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黑龙江省哈尔滨市南岗区2015-2016学年高一上学期调研数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨市南岗区高一(上)调研数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 1.已知集合 A={3,4,5},B={2,3},则 A∩B 等于( A.{3} B.{3,4} C.{3,4,5} D.? 2.与 y=x 是相同函数的是( A.y= B.y=x C.y=
0


>
) D.y=

3.设 f(x)= A.3 B.8 C.24 D.25

,则 f(5)的值为(



4.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( A.y=3﹣x B.y=x C.y=
x



D.y=﹣x

2

5.若 f(x)=(2a﹣1) 是增函数,那么 a 的取值范围为( A.a>1 B.a≥1 C.a< D. <a<1



6.方程 lgx﹣x=0 根的个数为( ) A.无穷多 B.3 C.1 D.0 7.偶函数 f(x)在区间[1,4]上为减函数,则它在区间[﹣4,﹣1]上( A.是增函数 B.是减函数 C.无法确定 D.不具备单调性 8.函数 y=x A.
﹣2



在区间上[ ,2]的最大值是( D.﹣4



B.﹣1 C.4
0.7 6

9.三个数 6 ,0.7 ,log0.76 的大小顺序是( 6 0.7 6 0.7 A.0.7 <log0.76<6 B.log0.76<0.7 <6 0.7 6 6 0.7 C.log0.76<6 <0.7 D. .0.7 <6 <log0.76



10.设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x ﹣1,则当 x∈(﹣∞,0) 时,f(x)=( ) 2 2 2 2 A.x +1 B.x ﹣1 C.﹣x +1 D.﹣x ﹣1

2

11. 如果函数 f (x) =x +2 (a﹣1) x+2 在 (﹣∞, 4]上是减函数, 那么实数 a 取值范围是 ( A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5
x
﹣x

2



12.若函数 f(x)=ka ﹣a (a>0 且 a≠1)既是奇函数,又是增函数,那么 g(x)=loga(x+k) 的图象是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13.函数 的定义域 .

14.设全集 I=R,集合 A={x|x≥2},B={x|x 15.函数 f(x)=x +x﹣1 的最小值是
|x| 2

},则(?RA)∩B= .



16.若方程 a =log2(x+2)+1 有且只有一个实根,则实数 a 的取值范围是



三、解答题(共 4 小题,满分 40 分) 17.已知函数 f(x)=log2(x﹣2)+ (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求 f(3) ,f(10)的值. 18.计算: (1) ( ) (2) +8 +lg ; +log2 . .

19.设函数 f(x)=



(1)证明:不论 a 为何实数 f(x)恒为增函数; (2)当 f(x)为奇函数时,确定实数 a 的值,并求函数 f(x)的值域. 20.已知:函数 f(x)对一切实数 x,y 都有 f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且 f(1) =0. (1)求 f(0)的值. (2)求 f(x)的解析式. (3)已知 a∈R,设 P:当 时,不等式 f(x)+3<2x+a 恒成立;Q:当 x∈[﹣2,2]

时,g(x)=f(x)﹣ax 是单调函数.如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A,满足 Q 成立的 a 的 集合记为 B,求 A∩?RB(R 为全集) .

2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨市南岗区高一(上)调研 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 1.已知集合 A={3,4,5},B={2,3},则 A∩B 等于( ) A.{3} B.{3,4} C.{3,4,5} D.? 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;集合. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={3,4,5},B={2,3}, ∴A∩B={3}, 故选:A. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.与 y=x 是相同函数的是( A.y= B.y=x C.y=
0

) D.y=

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】对应思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即可判断它们是同一函数. 【解答】解:对于 A,y= 数; 对于 B,y=x =1(x≠0) ,与 y=x(x∈R)的定义域不同,对应关系也不同,所以不是同一函数; 对于 C,y= 对于 D,y= =x(x≠0) ,与 y=x(x∈R)的定义域不同,所以不是同一函数; =x(x∈R) ,与 y=x(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函
0

=|x|(x∈R) ,与 y=x(x∈R)的对应关系不同,所以不是同一函

数. 故选:D. 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题目.

3.设 f(x)=

,则 f(5)的值为(



A.3 B.8 C.24 D.25 【考点】函数的值. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可.

