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【高考复习方案】(新课标)2015届高三数学二轮限时训练 第14讲 直线与圆


[第 14 讲

直线与圆]

(时间:5 分钟+40 分钟) 基础演练 1.直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( ) A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1 2.设点 A(2,-3),B(-3,-2).若直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则直线 l 的 斜率 k 的取值范围是( ) 3 A.k≥ 或 k≤-4 4 3 B.- ≤k≤4 4 3 C.-4≤k≤ 4 3 D.k≥4 或 k≤- 4 2 2 3.圆(x+2) +y =5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) 2 2 A. (x-2) +y =5 2 2 B. x +(y-2) =5 2 2 C. (x+2) +(y+2) =5 2 2 D. x +(y+2) =5 4.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45°,则 a 的取值范围是( ) 1 ? ? A. ?-∞,- ? B.(0,+∞) 2? ? 1? ? 1 ? ? C.?- ,0? D.?-∞,- ?∪(0,+∞) 2? ? 2 ? ? 5.使三条直线 4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4 不能围成三角形的 m 的值最多有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 提升训练 → → 2 2 6.过点 M(2,0)作圆 x +y =1 的两条切线 MA,MB(A,B 为切点),则MA·MB=( ) 5 3 5 A. B. 2 2 3 D. 2 2 2 2 7.直线 l 与圆 x +y +2x-4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点, 若弦 AB 的中点为(-2,3), 则直线 l 的方程为( ) A.x+y-3=0 B.x+y-1=0 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0 2 2 8.已知圆 C:(x-1) +y =1 与直线 l:x-2y+1=0 相交于 A,B 两点,则|AB|=( ) 2 5 5 A. B. 5 5 2 3 3 C. D. 5 5 2 2 2 2 9.实数 x,y 满足 x +(y+4) =4,则(x-1) +(y-1) 的最大值为( A.30+2 26 B.30+4 26 C.30+2 13 D.30+4 13 3 C. 3

)

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10.直线 y=kx+3 与圆(x-2) +(y-3) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 2,则 k 的 取值范围是( ) 3 3? ? A.[-1,1] B.?- , ? 3 3 ? ? 2 ? ? C.[- 3, 3] D.?- ,0? ? 3 ? 11.已知直线 x-y-1=0 及直线 x-y-5=0 被圆 C 所截得的弦长均为 10,则圆 C 的面 积是________. 2 2 12.已知 A(-2,0),B(0,2),实数 k 是常数,M,N 是圆 x +y +kx=0 上不同的两点, P 是圆 x2+y2+kx=0 上的动点.如果 M,N 关于直线 x-y-1 = 0 对称,那么△PAB 面积的最 大值是__________. 13.已知直线 l1:y=mx+1,l2:x=-my+1,其中|m|≤1,设 l1,l2 的交点为 P,它们 经过的定点分别为 A,B. (1)求△ABP 的面积 S=f(m); (2)求 f(m)的最大值及对应的直线 l1 和 l2 的方程.

2

2

14.已知定点 M(0,2),N(-2,0),直线 l:kx-y-2k+2=0(k 为常数). (1)若点 M,N 到直线 l 的距离相等,求实数 k 的值; (2)对于 l 上任意一点 P,∠MPN 恒为锐角,求实数 k 的取值范围.

15.如图 14?1 所示,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1,圆心 C 在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

图 14?1

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专题限时集训(十四) 【基础演练】 1.D [解析] 分别令 x=0,y=0,得 y=2+a,x= 2+a 2+a ,根据题意得 2+a= ,解

a

a

得 a=-2 或 a=1. 2.A [解析] 如图所示,当直线 l 从 PB 的位置旋转到 PA 的位置时,直线 l 与线段 AB 3 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k≥ 或 k≤-4. 4

