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高二理科数学正弦定理课件刘凯.ppt


1.3.2 函数的奇偶性

教学目标:
1.了解奇函数与偶函数的含义. 2.会根据定义或图象判断函数的奇偶性 . 3.初步掌握单调性与奇偶性的综合应用 .

教学重点:
函数的奇偶性和图象对称性。

教学难点:
函数奇偶性和单调性的综合运用。

教学过程
一、实例引入 y y=x2
0 x y

y=|x|
x

0

(1)对于上述两个函数,f(1)与f(-1),f(2)

与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?
(2)这两个函数图象有什么共同特征?

一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴对称, 则f(-x)与f(x)有什么关系?反之成立吗?

f(-x)=f(x)
我们把具有上述特征的函数叫做偶函数,那 么怎样定义偶函数呢? 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个 自变量的值x,都有f(-x)=f(x)成立,则称 函数f(x)为偶函数.

考察下列两个函数:

(1) f ( x ) ? x ;
y

1 (2) f ( x ) ? . x y
o x 图(2)

o
图(1)

x

(1)对于上述两个函数,f(1)与f(-1),
f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系? (2)这两个函数的图象有什么共同特征?

一般地,若函数y=f(x)的图象关于原点对称, 则f(-x)与f(x)有什么关系?反之成立吗?

f(-x)=-f(x)
我们把具有上述特征的函数叫做奇函数,那 么怎样定义奇函数呢? 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个 自变量的值x,都有f(-x)=-f(x)成立,则称 函数f(x)为奇函数.

二、几点说明
(1)函数的奇偶性是函数在定义域内的
整体性质,而单调性则是它的局部 性质; (2)由奇偶性的定义可知,x和-x都在定 义域内,因此只有函数的定义域 关于原点 对称 时才有可能具备奇偶性.

例1 判断下列函数的奇偶性.

1 (1) f(x)= 2 ; 偶函数 x (2)f(x)=x3-2x; 奇函数

2 x + 2 x (3) f ( x )= x+1

2

非奇非偶函数

(4)f(x)=a(a是常数)偶函数

问题1:有没有既是奇函数又是偶函数的函数? 问题2:既是奇函数又是偶函数的函数有几个?

(4)函数的定义域为R,关于原点对称,

若a=0,f(x)既是奇函数又是偶函数;
若a≠0,f(-x)=a=f(x), 即f(x)是偶函数.

函数按奇偶性分类:
(1)是奇函数不是偶函数;
(2)是偶函数不是奇函数; (3)既是奇函数又是偶函数;

(4)既不是奇函数又不是偶函数
(非奇非偶函数)

练习1:课本P36第1题 答案: (1)偶函数; (2)奇函数;

(3)奇函数; (4)偶函数;

三、图象特征
设f(x)为奇函数,则有 f(-x)=-f(x);在f(x)图象上

y -f( a) a
-a
0

任取一点(a,f(a))那么,
点(-a,-f(a))也在函数f(x)的 x

图象上,所以:

奇函数的图象关于原点对称

f(a)

设f(x)为偶函数,则有 f(-x)=f(x);
在f(x)的图象上任取一 点(a,f(a))


y
f(a)



那么,点(-a,f(a))也在函 数f(x)的图象上,所以:

-a

O

a x

偶函数的图象关于y轴对称

奇函数与偶函数的性质: 1、奇函数的图象关于原点对称。
2 、偶函数的图象关于y轴对称。 3、如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数。

4 、如果一个函数的图象关于y轴对称,
那么这个函数是偶函数。 练习2:P35思考题;

四、应用举例
例1 已知y=f(x)是奇函数,当x<0 时,f(x)=x(1- x),求当x>0时,

f(x)的解析式.
解:设x > 0,则-x <0 , f(-x)=-x(1+x), 而y=f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x), 即-f(x)=-x(1+x), 所以 f(x)=x(1+x).

例2 已知f(x)是奇函数,在(0,+∞) 上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上 是增函数.
证明:设x1<x2<0,则-x1>-x2>0. ∵ f ( x )在( 0 ,+ ∞ )上是增函数, ∴f(-x1)>f(-x2). 又∵f(x)是奇函数,∴-f(x1)>-f(x2) 从而有f(x1)<f(x2),∴f(x)在 (-∞,0)上是增函数.

五、技能训练
1.y=f(x)(x∈R)是奇函数,则 它的图象必经过点( ) A.(-a,-f(-a)) B.(a,-f(a)) C.(a,f(-a)) D.(-a,-f(a)) 答案:D

2.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,

+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0, A 则( )

A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)<f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定

六、提高练习
1.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,

f(-2)=10,则f(2)=____ -26.

2.若f(x)是偶函数,其定义域
为R且在[0,+∞)上是减函数,则
3 f(- )与f(a2-a+1)的大小关系是: 4

3 2 f (? ) ? f (a ? a ? 1) 4

七:课堂小结
对于函数f(x),在它的定义域内,把任 意一个x换 成-x,(x,-x都在定义域内)。 ①如果都有f(-x)=-f(x),则函数f(x)叫做奇函数。 ②如果都有f(-x)=f(x),则函数f(x)叫做偶函数。

如果一个函数的图象关于原点对称,这个函数是奇函数。

如果一个函数的图象关于y轴对称, 这个函数是偶函数。

两个性质: 奇函数的图象关于原点对称。 偶函数的图象关于y轴对称。

八:课后作业
课本P39

A组:第6题;
B组:第3题. 新课标P28类型三的变式训练.



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