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2015-2016学年高中数学 3.1.1随机事件及其概率练习案 新人教A版必修3


第三章

概率

1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义以 及频率与概率的区别. 2.通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式. 3.通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率. 4. 了解随机数的意义, 能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行

模拟)估计概率, 初步体会几何概型的意义. 5.通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程. 1.概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义.教师应通过日常生活中 的大量实例,鼓励学生动手试验,正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性,并 尝试澄清日常生活中遇到的一些错误认识(如“中奖率为 1/1 000 的彩票,买 1 000 张一定 中奖”). 2.古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征:实验结果的有限性和每一 个实验结果出现的等可能性. 让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型. 教学中不要把 重点放在“如何计数”上. 3.鼓励同学们尽可能运用计算器、计算机来处理数据,进行模拟活动,更好地体会统 计思想和概率的意义.例如,可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的试验等. 知识结构

3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件及其概率
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1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念. 2.正确理解事件 A 出现的频率的意义;正确理解概率的概念,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与事件 A 发生的概率 P(A)的区别与联系. 3.利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.

基 础 梳 理 1.必然事件:在条件 S 下,________的事件,叫相对于条件 S 的必然事件. 答案: 一定会发生 2.不可能事件:在条件 S 下,一定________的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件. 答案: 不会发生 3.随机事件(事件):在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的 随机事件. 4.确定事件:______________统称为相对于条件 S 的确定事件. 答案: 必然事件和不可能事件 5.频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次 试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的________;称事件 A 出现的比例 fn(A)= __________为事 件 A 出现的频率,且 fn(A)范围是__________,对于给定的随机事件 A,如 果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个__________, 称为事件 A 的概率.

2

答案: 频数

nA 0≤fn(A)≤1 n

常数记作 P(A)

6.频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数

nA n 的比值 ,它具有一定的稳定性,总在某个__________附近摆动,且随着试验次数的不断 n
增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的__________,概率从数量上 反映了随机事件发生的可能性的大小. 频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事 件的概率. 答案: 常数 概率 例如:投掷一枚硬币正面向上的概率是:______. 1 答案: 2 自 测 自 评 1.下列事件: (1)同一门大炮向同一个目标发射多发炮弹,其中 50%的炮弹击中目标 (2)某人给其朋友打电话,却忘记了朋友电话号码的最后一个数字,就随意拨了一个数 字,恰巧是朋友的电话号码 (3)直线 y=2x+6 是定义在 R 上的增函数 (4)若|a+b|=|a|+|b|,则 a、b 同号 (5)奥巴马当选美国下届总统. 其中随机事件的个数为( D ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.12 个同类产品中含有 2 个次品,现从中任意抽出 3 个,必然事件是( D ) A.3 个都是正品 B.至少有一个是次品 C.3 个都是次品 D.至少有一个是正品 3.一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事件有( C ) A .(男,女)(男,男)(女,女) B.(男,女)(女,男) C.(男,男)(男,女)(女,男)(女,女) D.(男,男)(女,女) 4.同时投掷两枚大小相同的骰子,可以得到的试验结果个数为( ) A.6 B.12 C.18 D.36 解析:同时投掷两枚骰子,共有 36 种不同的结果. 答案:D 5.已知随机事件 A 发生的频率是 0.02,事件 A 出现了 10 次,那么共进行了 ________ 次实验. 答案:500

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基 础 达 标 1.下列事件中不是随机事件的是( C ) A.某人购买福利彩票中奖 B.从 10 个杯子(8 个正品,2 个次品)中任取 2 个,2 个均为次品 C.在标准大气压下,水加热到 100℃沸腾 D.某人投篮 10 次,投中 8 次 2.一个口袋内装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球,那么“从中任意摸出一 个球,得到白球”这个事件( B ) A.是必然事件 B.是随机事件 C.是不可能发生事件 D.不 能确定是哪种事件 3.下列说法不正确的是( ) A.不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1 B.某人射击了 10 次,击中靶心 8 次,则他击中靶心的频率为 0.8 C. “直线 y=k(x+1)过定点(-1,0)”是必然事件 D.势均力敌的两支足球队,甲队主场作战,则甲队必胜无疑 解析:势均力敌的两支足球队,甲队主场作战,只能说明甲队有主场优势,获胜的机会 大些,但不能确保获胜. 答案:D 4.一个盒子中仅有 2 只白球和 3 只黑球,从中任取一只球. (1)“取出的球是白球”是______事件. (2)“取出的球是黑球”是________事件. (3)“取出的球是白球或黑球”是______事件. (4)“取出的球是黄球”是________事件. 答案:(1)随机 (2)随机 (3)必然 (4)不可能 5.指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件. (1)如果 a<b,那么 a-b<0; (2)一个骰子连掷三次,三次都是 6 点; x (3)设 a>1,y=a (x∈R)是增函数; (4)抛一小球下落; (5)连抛两个骰子,点数之和大于 12; (6)我国东南沿海明年将受到 3 次台风侵袭; (7)某人开车经过 3 个路口都遇到绿灯; (8)三个小球全部放入两个盒子中,必有一个盒子的球多于另一个; (9)在常温下,焊锡熔化; 2 2 (10)在条件 A、B、C∈R 且 A +B ≠0 下,直线 Ax+By+C=0 不经过原点. 解析:当 a<b 时,a- b <0 一定成立,则(1)是必然事件; 一个骰子连掷三次,每一次都有可能出现 6 点,但不一定出现 6 点,故(2)是随机事件; x 当 a>1 时,y=a 一定是增函数,故(3)是必然事件;

