为 r 的均匀带电体。 这样就可以将原空腔带电体在球体外激发的电场等效为一个体密度为 ρ、半径为 r 的均匀带 电体与一个体密度为–ρ、半径为 r/2 的均匀带电体所激发的电场的合电场。 (1)∵ E1 ? k

q A

Q 4 2 ? k ? ? ? ? ? r 3 / ?r ? L ? 2 3 ?r ? L?

E2 ? k

?r / 2 ? L?2

Q2

4 ?r? 2 ? k ? ? ? ? ? ? ? / ?r / 2 ? L ? 3 ?2? ? 2 ? 2 1 ? ? k ? ? ? r3 ? ? 2 2? 3 ? ?r ? L ? ?r ? 2 L ? ?
方向沿 O1A 向右。

3

∴ E A ? E1 ? E2 ?

? 2 ? 2 1 F ? qE ? ? ? k ? ? ? r 3 ? ? ?q 2 2? 3 ? ?r ? L ? ?r ? 2 L ? ?
(2)∵

? 4 / 3 ? ? ? ? ? r 3 4 / 3 ? ? ? ? ? r / 2 ?3 ? 1 ? 4 1 ? U A ? U1 ? U 2 ? k ? ? ? ? ? ? ? k ? ? ? r3 ? ? ? ?r ? L? ? r ? 2L ? ? 3 ? ? r ? L ? ? r ? 2L ? ? ? ? ? 4 / 3 ? ? ? ? ? r 3 4 / 3 ? ? ? ? ? r / 2 ?3 ? UB ? U ?U ? k ? ? ? ? ? ? k ? ? ? r2 ? ? r r/2 ? ?
/ 1 / 2

∴ W ? q?U A ? U B ? ? ? ? k ? ? ? r 2 q ?

?

? 4r r ? ? 1? ? 3?r ? L? 3?r ? 2L? ?

负值。

7.有两根竖直放置的均匀带电无穷长平行直导线,其相互间距离为 2d,其电荷线密度为 η。 有一质量为 m 的点电荷,其带电量为 q,将它置于与两平行直导线相 R M 等距离并与该两直导线共面的 O 点(O 点在两平行直导线所决定的平 O A C 面 p 内) 该点电荷开始时静止, 。 现使它在 p 平面内沿水平方向作微小 B x x d+x 偏离。试问该点电荷将做什么运动?你可利用如下近似公式: N S 1 ? 1 ? x ,当 x ?? 1 时。

1? x

解析:设 OC 为正方向,且 OA ? x 、 BA ? d ? x 、 AC ? d ? x 无限长直导线 RS 在 A 点产生的电场场强为: E A1 ? 无限长直导线 MN 在 A 点产生的电场场强为: E A 2 合场强:

2k ? ? ,方向向右 d?x 2k ? ? ? ,方向向左 d?x

EA ?

2k? 2k? 2k? ? 1 1 ? 2k? ?? x? ? x ?? 4k? ? ? ? ? ?? ??1 ? d ? ? ?1 ? d ?? ? ? d 2 x d?x d?x d ?1? x / d 1? x / d ? d ?? ? ? ??
4k? ? q x 与位移大小成正比,方向相反,作简 d2

故点电荷受的电场力为: F ? qE A ? ? 谐振动。 ∴ T ? 2?

m d 2m ? 2? k 4k? ? q

8.在 x 轴的 x=a 和 x=–a 两位置上,各有一个电量为 Q 的固定点电荷,在 x=0 处有一个电 量为 q、质量为 m 的自由小球,且 Q 与 q 同种电性。现使小球沿着 x 轴方向稍稍偏离 x=0 的位置,设小球只受电场力的作用,其他力均不计,试证明 q Q Q 小球在 x 轴上在 x=0 附近作简谐运动, 且求出小球的振动周 -a o a x 期。 证明:对小球:

∵ Fx ? F1 ? F2 ? kQq?

?

? ?a ? x ?

1

2

2 2 ?? ? ? ? ? 1 ? Qq ?? 1 ? ? 1 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?k ?a ? x ?2 ? a 2 ?? 1 ? x ? ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? ?? a? ? a? ? ?? ?

?? x ?? 1 ? Qq ?? a ?k 2 ?? a x2 1? 2 ?? a ??

? ? x ? ? 1? a ? ?? ? ? x2 1? 2 ? ? a ? ?

2

?? ?? ?? ?? ?? ??

忽略二阶小量,得:

2 2 Qq ?? x ? ? x ? ? Qq ?? 2 x x 2 ? ? 2 x x 2 ? ? Qq Fx ? k 2 ??1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? k 2 ??1 ? ? 2 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ?4 k 3 ? x a ?? a ? ? a ? ? a ?? a a ? ? a a ?? a ? ?

m ma 3 ??a ∴ T ? 2? k kQq
9.如图所示,A、B 为相距 2l 的两点,O 为 A、B 连线的中点。C 为 AB 垂直平分线上的一 C 点,它到 O 点的距离为 d,且 d<<l。在 A、B 两点上各固定着一 d 个带电量均为+Q 的点电荷。现在 C 点将一质量为 m、带电量为 O l B –q 带电质点由静止释放,忽略质点的重力。下面讨论该质点的 A l

运动情况。 解析:以 O 为原点,建立如图所示,的坐标系。根据两个同号电荷空间场的分布规律可知, 两个固定电荷所形成的电场,在 x 轴半轴上各点的场强方向均沿 x 轴正向 x,在 x 轴负半轴 上的各点的场强方向均沿 x 轴负向。因此,将带负电的质点从 x C 点释放后,它将在 O 点两侧往复运动。其恢复力等于两个固 C P 定电荷对其库仑力的合力。质点经过任意一点 P 时它的受力情 F F θ θ 况如图所示。其中 F 表示一个固定电荷对质点的库仑力。用 θ y O l A l B 表示 A、P 连线与 A、B 连线间的夹角。用 x 表示 P 点离开平 衡位置 O 的位移,则有:

F ?k

Qq (k 为静电力常数) l 2 ( ) cos ?