【解答】解:f(x)=

,则 f(5)=5 ﹣1=24,

2

故选:C. 【点评】本题考查函数的解析式的应用,函数值的求法,是基础题. 4.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( A.y=3﹣x B.y=x C.y= D.y=﹣x
2



【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】对应思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】利用一次函数的性质、二次函数、反比例函数的性质可以对 4 个选项的函数单调性 进行判断,分析即可得答案. 【解答】解:根据题意,依次分析选项可得: 对于 A、函数 y=3﹣x 为一次函数,在区间(0,1)上是减函数,故 A 错误; 对于 B、函数 y=x 为一次函数,在区间(0,1)上是增函数,故 B 正确; 对于 C、函数 y= 为反比例函数,在区间(0,1)上是减函数,故 C 错误; 对于 D、函数 y=﹣x 为二次函数,其对称轴为 y 轴,开口向下,在区间(0,1)上是减函数, 故 D 错误; 故选:B. 【点评】本题考查函数的单调性的判断,解题时可以直接利用二次函数、一次函数、反比例 函数的性质进行判断. 5.若 f(x)=(2a﹣1) 是增函数,那么 a 的取值范围为( A.a>1 B.a≥1 C.a< D. <a<1 【考点】指数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用底数大于 1 时指数函数为增函数,直接求 a 的取值范围. 【解答】解:∵指数函数 y=(2a﹣1) 在 R 上是增函数 ∴2a﹣1>1. 解得 a>1, 故选:A. 【点评】本题考查指数函数的单调性.指数函数的单调性与底数的取值有关,当底数大于 1 时指数函数为增函数,当底数大于 0 小于 1 时指数函数为减函数. 6.方程 lgx﹣x=0 根的个数为( ) A.无穷多 B.3 C.1 D.0 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 方程 lgx﹣x=0 根的个数即函数 y=lgx 和 y=x 的图象的交点个数, 结合图象得到结论. 【解答】解:方程 lgx﹣x=0 根的个数,即函数 y=lgx 和 y=x 的图象的交点个数,如图所示: 由于函数 y=lgx 和 y=x 的图象无交点,方程 lgx﹣x=0 根的个数 0,
x x 2



故选 D.

【点评】本题主要考查方程根与个数的判断,体现了数形结合、等价转化的数学思想,属于 中档题. 7.偶函数 f(x)在区间[1,4]上为减函数,则它在区间[﹣4,﹣1]上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.无法确定 D.不具备单调性 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可. 【解答】解:∵偶函数 f(x)的图象关于 y 轴对称, ∴若 f(x)在区间[1,4]上为减函数,则在区间[﹣4,﹣1]上是增函数, 故选:A 【点评】本题主要考查函数单调性的判断,利用函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关 键.
﹣2

8.函数 y=x A.

在区间上[ ,2]的最大值是( D.﹣4



B.﹣1 C.4

【考点】幂函数的性质;幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 【专题】计算题. 【分析】先判断函数 y=x 值. 【解答】解:∵函数 y=x ∴函数 y=x
﹣2 ﹣2 ﹣2

在区间上[ ,2]的单调性,再求函数 y=x

﹣2

在区间上[ ,2]的最大

在第一象限是减函数, .

在区间[ ,2]上的最大值是 f( )=

故选 C. 【点评】本题考查函数的性质的应用,解题时要注意幂函数单调性的应用. 9.三个数 6 ,0.7 ,log0.76 的大小顺序是( 6 0.7 6 0.7 A.0.7 <log0.76<6 B.log0.76<0.7 <6 0.7 6 6 0.7 C.log0.76<6 <0.7 D. .0.7 <6 <log0.76
0.7 6



【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题. 【分析】由指数函数和对数函数的图象可以判断 6 ,0.7 ,log0.76 和 0 和 1 的大小,从而可 0.7 6 以判断 6 ,0.7 ,log0.76 的大小. 【解答】解:由指数函数和对数函数的图象可知: 0.7 6 6 >1,0<0.7 <1,log0.76<0, 6 0.7 所以 log0.76<0.7 <6 故选 B. 【点评】本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质,属基础知 识、基本题型的考查. 10.设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x ﹣1,则当 x∈(﹣∞,0) 时,f(x)=( ) 2 2 2 2 A.x +1 B.x ﹣1 C.﹣x +1 D.﹣x ﹣1 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】当 x∈(﹣∞,0)时,﹣x∈(0,+∞) ,此时 f(x)=﹣f(﹣x) ,代入可得答案. 【解答】解:∵设 f(x)是 R 上的奇函数,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x ﹣1, 又∵当 x∈(﹣∞,0)时,﹣x∈(0,+∞) , 2 2 ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[(﹣x) ﹣1=﹣x +1, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关 键. 11. 如果函数 f (x) =x +2 (a﹣1) x+2 在 (﹣∞, 4]上是减函数, 那么实数 a 取值范围是 ( ) A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(﹣∞,4]上是减函数”,知对 称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果. 【解答】解:∵f(x)=x +2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1) +2﹣(a﹣1) 其对称轴为:x=1﹣a 2 ∵函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数 ∴1﹣a≥4 ∴a≤﹣3 故选 A 【点评】本题主要考查二次函数的单调性,解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向, 这是研究二次函数单调性和最值的关键. 12.若函数 f(x)=ka ﹣a (a>0 且 a≠1)既是奇函数,又是增函数,那么 g(x)=loga(x+k) 的图象是( )
x
﹣x