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抛掷出的小球,受地球引力作用,一定下落,故(4)是必然事件(这里不考虑其他情形); 每一个骰子出现的最大点数为 6,故两颗骰子点数之和不 可能大于 12.故(5)是不可能 事件; 明年我国东南沿海受到台风侵袭次数可能为 0 次,1 次,2 次,3 次等,故(6)为随机事 件; 某人开车经过 3 个路口,可能遇到红灯,也可能遇到绿灯,故(7)为随机事件; 三个小球放入两个盒子中,无论怎样放法,总有一个盒子的球多于一个,故(8)是必然 事件; 在常温下,焊锡达不到熔点,不可能熔化,故(9)为不可能事件; 随着 C=0 与 C≠0 的变化,直线 Ax+By+C=0 可能经过原点,也可能不经过原点,故 (10)为随机事件.

巩 固 提 升 6.甲、乙、丙三人坐在一排三个位置上,讨论甲、乙两人的位置情况. (1)写出这个试验的基本事件空间; (2)求这个试验的基本事件总数; (3)写出事件“甲、 乙相邻”和事件“甲在乙的左边”(不一定相邻)所包含的基本事件. 解析:(1)从左到右记这三个位置为 1,2,3,i=“坐的座号是 i”,则这个试验的基 本事件空间是 Ω ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3 ,2)},其中第 1 个数表示甲坐 的位置号,第 2 个数表示乙坐的位置号. (2)这个试验的基本事件总数是 6. (3)事件“甲、乙相邻”包含 4 个基本事件: (1,2),(2,1),(2,3),(3,2). 事件“甲在乙的左边”包含 3 个基本事件: (1,2),(1,3),(2,3).

7.设集合 M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)是一个基本事件. (1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件?“a<3 且 b>1”呢? (2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件?“a=b”呢? (3)“直线 ax+b y=0 的斜率 k>-1”这一事件包含哪几个基本事件? 解析:这个试验的基本事件空间 Ω ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2, 2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4, 4)}. (1)“a+b=5”包含 4 个基本事件: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1). “a<3 且 b>1”包含 6 个基本事件: (1, 2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (2)“ab=4”这一事件包含 3 个基本事件:

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(1,4),(2,2),(4,1); “a=b”这一事件包含 4 个基本事件: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4). (3)直线 ax+by=0 的斜率 k=- >-1, ∴a<b,故包含以下 6 个基本事件: (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 8.某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次中 9 环,有 4 次中 8 环, 有 1 次未中靶, 试计算此人中靶的频率. 假设此人射击一次, 问中靶的概率约是多少? 解析:∵射击 10 次,∴n=10,有 9 次中靶,∴m=9. ∴中靶频率为 =0.9,故假设此人射击一次,中靶概率为 0.9. 1 9.如果某种彩票中奖的概率为 ,那么买 1 000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的 1 000 意义解释. 解析:不一定能中奖.买 1 000 张彩票,相当于 1 000 次试验,因为每次试验的结果都 是随机的,所以做 1 000 次试验的结果也是随机的,也就是说,买 1 000 张彩票有可能没有 一张中奖.也可能有一张、两张乃至多张中奖. 10.做投掷红、蓝两枚骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中 x 表示红色骰子出现的点 数,y 表示蓝色骰子出现的点数. (1)写出这个试验的所有可能的结果; (2)求 这个试验一共有多少种不同的结果; (3)写出事件“出现的点数之和大于 8”; (4)写出事件“出现的点数相同” . 解析:(1)这个试验的所有可能的结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1 ), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6); (2) 由(1)知这个试验的结果有 36 种; (3)事件“出现的点数之和大于 8”为{(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5, 6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; (4)事件“出现的点数相同”为{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.

a b

m n

6

1.随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试 验次数的增加, 事件 A 发生的频率逐渐稳定在区间[0, 1]内的某个常数上(即事件 A 的概率), 这个常数越接近于 1, 事件 A 发生的概率就越大, 也就是事件 A 发生的可能性就越大; 反之, 常数越接近于 0,事件 A 发生的可能性就越小. 2.概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量,根据随机事件发生的频率只能得 到概率的估计值. 素养.

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