此时的回复力为: F回 ? ?2F ? sin ? ∵ d《l 式中 ∴ θ 角很小,故: cos ? ? 1 , sin ? ? tg? ?

x l

∴ F回 ? ?

2kQq ?x l3

2kQq 为常数,故带负电的质点从 C 点释放后,它将在 O 点两侧作简谐振动,振 l3
m ml 3 ? 2? k 2kqQ
/

幅为 d,周期为: T ? 2?

角频率为: ? ?

2? 2kQq ? T m l3

质点运动中的最大速度为: vm ? A ? ? d 最大加速度为: am ? A ? ? d
/ 2

2kQq m l3

2kQq ml 3

若以刚释放质点的瞬间为计时起点,则该质点 t 时刻的位移 x、速度 v、加速度 a 分别为:

x ? A / cos?t ? d ? cos

2kQq t, m l3

a ? ?am cos?t ?

2kQqd 2kQq cos t 3 ml m l3

v ? ?vm sin ?t ? ?d

2kQq 2kQq sin t 3 ml m l3

讲座(二)
电场中的导体
1.图示中,A、B 都是装在绝缘柄上的导体,A 带正电后靠近 B,发生静电感应。若取地球 电势为零,则: [ B ] A、导体 B 上任意一点电势都为零 B、导体 B 上任意一点电势都为正

C、导体 B 上任意一点电势都为负 D、导体 B 上右边电势为正,左边电势为负 2.如图,带正电的导体 A 位于原来不带电的金属球壳 B 的球心处。达到静 电平衡状态时:a、b、c 三点的电场强度大小Ea、Eb、Ec 由大到小的顶序 是 ;电势 Ua、Ub、Uc 由高到低的顺序是 (Ea>Eb>Ec, Ua>Ub>Uc ) 3.一内半径为 b、外半径为 c 的孤立导体球壳内有一接地的同心导体球 (半径为 a)如图所示。今使外球壳带电量 Q,若可近似地认为,穿过球 壳小孔的接地线的存在不会影响球及球壳上的电荷分布,试求球壳内、外 表面上的电荷分布及它们的电势。 解析:对孤立的带电导体,当静电平衡后为一等势体,电荷均匀的分布在 外表面。若球体内有空腔,且空腔内还有不带电的导体存在,它也不会影 响其内部电场分布与表面电荷分布。若内球接地,内球与球壳的电势不 在相等,内球与球壳间的场强也不在为零,使部分电荷由球壳外移到球 壳内表面,同时空腔内的球的表面带有感应电荷。此时球壳的内表面与 内球的外表面构成一电容器,其电容: C1 ?

c a

b

c a -Q2

b Q2 Q-Q2

ab 。 k (b ? a)

球壳外表面与无穷大的空间(或大地)间也具有电容,其电容为: C 2 ? 整个系统可看成 C1、C2 的并联,总电容为: C ? C1 ? C 2 ?

c k

c ab ? k k ?b ? a ?

并联电容器的总带电量为 Q,故球壳与大地间的电势差为: U ? Q / C ? Q / ?C1 ? C2 ? C1 电容器所带电量为: Q1 ? C1U ? C1 ?

Q ab ? ?Q C c?b ? a ? ? ab Q c?b ? a ? ? ?Q C c?b ? a ? ? ab

C2 电容器所带电量为: Q21 ? C2U ? C2 ?

4.边长为 L 的正三角形 ABC 的顶点上分别固定有 QA= +4q、QB= +q 和 QC= - 4q 三个相同 大小的带电金属小球(视为点电荷) .用另一个和它们完全相同的 A 不带电金属小球,依次和 C 球、A 球和 B 球接触后移走.再将一 个原来不带电的空心金属球壳放入该电场,并使其球心恰好位于 Δ ABC 的中心处.静电平衡后金属球壳上的感应电荷在球心 O 处 P O 的场强大小为______,球壳内另一点 P(如图)的场强为_______. C B [9kq/L2;0 ] 5.如图所示,平行板电容器两板间距离为 d,在两板间加一恒定电压 U,现让正极板接地, 并在两板间放入一半径为 R(2R<d)的绝缘金属球壳,c、d 是直径上的两端点,下述说法

中正确的是: [BC ] A.由于静电感应,c、d 两点的电势差为(2R U /d) B.由于静电感应,球心 O 处场强为零 C.若将球壳接地,再断开,然后拿走电容器,球壳上将带正电荷 D.若将球壳接地,再断开,然后拿走电容器,球壳上将带负电荷 6.如图所示,质量为 m、电量为 q 的小球以速度 v0 从 M 点垂直向上进入水平向右,场强为 E 的匀强电场中,到 N 点时的速度变为水平向右的 v0。则小球从 M 点到 N 点过程中速度的 最小值为:[ C ] 0 v0 N
45

