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函数y


2 010 年

第 49 卷

第6期

数 学通报

函数 y =

. b a X . 寸 .一
X

的性质应用教学设计
汪晓晶

(上海市松 江一 中

201600)

在 文[ 1] [2] 中 , 两位 老师 已经 对 函数 y 一a x

2

学 生学 情分 析 学 生学 习 了 函数 的奇 偶性 单 调性 及 二 次 函

十立( b笋 )的图像 性质进行 了系统的研究 , 读 X
一 , . , , 一 一 ,, _ , . b , _ _ ,, _ 后 我 很 受 启 发函 数 ,一 a! + 全 ( ? .?任 R+)的 图

数 在给 定 区间 的最 值 题 , 学 生 研 究 了 函数 y 一a x

像 与二 次 函数 的 图像 有许 多相 似 之 处 , 在教 学 实 践 中 , 我 将此 函数 的性 质 与 二 次 函 数 的性 质 进 行 类 比研究 , 通 过 四个 思维 环节 :( ) 特征 问题 图像 化 回单 调 问 题 特 征 化 曰 最 值 问 题 单 调 化 囚 不 等 式 方 程 问题 函数化 .在学 生经 历判 断 函数 的单 调 区 间 求 函数最 值 的思 维 过程 中感 受 函数 图像 的
直观性 (函数性 质 ) 的应 用 . 同 时在 研 究 参 数 范 围

+夸 (>0, ? > %y
ax + 立( ?< o , > o)
教 学重点 教学 难点
认识 3 3. 1 教 学过 程展 示

b ,

一 a X 十 一 La 尹 > U , b < 从U )

一 x + 立( < o , , < o)图

像并 归纳 了它们 的性质 . 利 用 函数 图像 的特 征解 有 关 问题 对含参 数方程 中的参数 的正确

的过程 中 , 渗透 函数 的思 想 分类 讨 论 的 思想 , 体
会 函数 变化 过 程 中 的不 变 性 , 深 化 学 生 对 函数 的 理 解. 1 教材 内容调整 教材 在 #函数 的运算 ? 一 节 中安排 了例题 画 出
, , 2 , , ~ ,二 , , ,: _ _, 一L , . ,_ _ . _ 函 数 , 一! + 全 的 图 像 (描 点 法%,虽 然 利 用 基 本 不 _

特征 问题 图像 化

北 京 200 8 年奥 运 会 体 育 图 标 以 篆 字 笔 画 为 基本 形 式 , 融合 了 中国古 代 甲骨 文 金 文 等文 字 的 象形 意 趣和 现 代 图 形 的简 化 特 征. 强 烈 的 黑 白对 比效 果 的巧 妙 运用 , 使北 京 奥 运 会 体 育 图标 显 示
出了鲜 明 的运 动特 征 优 雅 的运 动美 感 和 丰 富 的 文化 内涵 , 达 到 了 ? 形 ?与 ? 意 ?的和谐 与统 一

等式 可 以求 出它 的 值 域 , 但 是此 时学 生 还 没 有 学

以下 是 200 8 奥运 会 3 5 个体育 图标 中 的球 类 运动 , 你 能猜 出它 们分 别代表 哪些 运动 项 目吗 ?

习 函数单 调性 的知 识 , 同 时 此类 问题 又 是 基 本 不 等式 求 函数 最 值 问题 较 恰 当 的载 体 , 学 生 不 可 能
从 函数 的单 调性 角度 深刻 的体会 : 为 什 么利 用 基 本 不 等式求 函数 最值 时 , 一 定 要 检 验 等 号 是 否 成
立 的必 要性 .

呼 欠 了 鲍 了 片大 含 欢 绘 犬真 数 哈 大 丫 对 蛋煞 工 品

为 了使 学生 对 此类 函数 有 更 深 刻 的认 识 , 我 将 此部 分 的 内容 安排 在 函数奇偶 性 单调 性 二 次 函数 的最值 问 题 等 内容 之 后 来 学 习. 同时 我将 函

饭 冥 又多爪 之节
片 笋 沙 轰 K 气拼

数, 一 a! +全 的 相 关内 容 分 成 了 两 课 时: (! )函 数
b ~

b 二 , _ * _, _~

, ~ ~ 一

_.