3.A [解析] 圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),半径不变,所以所求圆的方程 2 2 为(x-2) +y =5. 4.D [解析] 当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90°,符合要求;当 a≠-1 时,直线 l a a a 1 的斜率为- ,只要- >1 或- <0 即可,解得-1<a<- 或 a<-1 或 a>0. a+1 a+1 a+1 2 1 ? ? 综上可知,实数 a 的取值范围是?-∞,- ?∪(0,+∞). 2? ? 5.D [解析] 要使三条直线不能围成三角形,只需其中两条直线平行或者三条直线共点 即可. 若 4x+y=4 与 mx+y=0 平行,则 m=4; 1 若 4x+y=4 与 2x-3my=4 平行,则 m=- ; 6 若 mx+y=0 与 2x-3my=4 平行,则 m 的值不存在; 2 若 4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4 共点,则 m=-1 或 m= . 3 综上可知,m 的值最多有 4 个. 【提升训练】 → → 6.D [解析] 由题意知,∠OMA=∠OMB=30°且|MA|=|MB|= 3,所以MA·MB= 3× 1 3 3× = . 2 2 7.C [解析] 该圆心为 C,则圆心 C(-1,2),若弦 AB 的中点为 P(-2,3),则 AB⊥PC, 易得 PC 的斜率为-1,故直线 AB 的斜率为 1,所以直线 AB 的方程为 y-3=x+2,即 x-y+5 =0. |1-0+1| 2 5 8.A [解析] 由题意可知圆心(1,0)到 l 的距离为 ,所以|AB|= . 5 5 9.B [解析] (x-1) +(y-1) 表示圆 x +(y+4) =4 上动点(x,y)到点(1,1)距离 d 2 2 的平方. 而圆 x +(y+4) =4 的圆心(0, -4)到点(1, 1)的距离为 26, 所以有 26-2≤d≤ 26 2 +2,所以最大值为( 26+2) =30+4 26. 10.A [解析] 由题意圆心坐标为(2,3),半径为 2,所以圆心到直线 y=kx+3 的距离 |2k| ? |2k| ?2 为 2 ,因为|MN|≥2 2,所以 4-? 2? ≥2,解得 k∈[-1,1]. ? 1+k ? k +1 11.27π [解析] 由题意可知,因为两直线平行,且圆心到两直线的距离相等,两直线
2 2 2 2

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|-1-(-5)| 间的距离 d= =2 2
2 2

2,所以圆心到直线的距离均为 2,于是可知圆的半径 r

= ( 2) +5 = 27,所以圆的面积为 27π . [解析] 由题意知,圆心?- ,0?在直线 x-y-1=0 上,∴- -1=0,∴k 2 ? 2 ? =-2,∴圆心坐标为(1,0),半径为 1.又直线 AB 的方程为 x-y+2=0,∴圆心到直线 AB 3 2 1 ? 3 2? 的距离为 ,∴△PAB 面积的最大值为 ×2 2×?1+ ?=3+ 2. 2 2 2 ? ? 13.解:(1)由已知得直线 l1 和 l2 经过的定点分别为 A(0,1),B(1,0),求得两直线的 ? 1-m2, 1+m2?,∴|AP|=|m-1|,|BP|=|m+1|.∵两直线互相垂直,∴S=1|AP||BP| 交点 P? ? 2 2 2 ?1+m 1+m ? 1+m 1+m 12.3+ 2 1 1-m 1-m = · . 2(|m|≤1),即 f(m)= 2 2 1+m 2(1+m ) 1? 2 1 ? 1 (2)由(1)知 f(m)= ? 2-1?≤ ,∴当且仅当 m=0 时 f(m)max= ,对应的直线 l1 和 l2 2?1+m 2 ? 2 的方程分别为 y=1 和 x=1. 14.解:(1)∵点 M,N 到直线 l 的距离相等,∴l∥MN 或 l 过 MN 的中点. ∵M(0,2),N(-2,0), ∴kMN=1,MN 的中点坐标为 C(-1,1). 又∵直线 l:kx-y-2k+2=0 过定点 D(2,2), 1 ∴当 l∥MN 时,k=kMN=1,当 l 过 MN 的中点时,k=kCD= , 3 1 综上可知,k 的值为 1 或 . 3 (2)∵对于 l 上任意一点 P,∠MPN 恒为锐角, |-k-1-2k+2| ∴l 与以 MN 为直径的圆相离, 即圆心到直线 l 的距离大于半径, d= > 2, k2+1 1 解得 k <- 或 k>1. 7 ?y=x-1, ? 15.解:(1)联立? 可得圆心 C(3,2),又因为半径为 1, ?y=2x-4, ? 2 2 所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-2) =1. 设过点 A 的切线方程为 y=kx+3, |3k+3-2| 则圆心到直线的距离为 =1, 2 1+k 3 解得 k=0 或 k=- , 4 所以所求切线方程为 y=3 和 3x+4y-12=0. (2)设点 M(x,y),因为|MA|=2|MO|, 2 2 2 2 所以 x +(y-3) =2 x +y ,即 2 2 x +(y+1) =4. 又因为点 M 在圆 C 上, 2 2 所以圆 x +(y+1) =4 与圆 C 相交. ? 12? 2 2 设点 C(a,2a-4),两圆圆心距满足 1< a +(2a-3) <3,所以 a∈?0, ?. 5? ?
2 2

? k

?

k

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