A. v0 ; B.

v0 2v0 3v0 ; C. ; D. 2 2 2
/

mv0

Pt

v0 M

E

mvt

解:竖直向上运动的时间为: t ?

v0 qE v0 / ? ,在水平方向:∵ v0 ? at ? m g g

∴ Eq ? mg

故小球所受的合外力 F 与竖直方向的夹角为 450。设小球从 M 点开始经过时间 t 后,小球的 速度为 vt,由动量定理,合外力 F 的冲量等于小球动量的增量,故 Ft、mv0、mvt 三个矢量 构成一矢量三角形,则当 mvt⊥F 时,mvt 有最小值,vt 有最小值。 ∴ vt min ? v0 sin 45 ?
0

2 v0 2

如图所示,空心导体下方有一个带正电荷的带电体,当一α 粒子以速度 v0 水平飞入空心导 体时,α 粒子将做一段: [ C ] v0 A.向上偏转的类似平抛的运动 B.向下偏转的类似平抛的运动 + + + C.沿 v0 方向的匀速直线运动 D.匀加速直线运动 解析:静电平衡时,导体内部场强处处为零。 一个不带电的金属板,表面有很薄的光滑绝缘层,板与水平方向成θ 角位置。金属板上 B、 C 两点间的距离为 L,在金属板前上方的 A 点固定一个带电量为+Q 的点电荷,金属板处在 B +Q 的电场中,已知 A、B、C 三点在同一竖直平面内,且 AB 水平而 A AC 竖直,如图所示,现将一个带电量为+q(q<Q,设 q 对原电场无影 C 响) 可看作点电荷的小球, B 点无初速度释放, 、 由 如果小球质量为 m, θ 下滑过程中带电量不变, 求小球在 B 点的加速度和下滑到 C 点时的速 度。 解析:不带电的金属板处在+Q 的电场中,当达到静电平衡时,带电小球在 B 点时及沿金属 面运动时所受电场力与金属面垂直,故小球沿金属面做匀加速运动 ∵ mg sin ? ? ma

v 2 ? 2 a s ∴ a ? g sin ?

vC ? 2 g Ls i ? n

7.如图所示,质量为 m、带电量为–q 的小球系于长为 b 的绝缘细线的一端,另一端悬挂 在 O 点。开始时细线处于水平伸直状态,然后将小球由静止释放。设空间有水平向右的匀 强电场,其场强为 E=mg/q。 (1)试计算小球经多长时间后,第一次到达最低位置。

(2)设小球经过最低位置后,细线仍一直处于伸直状态,试计算细线向左达到水平位 置时,小球的速度多大? 解: (1)∵E=mg/q ∴ F?

?mg ?2 ? ?qE ?2
∴ t?

? 2mg
L vy v vx

小球由静止开始在合力的作用下沿 F 的方向做匀加速运动 ∵ L?

1 2 at 2

a?

F ? 2g m

2L 2b ? a g
1 mv 2 2

(也可由动能定理求出速度 v: qEb ? mgb ?

v ? 2 bg 由 v=at 求出时间)

(2) 因小球经过最低位置后, 细线仍一直处于伸直状态, 故小球经过最低点后 v x ? 0 , 以 vy ?

2 v ? 2bg 为初速度向左做圆周运动,由动能定理: 2
1 /2 1 2 mv ? mv y 2 2

qEb ? mgb ?

v / ? 2bg

8.如图所示,长为 L 的绝缘细线,一端悬于 O 点,另一端连接一质量为 m 的带负电小球, 置于水平向右的匀强电场中。在 O 点正下方钉一钉子 O/。已知小球受到 O 的电场力是重力的 1 3 。现将细线向右水平拉直后从静止释放,细线碰 E O/ / / 到钉子后要使小球刚好绕钉子 O 在竖直平面内做圆周运动,求 OO 的长 度。 解析: tg? ?

mg ? 3 qE

? ? 600

O

60

0

小球在重力和电场力的合力 F 的作用下,由 A 运动到 B,可知: Δ ABO 为等边三角形。在等效场中: FL ?

1 2 mv B 2

?? ①

在 B 点,细线拉紧,在细线拉力的冲量作用下,发向分速度 v2 变为 零,切向分速度: v1 ? v B cos30 ?
0

O/ D C 300 B v1 v2 vB

qE θ A F mg P

3 vB 2

?? ②

小球以速度 v1 沿圆弧 BC 运动碰到钉子后 以 O/点做圆周运动,在等效场中,过 O/作力 F 的平行线与圆相交于 D 点,即为小球做圆周运动的最高点,在 D 点: F ? m
2 vD ??③ R

过 O 做 OP⊥AB,取 OP 为零势能位置(由于重力、电场力均为保守力) ,则:

1 2 L 1 2 mv1 ? E ? ? mv D ? F [( L ? R) cos 30 0 ? R] 2 2 2
将 ①②③代入上式,得: R ?

(5 3 ? 3) L 12

OO / ? L ? R ?