,,

一~

,一 x +全 a 图 像 和 性 质( ?)函 数, 一 a! +全 性质
的应 用 , 本节 课是 第二课 时 .

~ ,_ & ~

, _

_

, ,_

. b

& ~

数 学通报

2010 年

第 49 卷

第6 期


第3顺

学 生可 以得 出 :

教师 引人 :体育运动图标可以显示鲜明的运
动特 征 , 函数 的图像 也能 体现 函数严 格 的单调 优 美 的奇偶 性 和深 刻 的 思想 性 , 达 到 ? 数 ?与 ?形 ?的 和谐 与 统 一 , 本 节 课 我 们 共 同 领 略 函数 图 像 的
魅 力. 3.2 单调 问题特 征化

1. > 0 时 , (一c o , 一石 ] ( 石 ,+ c o )为增 区 间, [一 石 , o) ( ,石 ) 为减区间;
2.a < 0 时 , (一c o ,0 ) 0 ,+ c ( o ) 为增 区 间 ;

. a 一0 时 , (一c 3 o ,0 ) U ( 0 ,+ c o )无单 调 性

教 师 设 问 : 在 函 数 , 一! + 圣! ?> 0, 中 ,随 着
a 值 由小到大的变化 , 对此函数的 图像会 有什 么 影 响 ? (利用 几何 画板 追踪 函数 轨迹 )
3 3

分别 指 出下 列 函数 的单调 区间
1. 函数 y - x + 兰 2. 函数 y 2

最值 问题 单调化

1求 函 数 , 一+士 二 ! ?2)的 最 值2 求 函
数 y一
X 十 ?

3. 函数 y - x + 三 (a 任R )

l

一 l 2



x簇 2)的 最 值

3求 函 ?, -一 +满 的 最 帷
.求 4 函 数 ,一 二 + 圣( > O, 在 区 间( ! ,2习 上
的最 小值 .

第1厄

第1魔

第2题

这样 的 习题安 排 可 以帮助 学生 先 复 习 函数 y

一 二 + 立 ( b 任R + )顶点的求法(利用基本不等 X
式 ) , 同时为最 后 一 题 的 分 类讨 论 作 好 准 备工 作 ,
第2 题

2010 年

第 49 卷

第6 期

数学通报

第3题 第 4题

奥运 会 的体 育 图 标 和 本 节 课 的 内 容 有 什 么 关系 ?
_ , ,_ . b , , _ ,L~ ! 幽致 y 一 ?x 十丁 L ? 井U ) 阴团家

这样 的习题安排有助于学生体会利用 函数 的 单调性可 以求函数的最值 , 第 3 问题学生最易 出 错 , 这样帮助学生认识为什么利用基本 不等式求 最值时一定要检验等号是 否成立 (第 1 题 与第 3 题是相同的).第 4 题与含有参数的二次函数讨论 标 准是 相 同的 , 从 而优化 学生 的认 识结 构 . 3.4 不等式 方程问题 函数化
一小 一寺 一八 ~ x 十 .一 1 户二 1 解
汉: !

2. 关 于 x

, L一 一 . 1 四刀程 x 十一 ~

, , , 一_ 一 ~ 左 L左七 胜 ) 怂 有 肝 ,

求实数 k 的取值范 围.
3. 关 于 x 的方程 x + 三 ~ 2 ( a > 0 ) 总有解 ,

a > 0 , b> 0

a< 0 ,b( 0

求实数 a 的取值范围.

a> 0 ,b< 0

a < 0 , b> 0

第1题
l 吐 _ J里~ ~ ~~~ _ _

3 .5

归 纳 总结 系统化

. . .~ . . 喇 卜 阅加 赚甲 .
一 一 . 州 州网 卜 ~ 创尹 ! 一
.l , .



-

.