0.7

6

2

2

2

2

2

2

A.

B.

C.

D. 【考点】对数函数的图像与性质;奇偶性与单调性的综合. 【专题】数形结合. 【分析】由函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数, 则由复合函数的性质,我们可得 k=1,a>1,由此不难判断函数的图象. 【解答】解:∵函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数 则 f(﹣x)+f(x)=0 即(k﹣1)a ﹣a =0 则 k=1 又∵函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是增函数 则 a>1 则 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1) 函数图象必过原点,且为增函数 故选 D 【点评】若函数在其定义域为为奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函 数,则 f(﹣x)﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公 共单调区间上:增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13.函数 的定义域 {x|x≠±2} .
x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】本题中的函数是一个分工型函数,故可令分母不为零,解出使分母有意义的自变量 的取值范围,此范围即函数的定义域. 2 【解答】解:由题设,令 x ﹣2≠0,解得 x≠±2 故函数的定义域为{x|x≠±2} 故答案为:{x|x≠±2} 【点评】本题的考点是函数的定义域及共求法,求函数的定义域即求使得函数的解析式有意 义的自变量的取值集合,其方法一般是令分母不为 0,偶次根式根号下非负,对数的真数大于 0 等.解题时要注意积累求定义域的规律.

14.设全集 I=R,集合 A={x|x≥2},B={x|x 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:∵A={x|x≥2}, ∴?RA={x|x<2},

},则(?RA)∩B= {x|x

,x∈R} .

则(?RA)∩B={x|x ,x∈R}, 故答案为:{x|x ,x∈R} 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
2

15.函数 f(x)=x +x﹣1 的最小值是 ﹣



【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题;配方法. 2 【分析】函数 f(x)=x +x﹣1 是一个二次型函数,且图象开口向上,故可用配方法求其最小 值. 【解答】解:由题意得 . 故函数 f(x)=x +x﹣1 的最小值是﹣ 故答案为﹣ . 【点评】本题考点是函数的最值及其几何意义,考查二次函数最值的求法,本题是在实数集 上求最小值,由函数特点可以选用配方法求最小值或者由函数的性质求最小值,配方法求最 值是二次函数求最值的常用方法. 16.若方程 a =log2(x+2)+1 有且只有一个实根,则实数 a 的取值范围是 (0,1] . 【考点】对数函数的图像与性质;根的存在性及根的个数判断. 【专题】分类讨论;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】 先将方程两边看成两个函数, 再通过分类讨论并结合函数图象确定参数 a 的取值范围. |x| 【解答】解:设 y1=a ,y2=log2(x+2)+1, 对 a 分类讨论如下: ①当 a=1 时,y1=1 为常数函数, 与函数 y2 的图象只有一个交点,符合题意; ②当 a>1 时,y1 为偶函数,图象关于 y 轴对称, 且 x<0 时,函数 y1 递减,x>0 时,函数 y1 递增, 因此,函数 y1 与 y2 的图象有两个交点; ③当 0<a<1 时,y1 为偶函数,如右图, 且 x<0 时,函数 y1 递增,x>0 时,函数 y1 递减, 因此,函数 y1 与 y2 的图象只有一个交点; 综合以上讨论得,a∈(0,1]. 故答案为: (0,1].
|x| 2

【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质,以及根的存在和个数的判断,体现了分类 讨论和数形结合的解题思想,属于中档题. 三、解答题(共 4 小题,满分 40 分) 17.已知函数 f(x)=log2(x﹣2)+ .