(15 ? 5 3 ) L ? 0.528L 12

9.如图所示,在水平光滑绝缘的桌面上,有三个带正电的质点 1、2、3 位于边长为 L 的等 边三角形的三个顶点处,C 为三角形的中心,三个质点的质量皆为 1 L m,带电量皆为 q。质点 1、3 之间和 2、3 之间用绝缘的轻而细的 L 3 钢性杆相连, 3 的连接处为无摩擦的铰链。 在 已知开始时三个质点 C L 的速度均为零,在此后的运动过程中,当质点 3 运动到 C 处时, 2 其速度大小为多少?(19 届复赛第三题) 解析:以三个质点为系统,由对称性可知,开始时系统的重心在 C 点。由于系统的合外力 为零,动量守恒,由质心运动定理得:系统质心总位于 C 点保持不变。故当 v1 L 质点 1 运动到 C 点时,质点 1、2、3 位于同一条直线上,且三点的运动方向 v3 3 与此直线垂直,用 v1、v2、v3 表示其运动速度的大小,由对称性可知:v1= v2。 C L v2 由动量守恒: 0 ? mv3 ? 2mv 1 如图所示,在点电荷 q 的电场中,若以无穷远处为零势能位置,则将另一点电荷 q 从无 穷远处移至电场中某一点 P 时电场力做的功为:W=qUP。 q q r P ∵ P 点的电势: U P ? k

r



EP ? W ? q(U P ? 0) ? k

q2 , 即点电荷 q 在场电荷 q 形成的电场中系统所具有的电 r

势能为 k

q2 。即若以无穷远处为零势能位置时,间距为 L 的两个点电荷(系统)所具有的 r q2 q2 。故初始时系统的电势能为: EP ? 3k L L

电势能为 k

质点 1、2、3 位于同一条直线时,系统的电势能、总动能为:
/ EP ? 2 k

q2 q ?k L 2L
/ P

Ek ?

1 2 1 mv 3 ? 2 ? mv12 2 2

∵ E P ? E ? Ek

2kq 2 ∴ v3 ? 3Lm

10. (02 年高考科研题)有人设计了一种如图所示的机器:两根相互垂直的刚性绝缘细杆, 相交于杆的中点,位于竖直平面内,杆的端点上各有一带正电的小球 a、b、c、d,一水平 的固定转轴 PP/通过两杆的交点与两杆固定连接。转轴的一端有一皮带轮,通过皮带可带动 别的机器转动,两杆与其端点的带电小球处在一方向与 x 轴平行的静电场中,电场的强度大 小随 y 而改变,可表示为 Ey=E0y,在 y=0 处,即沿 x y b 轴,场强 E=0;在 y>0 的区域,场强沿 x 正方向,其大 P/ 小随 y 的增大而增大; y<0 的区域, 在 场强沿 x 负方向, a P c 其大小随∣y∣的增大而增大。由于杆端的带电小球受 x O 到静电场的作用,相互垂直的杆将绕固定轴转动,与 z d 轴连接的皮带轮通过皮带就能带动其他机器运转。

设计者断言他可实现一种不需要向它提供能量而能不断对外做功的永动机, 你认为这种机 器能实现吗?为什么?如认为不能实现,则指出其设计中存在何种错误,并说明理由。 解析:由能量守恒,一种不需要向它提供能量而不断向外做功的永动机是不可能实现的。理 由如下:假设空间有这样的电场,电场线平行,而间距不相等,如图所示。由于电场线与等 势面垂直,如 A1A2、A3A4,且平行,设间距 d,则: y y1 A1 A3 E1 ? E0 y1 E 2 ? E0 y 2 E1

U A11A3 ? E0 y1d
即: U A11A3 ? U A1 2 A4

U A1 2 A4 ? E0 y2 d
显然这样的电场是不存在的。

y2 A2 O

E2 A4 x

讲座(三) 电容器
描述孤立导体或两个导体容纳电荷性能的物理量。 1.孤立导体的电容:孤立导体带电为 Q 时电势为 U,理论和实践表明 Q 与 U 之间是正比关 系,Q/U 是一恒量,对不同导体恒量的值不同。 (1)导体的电容: C ?

Q 。C数值上等于导体间电势差增加 1V 时所需的电量,C 反映电 U

容器容纳电荷的能力。 (2)球形电容器的电容:由很薄的薄壁同心球壳组成,设其内外半径为 RA、RB,两球壳间 的介质为真空。若内球壳带电量为+ q(其均匀的分布在内球壳的外表面) ,同时在外球壳的 内、外表面有感应电荷- q 和+ q。 ∵U B ?

kq RB

UA ?

kq RA

∴ C?

R A RB q ? U A ? U B k ( RB ? R A )

若两球壳间的介质为 ε ,则: C ? (3)孤立导体表面的电势: U ?

? ? R A ? RB
k ( RB ? R A )

kQ a

2.无穷大介质中半径为 a 的孤立导体的电容:C ?

? ?a
k

(ε 球外无穷大介质的相对介电

常数) 3.电容器的电容:两个互相绝缘的导体带有等量异号电荷 Q 时,导体间的电势差为 U,理 论和实践 表明 Q 与 U 成正比,定义电容器的电容C=Q/U。 4.电容器的串、并联

电容器的性能有两个指标:电容量和耐压值。在实际工作中当这两个指标达不到要求时, 就需要将电容器的串、并联使用。 (1)电容器的并联: 并联:把几个电容器的一个极板联在一起,另一个极板也联在一起。并联电容器的等效 电容 C、电压 U、电量 Q 与每个电容器的电容、电压、电量的关系为: C = C1+ C2+ C3??+ Cn U=U1=U2=U3=?? Q=Q1+Q2+Q3+?? 通常利用电容器并联来增大电容。总耐压值与其中耐压值最底的电容器相同。 (2)电容器的串联: 串联:把几个电容器一个接一个地联在一起。串联电容器的等效电容 C、电压 U、电量 Q 与每个电容器的电容、电压、电量的关系为:

1 1 1 1 ? ? ? ?? ? C C1 C 2 Cn

U=U1+U2+U3??