-



- 一 . 一
一电 ~ . . l l 一

州 卜! ! 一- ~ ~ ~ ~ ~ 一一 . 一
创卜

. . 一
r .

~ - 叫卜~ 一
一r , 月. r 月月, 口口 , . , ~ , ~ ~ , . ~ , 尸~ ~
, , .r ~~ , .甲 ~~ ~ , r~~ , ~ . ~. . , l

.一
~ ~ le s ~

尸, . , , , 网r ~ ~ r ~ - r e s

!~ ! 门 ! . ! ~ ! . ! .! ~ 叫 户 一
司卜



I





-

.~

一 ~ ~ , .. . 户 , . 护 ,

. . 阴, 尸~ .

).,

1.

一 .?

了尸一 飞卜 一- 一 飞



第2题

作业 :

通 过本 组 习题 可 以使 学 生 体 会 到 函 数 不 等 式 方 程之 间 的内在联 系 , 学 生可 以答 出 问题 2 中

!函 数 ,一 二 +圣 ( > , 在( ! , ?+ 上 是 减 函
数 , 求 a 的取 值范 围. 2. 求 下列 函数 的值域
( 1 )y 一 x +
1 x 一 1

问题 3 有助 于学 生体会 利用 函数 图像 的特 征解 题 的优越 性. 教师设 问 :

! 的 取 值 范 围 实 质 上 就 是 函 数 , 一+专 的 值 域

(x ) 3)

数 学通报 教 学反 思

20 10 年

第 49 卷

第 6期

( 2% 函 数 , 一% +步

( 3% 函 ? 一 篇
4 )函数 y = (
l

本节课主要是通过函数的图像体会 函数性质 的应 用 , 在此 基 础上 加 深 学 生 对 含有 参 数 的 函 数 问题 的认 识.在 设计 之初 , 我认 为学 生 已经 系 统研
1

X 十 一 十 一 --- 二 尸 LX ! 沪 > U ) 1
X 十 ?

究了二次 函数 的相关 内容 , 而本节课所研究 的函 数又与二次函数有许 多相似之处 , 学生会很容 易 掌握本节内容.但是在实际教学 中 , 我发现 自己过 高的估计了高一学生对 函数知识的掌握程度 , 学

,_ _ , . 1 1 ( 5 )函 数, 一 x ?+ 盘一! 一 亩

.函 3 数, 一! +全 在区 间 仁 ! ,司 ( a> ! )上
_ , . 2 一 _ 一 尸_

的最小值.
一 _ ~ , 1 . ~ ,_ , , 1 ~ _ 4. 在区间J音 , 2 ]} 上 , 函数 f (x )一x +. 立与函 ~ 协~ % , L Z %~ )一 % 因~ J 一% 一 % x J 闪

生在值域问题 中还是会存在 困难.学生对 函数的 认识 是渐进 上 升 的 , 而对 含有 参 数 的 函数 问 题 的 理解更 需要 一个 过程 , 在今 后 的教学 中 , 我会 不 断 的寻 找机会 , 以学 生现 有知 识为 基础 , 安 排合 理 的
习题 , 优化学生的数学认识结构.
参考文献

数 g (x ) 一x z 十P x + q 在 同一 点 取 得 相 同 的最 小
一 ,求 , __ , g (x )在 , !}音 厂1 , 2 _门 . ~ . 一 值 函数 } 上最大值. ~ %一 J ~ ~ 一!一 L Z %一 J 一~ / 巨 %

哀京井





幽致 y 一 ? x 十丁 气 ? 托 称 ) 阴教 字说 1 r ,

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双 字通

.,

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5关 于二 的 不 等 式} 二 }+ 告 }X } > ?( e R)对
于任意的非零 实数 x 均成立 , 求 实数 a 的取值 范 围.
(上接 第 1 0 页)

讯 , 2005 , 11
, !_ 二 b . . . , 二 t , _ 张 中 发也 谈函 数, 一 a, + 全( a .?护_ )的 教 学 设计 数学 通

