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一道高考试题的探究与推广


4 2  

数 学 通讯 — — 2 O 1 O年 第 3期 ( 上半月)  

? 专论荟萃 ?  



道 高考 试 题 的探 究与 推广 
王国涛  
( 湖 北 省 孝 感高 中 , 4 3 2 1 0 0 )  

题目
a  

/>,,

( 2 0 0 9 年 北京 高考卷 1 9 题)已知双 曲  
D。  

定理 1   设 双 曲线 C:   一y Z
,,



1( 6> n>  

线 C:   一y Z :1 ( 口> 0 , b >0 ) 的离心率 为  , 右 
准线方 程为 z:   .   ( 1 ) 求双 曲线 C的方 程 ;   ( 2 ) 设直线 z 是 圆 O: z   +y  一 2上 的动 点 
P( x 。 , y 。 ) (   。 y 。 ≠O ) 处 的切线 , z 与双 曲线 C交于 

O ) , 直线 z 是 圆 0: z 。+ y 。一 r 2 ( r> O )上 动 点 

P( x o , Y o ) (   。 Y 。 ≠O ) 处 的切线 , 且z 与双曲线 C交 
于不 同的两点 A、 B, 则 /A OB 一 9 0 。 的 充要 条件 
是 r z一   .  

探究 2   上述性 质对 于椭 圆  +  y -一 1 是否 
盘   0。  

不 同 的两点 A, B, 证明:  A O B 的大小为定 值.  
探究 1   上述双 曲线 C中 , a 。 , b 。 与圆0中r 。  

成立 , 若 成立 , n   , b 。 ,   又应 满足什 么条件 呢?  

经过 探 讨 可知 : 在 运算 过 程 中 仅将 双 曲线 中  一a 。 换成 + n   , 其 它都没 变 , 因此 r z 一  
是 得到下 述性质 :  
a。十 6  

满 足什么条件 时 ,  A O B 的大小 为定值 9 O 。 .  
设 圆 0: 3 7 。 +y 。一 r 2 ( r> 0 )上 一 点 P( x 。 ,   y 。 ) ( z 。 y 。≠ O ) , 则过 P ( x 。 , y 。 )的切线方 程为 o z  

, 于 

+y 。 y— r 。 , l 与 双 曲 线 C 的 交 点 为 A( z   , y   ) ,  
B( x2 , y z ),  

定理 2   设椭 圆 c:   x z 丁   y 2= 1 ( 口> 6> o )

,  

由 x o x ̄ Y o Y= r 2 , 由   z   消去  去  得 :  
。 6 2 ( 6   Y  ~ a 2 z   ) z 。 +2 a   r 2 z 0  — a   T . 4 一a 2 b 。 Y  


直线 z 是圆 0: z   +y 。: r 2 ( r >0 ) 上动 点 P ( x 。 ,   Y 。 ) ( z 。 y 。 ≠O ) 处 的切线 , 且z 与椭 圆 C交于不 同  的两点 A、 B, 则  A 0 B= = : 9 0 。 的充 要条件是 r 2 = 
口0 b 。  

0.  

干  ‘  
利用 定理 2 , 可很 快 解 出 2 0 0 9年 山东 高 考 卷 
+ z一  - -2   a Z   r  ̄   x o   ① 
2 2题 :  

于 是 

设 椭 圆 E:   +   =1 ( Ⅱ , b >o ) 过 M( 2 , √ 2 ) ,  
口 

z一  一 

② 

N( √ 6 , 1 ) 两点 , 0为坐标 原点 .  

- o X.  


一  z   +y l   y 2  
( r 。一  o z 1 ) ( r 。一  o z 2 )  

( 1 )求椭 圆 E的方 程 ;   ( 2 )是否存在 圆心在原 点 的圆 , 使得 该 圆的任  意一条切线 与椭 圆 E恒 有两个 交点 A、 B, 且  上 

一 一  

( z  + Y   ) zl z2 ~z o r   ( z1 +z 2 )+ r  

- o 37 若存在 , 写出该圆的方程 , 并求 I 蕊 l 的取值 
范围; 若不存 在 , 说 明理 由.   简析  由定理 2 易知: X 0 Y 。 ≠0 时, 存在 厂 卫 = 
一  

y j   注意 到  +y  — r 。 ,  
故  .   一0  

’  

8 符合题 意 ;  

甘 z 1  2 一 z o ( z 1 + z 2 )+ r 。一 0 .  