Q=Q1=Q2=Q3??

电容器串联后电容减小,每个电容器上的电压只是总电压的一部分。通常利用串联电容 器来提高耐压,总耐压值大于每一个电容器的耐压值。 5.电容器的静电势能: 平行板电容器 (1)若在两极板之间插有两块电介质,厚度分别为 d1 和 d2,介电常数分别为 ε1 和 ε2,如图 所示,则可看成两个电容器串联: + d1 ε 1 1 4? ? kd1 4? ? kd 2 d2 ε 2 ? ? –

C

?1 ? S

?2 ? S

(2)若在两极板之间插有厚度分别为 d /的金属板,因金属板内部的场强为零,故可看成两 板的间距减小了 d /。 (3)电容器的静电势能(电容器的能量) : 对电容器充电的过程是将电池的化学能转化为电场(势)能的过程。 通过电池做功将电荷从 U 一极板上搬到另一极板上。 对一个电容器来说: ?W ? U ? ?q ,其图象为:

qU CU 2 q 2 ? ? 电场(势)能: E p ? 2 2 2C

0

q

1.一个导体 A 通过与另一带电导体 B 多次接触来充电,带电导体 B 的电荷在每次接触后又 都被充电到原来值 Q。 假定 A 在第一次碰触后聚集了电荷 q, 试问采用这种方法 A 能达到的 最大电荷量是多少? 解法一:导体 A、B 接触后为等势体,相当于两电容并联,它们所带电量之比值决定于它们 的电容量的比值(即它们的形状和大小) ,而与原带电量无关。这一比值可由第一次接触后 的电量求出: k ?

q 。 ?Q ? q ?

经多次接触后,A 的带电量将趋于最大值 q m ,而 B 的带电量趋于 Q。由于每次接触后

A、B 的带电量比值相同,故:

qm q ?k? ?Q ? q ? Q

∴ q m ? kQ ?

qQ ?Q ? q ?

解法二:设 q1 、 q2 、??和 Q1、Q2、??分别为第一次、第二次、??接触后的带电量, 则有:

q1 ? q 、 Q1 ? Q ? q 、

q1 q q q ?? 2 ? k ? ??(1) ?k ? ?Q ? q ? ?Q ? q ? Q1 Q2
∴ q2 ? q?1 ? q / Q ? ∴ q3 ? q 1 ? q / Q ? q 2 / Q 2

第一次接触后 B 重新充电到 Q,使 A、B 的总带电量为 Q+ q1,经第二次接触后:

Q2 ? q2 ? Q ? q1 ??(2) ∵ q1 =q
第二次接触后:

q3 q ? Q3 ?Q ? q ? qn q ? Qn ?Q ? q ?

Q3 ? q3 ? Q ? q2 Qn ? qn ? Q ? qn?1

?

?

第 n 次接触后:

∴ q3 ? q?1 ? ? 2 ? ? ? N ?1 ? ? q ? Q Q 1? q / Q Q ? ? ? 当 n ??时, q ? qm 最后有: q m ?

?

q

q2

q n?1 ?

1 ? ?q / Q ?

N

qQ ?Q ? q ?

2.三个相同的电容器连接成如图所示的电路,已知电容器 1 带电量为 Q,上板带正电,电 容器 2、3 原来不带电。 a b (1)若用导线将 a、b 连接,电容器 1、2、3 带电量如何? C1 和 C2 的上极板形成一个孤岛:∵ q1 ? q2 ? Q ?? ① ?? ② 2 1 d c 3

C2 的下板和 C3 的上极板也形成一个孤岛:∴ q2 ? q3 又因为电容器 2、3 串联后与电容器 1 并联: ∴

q1 q 2 q3 ? ? C C C

∴ q1 ? q2 ? q3

?? ③

由①②③得: q1 ?

2 Q 3

1 q 2 ? q3 ? Q 3

(2) 在上述基础上,断开 a、b,连接 a、c,待稳定后再断开 a、c,连接 a、b,电容器 1、 2、3 带电量又如何? 断开 a、b 后电容器 2 的带电量不变,C1、C3 并联: q1 ? q3 ?
/ /

1 1 (q1 ? q3 ) ? Q 2 2
// //

// 稳定后再断开 a、c,连接 a、b,设电容器 1、2、3 带电量分别为: q1 、 q 2 、 q3

C1 和 C2 的上极板形成一个孤岛:∴ q1 ? q 2 ? q1 ? q 2 ?
// // /

5 Q 6

?? ④

C2 的下板和 C3 的上极板形成一个孤岛(注意电量符号) :

1 1 1 // // / q3 ? q 2 ? q3 ? q 2 ? ( ? )Q ? Q ?? ⑤ 2 3 6
又∵
// // q1// q 2 q3 ? ? C C C
//

// // // ∴ q1 ? q2 ? q3

??⑥

由④⑤⑥得: q1 ?

11 Q 18

// q2 ?

2 Q 9

// q3 ?