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)求 f(3) ,f(10)的值. 【考点】对数函数的图像与性质;函数的值. 【专题】计算题;转化思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)由对数式的真数部分大于零点,被开方数不小于 0,构造不等式组,解得函数的 定义域; (2)根据已知中函数的解析式,将 x=3 和 x=10 代入计算可得对应的函数值. 【解答】解: (1)由 得 x∈(2,+∞) ,

∴函数 f(x)=log2(x﹣2)+ (2)f(3)=log2(3﹣2)+ f(10)=log2(10﹣2)+ =

的定义域为(2,+∞)…(4 分) …(7 分)

=6…(10 分)

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质是解 答的关键. 18.计算: (1) ( ) (2) +8 +lg ; +log2 .

【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用指数函数和对数函数的性质化简. (2)把根式内部的代数式化成平方的形式,再结合对数函数的性质化简即可.

【解答】解: (1) ( ) (2)

+8

+lg

=

=27+4﹣2=29; =log25﹣2﹣log25=

+log2 =

﹣2. 【点评】本题考查了对数的运算性质,考查了有理指数幂的化简求值,是基础题. 19.设函数 f(x)= .

(1)证明:不论 a 为何实数 f(x)恒为增函数; (2)当 f(x)为奇函数时,确定实数 a 的值,并求函数 f(x)的值域. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数的值域. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)可用增函数的定义证明,设任意的 x1,x2∈R,且 x1<x2,然后作差,通分,根 据指数函数的单调性说明 f(x1)<f(x2)便可得到 f(x)为增函数; (2)f(x)在原点有定义,而 f(x)为奇函数,从而有 f(0)=0,这样可以求出 a=1,从而 ,根据 2 >0 便可得到 2 +1 的范围,进一步得到 f(x)的范围,即得出该函数的值域. 【解答】解: (1)证明:f(x)的定义域为 R,设 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则: ∵x1<x2; ∴ 又 ; ; = ;
x x

的范围,从而得出

∴f(x1)<f(x2) ; ∴不论 a 为何实数 f(x)恒为增函数; (2)若 f(x)为奇函数,则 f(0)=a﹣1=0; ∴a=1; ∴ ∵2 >0; ∴2 +1>1,
x x





∴﹣1<f(x)<1; ∴f(x)的值域为(﹣1,1) . 【点评】考查增函数的定义,根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程,作差 的方法比较 f(x1) ,f(x2) ,作差后是分式的一般要通分,奇函数在原点有定义时,在原点的 函数值为 0,以及指数函数的值域,根据不等式的性质求函数值域的方法.

20.已知:函数 f(x)对一切实数 x,y 都有 f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且 f(1) =0. (1)求 f(0)的值. (2)求 f(x)的解析式. (3)已知 a∈R,设 P:当 时,不等式 f(x)+3<2x+a 恒成立;Q:当 x∈[﹣2,2]

时,g(x)=f(x)﹣ax 是单调函数.如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A,满足 Q 成立的 a 的 集合记为 B,求 A∩?RB(R 为全集) . 【考点】抽象函数及其应用;交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】 (1)对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键,对自变量适 当的赋值可以解决该问题,结合已知条件可以赋 x=﹣1,y=1 求出 f(0) ; (2)在(1)基础上赋值 y=0 可以实现求解 f(x)的解析式的问题; (3)利用(2)中求得的函数的解析式,结合恒成立问题的求解策略,即转化为相应的二次 函数最值问题求出集合 A,利用二次函数的单调性求解策略求出集合 B. 【解答】解: (1)令 x=﹣1,y=1,则由已知 f(0)﹣f(1)=﹣1(﹣1+2+1) ∴f(0)=﹣2 (2)令 y=0,则 f(x)﹣f(0)=x(x+1) 又∵f(0)=﹣2 2 ∴f(x)=x +x﹣2 2 (3)不等式 f(x)+3<2x+a 即 x +x﹣2+3<2x+a 也就是 x ﹣x+1<a. 由于当 恒成立, 故 A={a|a≥1},g(x)=x +x﹣2﹣ax=x +(1﹣a)x﹣2 对称轴 x= 又 g(x)在[﹣2,2]上是单调函数,故有
2 2 2

时,

, 又 x ﹣x+1=

2

, ,

∴B={a|a≤﹣3,或 a≥5},CRB={a|﹣3<a<5} ∴A∩CRB={a|1≤a<5}. 【点评】本题考查抽象函数解析式的求解,考查赋值法求函数值、函数解析式的思想,考查 恒成立问题的解决方法、考查二次函数单调性的影响因素,考查学生的转化与化归能力,属 于中档题.


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