将 ①、 ② 代 入并整 理得 : r 2一 

.  

工 。一 0或 j , 。 一 0时可单独 验证.  
探究 3   在 抛物线 中是否也 有类似 的性质 ?  
( 下转第 4 4页)  

于 是得到如 下性质 :  

4 4  

数 学 通讯 一一 2 0 1 0年 第 3期 ( 上 半 月)  

? 专 论 荟革 ?  

综合( 1 ) 、 ( 2 ) 、 ( 3 ) 、 ( 4 )可知 , 命 题成 立.  

≤ 2 ) , 则 

显然 , 文[ 1 ]中所 涉及 的不 等式 , 仅仅 为命 题 
中的( 1 ) 、 ( 2 ) 之 特例.   值得 一提 的是 , 利用 上 述命题 , 可 以很方 便地 

志 、   + 志 ≤   、  ‘ ?  
利用命题 ( 1 ) , 即可得 
—.   一 + 
√ l十 z 

解 决一些 与之有关 的不等式 问题.  
例1 ( 《 数学通报 ) ) 2 0 0 3 年第3 期第1 4 3 5号数 

≤ — 

.  

 ̄ /1十 Y  

、 /  十 i  

学 问题 ) 若口 , b >0 , 则 
+ 

还可 以更 进一 步讨 论 以下 结论的正 确性 :   已知  , Y ,  为正 实数, 且 x y z= = :  。 (  为 定 

分 析  问题 等价于证 明 :  
_  + _  ≥ 1 ,    ̄ / 1 +z    ̄ / 1 +y  

志 + 志 + 志 挪 么  
( 1  O <  5  l J 1 < £ ≤ 斋  
( 2 ) 若  5<  < 8 则 1 <£ <2 ;  


其 中 z, Y> 0 , x y= 9 .  

利 用命题 ( 3 ) , 得 

志 . 雁 + ’   志 ≥   师  ?  
即 志 十 志  ?  
例2 ( 《 数 学通报 》 2 O O 7 年第4 期第 1 6 6 3 号数 
学 问题)设 口 , b >0 , 0<  ≤ 2 , 求证 :  
+  , ,   2  

( 3 ) 若  ≥ 8 , 则 

≤ < 2 ’  

有 兴挥 的 读 者 不 妨 给 出其 探 究 过 程 .  

参 考文献 :  
[ 1 ]   袁合才 , 辛艳辉. 两个优美不等式 的简证. 数学通讯 
上半 月 刊 , 2 o o 9 ( 1 1 、 1 2 ) .  



‘  

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —1 1 ~1 1 )  

分析  问题等价 于 : 若 X,  > 0 , x y— 。 ( O < 

( 上接 第 4 2页 )  

故 

?  

= = = 0 V =  ̄ y 。 y  一一 4 户   ,  
,  

不妨 设抛物 线方程为 Y   一2 p x( 户> O ) , 圆 0:   十  =   上一点 P ( x 。 , Y 。 ) ( z 。 Y 。 ≠O ) 处 切线  z 的 方 程 为 。   +y o y= r 。 , 设 z 与 抛 物 线 交 于 
1 ) ,   z   _r 2 消如  

将 ③ 代入得 : z 。 =  r -, 于是得到如下 性质 :   定理 3   设抛物线 C: y  = 2 p x ( p> 0 ) , 直线  z 是圆 0:   +y 。   r 2 ( r >0 ) 上定点 P( x o , Y o ) 处  的切线 , 且z 与抛物线 C 交于不 同 的两 点 A、 B, 则  AA O B一 9 0 。 的充要条件 是 r 0 一  .  

得: z o Y 。 +2 p y o Y一 2 p r 。= 0 , 于 是 
。   =

了2 p r z  


③ 
( 收稿 日期 : 2 0 0 9 —0 9 —2 1 )  

- o 7 ; ?  =  z +   t 此  苏。 2 A y p +  z  
1+  ) .  


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