7 Q (C2 的上极板带正电) 18 1 /// /// // // q 2 ? q3 ? q 2 ? (?q3 ) ? ? Q 6

(3)在上述基础上(连接 a、b,稳定后)再连接 a、d,电容器 1、2、3 带电量又如何? 此时 C1 被短路,C2、C3 并联:∵ ∴ q 2 ? q3 ?
/// ///

/// /// q 2 ? q3

1 q (C2 的上极板带负电) 12

3.在如图所示的电路中, (电源电动势 E 是常数)电容器 α、β、γ 的电容量分别为 C、C0、 C,其电键 K1、K2 的操作如下:①合上 K2,并将 K1 与“1”接通,经过 β α γ 足够长时间;②打开 K2,同时使 K1 改为“2”接通,经过足够长时间; C0 C C ③合上 K2,经过足够长时间。 (1)试分别求出在步骤①及步骤②结束后 K1 1 2 电容器系统的总能量; (2)试问在整个过程中电容器系统向外释放的总 K2 E 能量是多少?(3)试求出步骤③中电源作的功? 解析: (1)在步骤①中是 α 与 β 并联后再与 γ 串联,而在步骤③中是 β 与 γ 并联后再与 α 串联,因 α、γ 的电容相等,故在①③中的总电容 C / 相等。 ∴ C ?
/

C ?C ? C0 ? ??(1) 2C ? C0

在步骤①及③结束后电容器系统的电量也相等,设为 q0,则:

q0 ? q1 ? q3 ? C / E ?

C ? C ? C0 ? ? E ??(2) 2C ? C0
2 q0 C ?C ? C0 ? 2 ? ? E ??(3) / 2?2C ? C0 ? 2C

设 q1 、q2 、q3 分别表示步骤①②③结束后电容器的电量,E1、E2、E3 为所对应的各步 骤结束后系统的总电势能,则: E1 ? E3 ?

步骤①结束后各电容器正极板的带电量分别为 q? 1 、 q? 1 、 q? 1 ,所对应的电势能为 E? 1 、

E? 1 、 E? 1 ,则:
q? 1 ? q0
q?1 ? C ? q0 C ? C0 q? 1 ? C0 ? q0 C ? C0

q2 ? C ? ? ∴ E? 1 ? 0 ? 2C ? C ? C0 ? ? ?

2

E?1

q2 ? 0 2C0

? C0 ? ? ?C ?C ? ? 0 ? ?

2

E? 1 ?

2 q0 2C

将以上三式相加,可发现结果与(3)式相等,说明电容器系统的总电能量确等于系统中 各电容器能量之和。步骤①结束后电容器 β 与 γ 的下极板的电性相反,且 qβ 1 >qγ 1,所以在 步骤②中,部分 γ 上的电量将流到 β 上与之中和,最后两电容器的总电量为:

q ? 2 ? q? 2 ? q? 1 ? q ? 1 ?

C ? q0 C ? C0
? C ? q0 ? 1 C2 2 ? ? ? ? ? q0 3 ?C ?C ? 2?C ? C0 ? ? 2?C ? C0 ? 0 ?
2

这时 β 与 γ 的总能量为: E ? 2 ? E? 2

(2)所减少的电势能以热量的形式释放,故放出的热量为:

Q ? E? 1 ? E? 1 ? E? 2 ? E? 2 ?

CC0 E 2 2?C ? C0 ?

(3)在步骤③中电源分别对 α 、β 、γ 充电,由于 α 、γ 电容相等,故充电后系统的总 能量与 E1 相等,故电源所做总功为: W ? E3 ? E?1 ? E? 2 ? E? 2 ? 热量相等。 4.三个电容器 C1、C2、C3 和电源 E1、E2 连接,如图所示。其中 C1= C2=1/2 C3=2μF,E1=6V, E2=9V,求每个电容器所带电量。 A 解:C1 的下板、C2 的右板和 C3 的上板构成一孤岛,这个孤岛上的静 E1 S1 C1 电荷为零。 B O q1 ? q2 ? q3 ? C1U AO ? C2U BO ? C3U CO ? 0 C2 C3 S2 E2 利用环路的电压定律,得: C

?

?

C ? C0 E 2 ,与释放的 2?C ? C0 ?

U AO ? U BO ? E1 ? 6
得: U AO ? 9(V )

U BO ? U CO ? E2 ? 9 U BO ? 3(V ) U CO ? ?6(V )

q1 ? C1U AO ? 1.8 ?10?5 (C) q2 ? C2U BO ? 6 ?10?6 (C)

q1 ? C1U AO ? 1.8 ?10?5 (C)

5.一平行板电容器,电容 C0=300μ F,板极 A1 接在一个电源的正极,A2 接在另一电源的负 极,两电源的电动势均为 150V,另外一极均接地。取一厚金属板 B,其面积与 A1、A2 相同, 厚度为电容器两极间距离的 1/3,插入电容器两极板的正中央,如图 A1 B1 B2 A2 所示。 (1)取一电动势为 50V 的电源 E,负极接地,正极与金属板 B 联通。问此时由电源 E 输送到 B 的总电量是多少? (2)在上述情况下,左右平移金属板 B,改变它在电容器两极板 150V 150V 间的位置,直至 B 上电量为零,固定 B 板位置,然后切断所有电源,
50V