讯 , 2006 , 7

量 子计算 模型 的完备 问题 . 也 就是 说 量 子计 算 机

在任意子量子计算 模型 中 , 输人等价 于从 ? 真空 ?产生一组任 意子. 为 了方便 , 我们假设它们 全 部 在实 轴上 . 任 意 子 只 能成 对 产 生 , 所 以是偶 数 个. 随着任意子个数的增 加 , 任意子的基态个数 成指数增长. 如果我们要做 N 的素 因子分解 , 取 大约 f o gN 多 的非 交换 任 意子 使 它们 基 态 的 个数 大 于 N . 我们 的计 算 就从 第 N 个基 态 开始 . 计算 的过程就是任意子编制辫子的过程. 随着任意子 的运 动 , 任 意 子 的状 态 也 起 着变 化 . 回到 素 因子 分解 , 肖尔算 法 告 诉 我 们 怎 样 编 织 这 些 任 意 子. 当编 织结 束后 , 我们 把任 意 子一 对 一对 放 到 一起 进行 聚变 (fu s i o n ) , 观 测 什 么 样 的 新 粒 子 出 现. 我们重 复很 多 次 , 就 可 以知 道不 出现任 何粒 子 的 概率 , 即每一对都 回到真空的概率.聚变的结果 就是 任意 子量 子计算 机 的输 出.如 果 我们 作 N 的 素 因子 分解 , 那么 通 过这 个 概 率 , 就 可 以 找 到 N 的所有 素 因子 . 素 因子分解 不 是任 意 子量子 计算 机解决 的最 自然 的 问 题. 最 自 然 的 是 琼 斯 多 项 式 的在 t 扩! , :一3 , 4 , 5 , &值 的高 效逼 近 , 因为 聚变 的结 果的概率是由琼斯多项式的在 t一 肠! r, ;一3 , 4 , 5 , &值决定 的. 我 和朋 友 证 明拓 扑量 子计 算 机 和 别 的量子计 算模 型是 高 效 等价 的 , 而 且琼 斯 多项 式在 t一 2?/ r, 二 = 3 , 4 , 5 , &值 的高 效 逼近 是 一个

能高效解决的任何问题都可以化成是琼斯多项式 值的逼近. 微 软研 究 院 的 Q 部 ( M iero so ft S tation Q ) 主要研 究 拓扑量 子计算 . 我们 和世 界 许 多 大学 和 公 司的实验 室合 作 , 正 在 寻 找非 交 换 任 意 子. 在 这些 实验室 里 , 分数 量子 霍尔 效 应 电 子 系统 正 在 接近绝 对零度 的超 低 温下 和超 强 磁 场 里. 或 许 非 交换任意子正在编织着我们所期望的纽结. 如果 成 为现 实 , 这 一 切 将 给 人 类 带 来 科 技 的 革命 . 一 个 丰 富多彩 , 远 比经 典 世 界 奇 妙 的 的 量 子 世 界 正 等待着 新一代 去窥 探她 的奥妙 ! 想 更 多 了解 拓 扑 量子计算 , 我们推荐 ?环球科学 ?2006 年 5 月号的 文 章 : 量子计 算新 突破 .
后记

本文基于作者 2007 年夏天在扬州数 学之 星 夏 令营 上的报 告. 感谢 田刚 教授 的邀 请 和 苏 维宜 教 授 的盛情款 待. 由中国天元 基 金 支 持 的 数学 之
星夏 令 营 旨在 提高高 中学 生对数 学 的兴 趣 和全 面 认识 . 林 晓松 教授 生前积 极参 与 了夏令 营 的组 建

和活动 , 对她倾注了很多心血. 数学不但 是一 门 学 问 , 更 是一 种 文 化. 希 望 年 轻 一 代 数 学 家 不 但 有解 决难题 的才 华 , 更 有 发 现 新 问题 , 发 展 新 分 支 和新思想 的能力 . 重视 和推 动 数学 在 各 学 科 中 的应 用 , 为人 类造 福 , 让 数学 之树 常青 .


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