再将 B 板从电容器中慢慢抽出,求此时电容器两极板之间的电压。 (3)求抽出 B 板过程中外力所做的功。 解: (1)金属板 B 插入后,B 的左表面和 A1 形成电容器 C1,B 的右表面和 A2 形成电容器 C2。 板间的距离为原来的 1/3, C1、 2 的电容为原来电容器电容 C0 的 3 倍, C1=C2 =3C0。 故 C 即: E 接入后,C1 的电压:U1=(150–50)=100(V) B1 板上的带电量为: q1 ? ?C1U1 ? ?300C0 C2 的电压:U2=50–(–150)=200(V) 2 板上的带电量为: q2 ? C1U1 ? 600C0 ;B E 接入前,B 上的静电荷为零,故 E 输给 B 的电量为:

Q ? q1 ? q2 ? 300C0 ? 9 ?10?8 (C)
(2)如果移动 B 的位置,使 B1 和 B2 面上的带电量分别为–q 和+q,B 上净电荷为零。设 此时 A1B1 构成的电容器的电容为 C1/,A2B2 构成的电容器的电容为 C2/,则:

q ? C U1 ? C U 2
/ 1 / 2



C1/ U 2 ? / C2 U1

U1 和 U2 并不会因 B 板的移动而改变。设此时 A1、B1 的间距为 d1, A2、B2 的间距为 d2, 则:

d 2 C1/ U 2 200 ? / ? ? ?2 d1 C2 U1 100
此时 A1、A2 板所带电量为:

又 ∵ d1 ? d 2 ?

2 d0 3

∴ d1 ?

2 d0 9

d2 ?

4 d0 9

q1/ ? C1/U 1 ?

9 C 0 ? 100 ? 450 C 0 2

9 / / q 2 ? ?C 2U 2 ? ? C 0 ? 200 ? ?450C 0 4

切断所有电源后,A1、A2 板所带电量不变,抽出 B 板后,由 A1、A2 板构成的电容器上 的电压为: U ?

q ? 450(V ) C0

(3)B 板抽出前的总能量:

E1 ?

1 1 (q1U 1 ? q 2U 2 ) ? (450 ? 300 ? 10 ?12 ? 100 ? 450 ? 300 ? 10 ?12 ? 200 ) ? 202 .5 ? 10 ?7 ( J ) 2 2

1 1 qU ? ? 450 ? 300 ? 10 ?12 ? 450 ? 303 .8 ? 10 ?7 ( J ) 2 2 – 抽出 B 板过程中外力所做的功:W=E2–E1=101.3×10 7(J)
B 板抽出后的总能量: E 2 ? 6.如图所示,两平行金属板 A、B 之间相距为 d,把它们分别接在电动势为 E 的电源两极 上。两极中间静止着一油滴 P,其质量为 m,带电量为–q,在金属 A 板 A、B 之间再插入一块金属片,如图,油滴的平衡会不会破坏? P 油滴处于什么状态? B 解析:∵ U AB ? E ? U AC ? U CD ? U DB ? U AC ? U DB 插入一块金属片后,可视为 CAC、CDB 两个电容串联,则: P A C D B



CAC DB ? CDB AC
U AC ?

U DB CAC DB ? ? U AC CDB AC
U DB ? E ? DB AC ? DB

E ? AC AC ? DB

E AC ?

U AC E ? AC AC ? DB

E DB ?

U DB E ? DB AC ? DB

由于 AC ? DB ? d ,故油滴 P 所在位置的场强 EDB 大于未插入金属板时的场强,即:

qEDB ? mg ,向上做匀加速运动。

qEDB ? mg ? ma

a?

qEDB ?g m

7.如图所示,在板间电压为 U 的平行金属板之间,用长为 L 的绝缘细线悬挂一个质量为 m O 的带正电的小球,当小球静止于 A 点时,悬线与竖直方向成 45?,今把小 – + 0 B 0 球拉到 B 点,使悬线与竖直方向成 60?角,然后松手让小球运动,当小球 A 45 60 到达悬点 O 正下方 C 点时,悬线的张力为多大? 解析:小球在 B 点时,重力和电场力的合力与竖直方向成 45?,与悬线成 C 600,故小球在重力和电场力的合力的作用下在合力的方向做匀加速直线 O 运动,至 D 点绳绷紧,此时悬绳与竖直方向成 30?。设电场力为 F。 + – 0 B 1 2 A 30 0 0 0 0 ∵ mgL cos 30 ? cos 60 ? FL sin 60 ? sin 30 ? mv D

?

?

?

?

2



v D ? 2 gL 3 ? 1

?

?
2 gL 3 ? 1 cos 15 0
0

D C

小球到达 D 点的瞬间,沿绳的方向由于冲力的作用速度减为零,垂直于绳方向的速度不 变,则: v D ? v D cos15 ?
/ 0

?

?

由 D—C: mgL 1 ? cos 30

?

? ? FL sin 30

0

?

1 2 1 / mv C ? mv D2 2 2

2 / vC ? 2gL 1 ? cos300 ? sin 300 ? vD ? 2.64gL
2 vC L

?

?

C 点时: T ? m g ? m

T ? 3.64m g

如图所示,水平放置的平行金属板 M、N 的间距 d=0.20m,两板电压为 U,板间有一长度为 L=0.10m 的绝缘薄板 AB 能够饶端点 A 在竖直平面内转动。先使 AB 板保持水平静止,并在 -10 -10 AB 的中点放一质量 m=4.9×10 kg 、电量 q=9×10 C 的带正电的微 M + P 粒 P(重力忽略不计) 。现使板 AB 突然以角速度ω =100rad 沿顺时针 A B 方向匀速转动,为使板 AB 在转动中能与微粒 P 相碰,求加在平行金 N – – 属板 M、N 之间的电压的取值范围。

解析:设 P 经时间 t1 恰与 B 端相碰,则 AB 转过的角度 ? ? ? 3 ,如 A 图所示。即:

P θ

B

?
3

? ? ? t1
?

?? ① ?? ② B

h ? L sin
∴ U?

?

3

1 2 qU 2 at1 ? t1 2 2md

9 3 ? ? 2 mdL 9 3 ?1002 ? 4.9 ?10?10 ? 0.20 ? 0.10 ? ? 1.72 ?102V 2 2 ?10 ? q 3.14 ? 9 ?10

若 AB 转过的角度 ? / ? 2? ? ? 3 时追上微粒 P,且恰与 P 点相碰于 B 端,则:

7? ? ? ? t2 3

?? ③④

h ? L sin

7? 1 / 2 qU / 2 ? a t2 ? t2 ?? ④ 3 2 2md

∴ U?

9 3 ? ? 2 mdL 9 3 ?1002 ? 4.9 ?10?10 ? 0.20 ? 0.10 ? ? 3.5V 49? 2 q 49 ? 3.142 ? 9 ?10?10
2

∴ 3.5V ? U ? 1.72 ?10 V 8.两板相距 5cm 的空气平板电容器的容量为 4 微微法(pF) ,它的两极板平面被竖直固定 A B 在绝缘支撑物上。涂有导电漆的软木小球被长为 10cm 的一段丝线悬 挂。 丝线上端固定于 A 板上, 如图所示。 软木小球开始时和 A 板接触, 10 cm 它的质量 m=0.1g,半径 R=0.3cm。现将平板电容器 B 板接地,A 板与 电势为 6×104V 的范德格喇夫起电机作瞬时接触,然后断开。这时可 接起电 观察到软木小球离开 A 板运动到 B 板,然后再返回到 A 板。往返几次 5 cm 机 后,软木小球处于平衡位置,并且悬挂丝线与 A 板夹角为 θ 。 (1)解释软木小球为什么会这样运动并求出它最后的平衡位置; (2)计算平行板电容器的最终电势差; (3)求出软木小球在静止前来回摆动的次数 n; (4)作出表示电容器电势差与小球在两板间往返次数的函数关系的草图。 解析: (1)小球与 A 板接触后获得与 A 板同种电荷在电场力(同时受到重力作用)的作用 下离开 A 板向 B 板运动并接触,在接触过程中将正电核全部移至 B 板并于 B 板的感应电荷 中和,同时获得一定量的负电核, 在重力和电场力的作用下又返回 A 板与 4.7 cm B A 板接触,如此反复,最终导致电容器的带电量及两板间的电场强度均逐 A 渐减小,使小球从 A 板运动到 B 板过程中电场力做的功逐渐减小,但小 10 cm 球从 A 板运动到 B 板的过程中克服重力做的功却是定值,最后当小球摆 F 到与 B 板十分接近而又与 B 板不接触的位置,且小球速度恰减为零时, 小球就达到最后的平衡位置,此时小球的摆线与 A 板的夹角为 θ : 5 cm mg 4.7 0 sin ? ? , ? ? 28

10

(2)设小球最后达到平衡位置时电容器的电势差为 U,电场强度为 E,小球的带电量为 Q,

受到的电场力为 F,则: F ? mgsin?

U ? E?d ? F ?d /q

此时小球的带电量为 q 是小球在前一次与 A 板接触时获得的。由于小球的半径与两板的 间距小的多,可近似认为小球与 A 板接触相当于小球的电容 C /与平行板电容器并联。故在 前一次接触时,小球相对于大地的电势也为 U,则: 小球的电容: C ?
/

a 0.3 ?10?2 ? ? 0.33( pF) k 9.0 ?109

q ? U ? C / 得:

U?

k ? d ? m g ? tg? ? 8836V ) ( a

(3)设小球和板第一次接触后的带电量为 q1,则: q1 ? C /U 0 (U0=6×104V) 小球离开 A 板后,A 板的带电量为 Q1,两板间的电势差由 U0 减小到 U1,则: ∵ Q0 ? Q1 ? q1

CU 0 ? CU1 ? C /U 0

∴ U1 ?

U 0 (C ? C / ) C
? ? ? ?
2

?C ?C/ U 1 (C ? C / ) ? U0? 设小球和板第二次接触后 A 板的电势减小到 U2, U 2 ? 则: ? C C ? ?C ?C/ 小球往返 n 次后的电势差为: U ? U n ? U 0 ? ? C ? ? ? ? ?
n

将 U=8836V、C/=4 pF、C=0.33 pF 代入:n=21.8。若将 n=21 代入上式,则 U21=9527V, 此时小球达到最终平衡而又不与 B 板接触时与 A 板的夹角为 θ /, U ? 由

k ? d ? m g ? tg? 可 a

得:θ /=31.70>280 ,说明此时小球仍与 B 板接触,若 n=22,同理可得:U22=8728V, / θ /=27.40<280,故 n=22 为所求。

?C ?C/ (4)由 U ? U 0 ? ? C ?

? ? 可知两板间的电势差与摆动次数 n 成幂指 ? ?

n

(×105V) U 6

数关系,其函数关系如图所示。

0

22 n


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高中物理竞赛精品讲义之—程稼夫篇

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高中物理奥赛讲义(静电场)

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